线性方程组解的结构学习教案

1、线性方程组解的结构线性方程组解的结构(jigu)第一页，共22页。其通解的结构如何(rh)?如何(rh)写出其向量形式的通解?齐次线性方程组0 Ax解的结构本章以向量(xingling)为工具讨论线性方程组解的结构主要(zhyo)内容:非齐次线性方程组 Ax解的结构0 Ax如果当齐次线性方程组有无穷多解时,问题:1. Ax2.如果当非齐次线性方程组有无穷多解时,其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?第1页/共22页第二页，共22页。对于方程组)0( bbxAnm )()()()()1(ArArArAr 无解无解有解有解nArAr )()()2(有惟一解有惟一解nArAr )()()3(有

2、无限多解有无限多解对于方程组0 xAnmnAr )(只有零解只有零解)(nAr 有非零解即有无限多解有非零解即有无限多解第2页/共22页第三页，共22页。 第3页/共22页第四页，共22页。记 Ax = 0 的解集为:0|)( xARxANnmn(1) 1.解向量(xingling):, 0 A满足满足若若0 AX是方程组是方程组则称则称 的一个(y )解向量.2.解向量(xingling)的性质:0, 0,2121 AA满足满足如果如果0)(2121 AAA则则(2) , 0 A满足满足若若0)(, kAkARk有有则对于则对于不妨设t ,21是 N(A) 的最大无关组(称为基础解系)则:由

3、(1),(2)可知ttkkkx 2211( 取任意实数)ik的通解。的通解。是方程组是方程组0 AX第4页/共22页第五页，共22页。 0252 062 420832 03 2 543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通过(tnggu)下面的例子, 来解决以上问题例1问题(wnt):对于给定的方程组如何求其基础解系?BAr 0000000000541003102125121620428312131021解: 54354215432xxxxxxx第5页/共22页第六页，共22页。 3524323123211 54 32kxkxkkxkxkkkx 543542154

4、32xxxxxxx332211105-030140100012 kkkx321, 是解吗?321, 线性无关吗?任一解都 可由 表示吗?321, 基础(jch)解系所含向量的个数 = ?321, 是基础解系吗?352412,kxkxkx 令自由变量为任意(rny)实数 说明(shumng):1.基础解系不惟一2.但所含向量的个数唯一且等于n-R(A)第6页/共22页第七页，共22页。齐次方程组解的结构定理齐次方程组 的基础解系所含向量个数为0 XAnm)(2211Rkkkkxirnrn )(ARrrn rn ,21设一个(y )基础解系为:则通解(tngji)为:例设阶矩阵(j zhn)的秩为

5、，的每行元素之和为零，写出的通解解：0 XAnn的基础解系所含向量个数为1)( ARnT)1 , 1 , 1( 而又而又00 的解向量且的解向量且是方程组是方程组AX则通解为：RkkkT ,)1 , 1 , 1( 第7页/共22页第八页，共22页。例2设 , 是 的1)( nArnm21, 0 Ax两个(lin )不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk例3设 ,证明OBAlnnm nBrAr )()(证,21lB 记则由), 1(0liAOABi 说明), 1(lii 都是0 Ax的解)()(,21ArnANrrl 因此nB

6、rAr )()(移项第8页/共22页第九页，共22页。例4.已知)(mnAmn 矩阵矩阵的列向量(xingling)组是齐次线性方程组0 MX的基础(jch)解系,B是m阶可逆矩阵(j zhn),试证:AB的列向量组也是齐次线性方程组0 MX的基础解系.证明:00 MABMA则AB的列向量组是齐次线性方程组0 MX的解向量个向量个向量的基础解系含的基础解系含又又mMX0 个向量且有个向量且有的列向量组含的列向量组含而而mABmARABR )()(由条件可知A的列向量组线性无关且含m个向量所以AB的列向量组线性无关,即是方程组0 MX的基础解系.第9页/共22页第十页，共22页。 第10页/共2

7、2页第十一页，共22页。)1(. XAnm)2(.0 XAnm( ) 设 都是(1)的解,则21, 21 x是(2)的解.( ) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解. x设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x x是 (2)的解,从而存在 使得ikrnrnkkkx 2211 rnrnkkkx2211由此得:1.解向量(xingling): 如果向量如果向量 nmA满足满足的一个解向量的一个解向量为方程组为方程组则称则称 XAnm2.性质(xngzh):）的基础解系，）的基础解系，为（为（其中其中2,21rn 第11页/共22页第十二页，共22页。非齐次方程组解的

8、结构定理 的一特解解(ji ji), 是是设设 )(2211Rkkkkxirnrn XAnm非齐次方程组非齐次方程组则当非齐次线性方程组有无穷(wqing)多解时其通解为:例5. 3)(,46 ARaAij设设 AX是非齐次方程组是非齐次方程组，已知已知321的三个解向量(xingling) T5 , 4 , 3 , 21 T4 , 3 , 2 , 132 的通解。的通解。求方程组求方程组 AX解:043)( AXAR的基础解系 含一个向量03 ,25, 2 ,232321 T RkkXTT ,6 , 5 , 4 , 35 , 4 , 3 , 2通解为：通解为：第12页/共22页第十三页，共2

9、2页。 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx 2132111311101111A,00000212100211011 212 2143421xxxxx例6故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解可见可见, 42)()( ArAr解 444322421212 21xxxxxxxxx 00120100112121214321kkxxxx).,(21Rkk 第13页/共22页第十四页，共22页。例7)(21)A(212211 kk121211)()B( kk)(21)()C(2121211 kk)()D(2112211 kk21, 设 是非齐次 Ax = b 的两个不

10、同的解21, 其对应的齐次方程组的基础解系, 则 Ax = b 的通解(tngji)是(多选)第14页/共22页第十五页，共22页。例8.已知方程组 033321321321321xaxxaxxxxxx问:a为何(wih)值时,方程组有唯一解?无解?无穷多解?有无穷(wqing)多解时求出通解.解:,03132111时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当 aa30 aa且且即即时，时，当当0 a 000012100301030130321111r所以(suy)有无穷多解, RkkXTT ,0 , 1 , 01 , 2 , 3其通解：其通解：第15页/共22页第十六页，共22页。时，时，当当3

11、 a 300011101111033133321111r因为系数矩阵的秩不等于(dngy)增广矩阵的秩,所以方程组无解.例9.bAX 组组是四元非齐次线性方程是四元非齐次线性方程设设321, 的三个解向量(xingling), TTAr3 , 2 , 1 , 0,4 , 3 , 2 , 1, 3)(321 且且的通解：的通解：则线性方程组则线性方程组bAXRc , TTcA1 , 1 , 1 , 14 , 3 , 2 , 1)( TTcB3 , 2 , 1 , 04 , 3 , 2 , 1)( TTcC5 , 4 , 3 , 24 , 3 , 2 , 1)( TTcD6 , 5 , 4 , 3

12、4 , 3 , 2 , 1)( C第16页/共22页第十七页，共22页。例10设线性方程组 0302022321321321xxxxxxxxx 的系数(xsh)矩阵为A,存在 , 0033 ABbBij且且 求求解:, 00 ABB且且则B的列向量(xingling)组为AX=0的解向量(xingling),0有非零解有非零解 AX10 A即即例11的导出的导出是非齐次是非齐次矩阵，矩阵，是是设设bAXAXnmA 0齐次线性方程组,则下列结论(jiln)正确的是有唯一解有唯一解仅有零解，则仅有零解，则）（bAXAXA 0有无穷多解有无穷多解有非零解，则有非零解，则）（bAXAXB 0仅有零解仅

13、有零解则则有无穷多解有无穷多解）（0, AXbAXC有非零解有非零解则则有无穷多解有无穷多解）（0, AXbAXDD第17页/共22页第十八页，共22页。例2已知方程组 033321321321321xaxxaxxxxxx问为何(wih)值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？在方程组有无穷(wqing)多个解时求出通解（考试题）解：时，时，当当03132111 aa方程组有唯一(wi y)解即30 aa且且当时当时第18页/共22页第十九页，共22页。思考题:1.求: 204131210131431104122.设A为3阶方阵(fn zhn),且162, 4 AAA求求3.如果非齐次方程组的增广矩阵经过(jnggu)初等行变换化为,3410011010 求该方程组的通解(tngji)?第19页/共22页第二十页，共22页。是非齐次线性是非齐次线性