正、余弦函数周期性

1、正、余弦函数周期性教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。教学过程：一）引入：1问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2.观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x_2兀抚2兀20兀2兀抚22函数值sinx010-1010-10正弦函数f（x）=sinx性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x增加2k兀（keZ）时，总有f（x+2k兀）=sin（x+2k兀）=sinx=f（x）.也即：（1）当自变量

2、x增加2k兀时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x，sin（x+2加）=sinx恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二）新课讲解：1周期函数的定义对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：(1)T必须是常数，且不为零;(2)对周期函数来说f(x+T)=f(x)必须对定义域内的任意x都成立。【思考】.厂/兀2兀、.兀2兀(1) 对于函数y=smx，xeR有sm(+)=sm，能否说飞-是它的周期？6363(2) 正弦函数y=sin

3、x，xeR是不是周期函数，如果是，周期是多少？(，keZ且k丰0)(3) 若函数f(x)的周期为T,则kT，keZ*也是f(x)的周期吗？为什么？(是，其原因为：f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=L=f(x+kT)2最小正周期的定义对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。说明：(1)我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期;(2)从图象上可以看出y=sinx，xeR；y二cosx，xeR的最小正周期为2兀；(3)【判断】是不是所有的周期函数都有最小正周期？(f(x)=c没有最小正周期)3例

4、题分析：例1：求下列函数周期：(1) y=3cosx，xeR；(2) y=sin2x，xeR；1兀(3) y=2sm(三x-)，xeR.26解:(1)v3cos(x+2兀)=3cosx，自变量x只要并且至少要增加到x+2兀，函数y=3cosx,xeR的值才能重复出现,所以，函数y=3cosx，xeR的周期是2兀.(2)Vsin(2x+2兀)=sin2(x+兀)=sin2x，自变量x只要并且至少要增加到x+兀，函数y=sin2x，xeR的值才能重复出现,所以，函数y=sin2x，xeR的周期是兀.111(3)V2sin(x+2)=2sin(x+)=2sin(x)，262626自变量x只要并且至少

5、要增加到X+兀，函数y=sin2x,xeR的值才能重复出现,所以，函数y=sin2x，xeR的周期是兀.说明：1）一般结论:函数y=Asin（x+申）及函数y=Acos（x+申）,xeR（其中A,申为常数，且A丰0，®>0）的周期T=还(2)若<0，例如：y=3cos(-x),xeRy=sin(2x),xeR；y=2sin(x)，xeR.26则这三个函数的周期又是什么？2一般结论：函数y=Asinx+9）及函数y=Aco他x+®，xeR的周期T=両例2：求下列函数的周期（1）y=sin（x）；(3)y=sinx+cosx；3xx3xx(2)y=coscos+si

6、nsin；2222xx(4)y=cos2sm2；22(5)y=cos2x.2=4,I-I23xx解：(1)T=周期为4；2)3xx3xx=cos(丁-)=cosx，周期为2；3)y=coscos+sinsin2222y=cosxsinx=J2sin(x)周期为2；4xx4)y=sin2cos2=cosx，.:周期为2兀；1115)y=cos2x=2(1cos2x)=cos2x+，.:周期为兀.说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin（wx+申）的形式，再利用公式T=王进行求解。课堂练习:求下列函数的周期xx(1)y=sin3x，xeR；(2)y=cos，xeR；(3)y=3sin，xeR；34(4)y=sin(x+)，xeR；(5)y=cos(2x+)，xeR；(6)y=*3sinx)，xeR.10324小结：1.周期函数、最小正周期的定义；2.y=Asin(x+申