线性代数课件2学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh)课件课件2第一页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组11112211211222221122. (*).nnnnsssnnsna xa xa xba xa xa xba xa xa xb元线性方程组 第1页/共48页第二页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法第一节 Gauss消元法第2页/共48页第三页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法123123123328172533752xxxxxxxxx（1）

2、例：求解(qi ji)下列线性方程组：123123123123351263539102326xxxxxxxxxxxx （2） 1231231233512635354xxxxxxxxx （3） 第3页/共48页第四页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法用Gauss消元法可以解一般的线性方程组（*），消元的结果得到(d do)一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或出现矛盾式，可得如下一般形式：（其中(qzhng)r为阶梯形方程组中方程式的个数。）第4页/共48页第五页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组

3、 第1节 Gauss消元法由阶梯形方程组知原方程组（*）的解有以下(yxi)三种情况：10rd（1），则方程组无解；11122112220. . rnnnnnndrnxc xc xdxc xdxd（2）且，则方程组（*）可化为如下阶梯形方程组121211101CramernncccD 由于系数行列式，由法则，方程组（*）解唯一。第5页/共48页第六页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法111122111,1112222,11211,11,111,0*, rrnrrrrnnrrrrnnrrrrrrrrrnndrnxxxc xc xdcxc

4、 xxc xdcxc xxcxdcxcx（3）且时，方程组（ ）可化为阶梯形方程组，同时将含有的各项移到等式的右边,11 rrr rrrnnxdcxc x，11,111,111rrnnrr rrrnnrnfexe xfexe xXxx一般解为1,rnxx其中为自由变量，故方程组有无穷多解第6页/共48页第七页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法分析Gauss消元法的过程，可以看出，我们对方程组作了以下三种变换：（1）将一个方程两边同时乘以一个非零常数；（2）将两个方程位置(wi zhi)调换；（3）将一个方程的倍数加到另一个方程上。这三

5、种变换统称为方程组的初等变换，也称为同解变换。第7页/共48页第八页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法为书写方便，可将未知元，加号(ji ho)以及等号省略，只写方程组（*）的系数和常数项，排出如下数表：ssnssnnbaaabaaabaaaA.21222221111211增广(zn un)矩阵snssnnaaaaaaaaaA.212222111211系数矩阵第8页/共48页第九页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法111212122212.nnijm nmmmnmnmnmna

6、aaaaaAaaaa定义 个数排成 行 列的数表，加上“（）”，称之为一个矩阵，表示为： （ ）(),(),(1,;1, )ABA Bijm nijm nijijmnAaBbab im jn定义、对于两个矩阵当时，称矩阵 与相等，简记为= 。第9页/共48页第十页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法一个线性方程组与其增广矩阵相对应，方程组中的每个方程与增广矩阵的一行相对应，因而方程组的三种(sn zhn)初等变换对应于矩阵的下述三种(sn zhn)行初等变换：（1）将矩阵的一行乘以一个非零常数，（2）将矩阵的两行互换；（3）将矩阵一行的

7、倍数加到另一行上。矩阵经初等变换可化为阶梯(jit)形矩阵。所谓行阶梯(jit)阵，即为满足以下两个条件的矩阵：（1）该矩阵如果有零行（元素全为零的行），那么零行位于最下方；（2）非零行的非零首元（自左至右第一个不为零的元素）的列标随行标递增。第10页/共48页第十一页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法121111112112222122221211110rnnrnnrnrsssnsrcccdaaabccdaaabAcdaaabd 行将方程组消元成阶梯形方程组就对应(duyng)为将增广矩阵用行初等变换化为阶梯形矩阵，即：111000

8、rrrddrndrn则时，无解； 且时，唯一解； 且时，无穷多解。1245123412345123453221426347242471xxxxxxxxxxxxxxxxxx例、求解方程组第11页/共48页第十二页，共48页。线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法111122121122221122Gauss.0.0(*).0nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa x消元法用于齐次线性方程组：10rdrnrn显然，故一定有解，且当时，有唯一解；当时，有无穷多解。第12页/共48页第十三页，共48页。线性代数(xin xn d

9、i sh) 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法111122121122221122.0.0.1.0nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa xsn、齐次线性方程组： ，若方程个数定理小于未知量个数 ，则必有非零解。111122121122221122.0.0.02.nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x、 元齐次线性方程组 只有全零解的充要条件为方程组的系数行列定理式不为0。第13页/共48页第十四页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第二节 n维向量(xingling

10、)第14页/共48页第十五页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量12121212,.,.,.,nnnna aanna aana aaa aa定义 设为 个数，则由这 个数组成的有序数组（）称为，记作，数为该向量维向量的分量。1212(,.,),( ,.,)(1,., )nniina aab bbab in规定： 维向量，当时，称它们相等，记为12121122( ,.,),( ,.,),.,nnnna aab bbab abab定义 （1）向量之和若，定义两个：1212( ,.,),.,nna aakkkka kaka（2）若， 是数，定义数

11、与向量 的乘积：0nn注：分量均为 的 维向量(0, ,0)称为 维零向量。第15页/共48页第十六页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量向量(xingling)加法和数乘统称为向量(xingling)的线性运算，满足下列八条运算规律：（1）加法交换律：()()（2）加法结合律：n（3）对于任意 维向量 ，有1212,.,.,nnaaaa aa （4）向量称为向量的负向量，记为，且对任意 有（）1（5） k lkl（6） kkk（7） ()klkl（8） nnnnRRRn定义、所有 维向量组成的集合记作。在中定义了向量的加法和数乘运算，且满足

12、八条运算规律，则称集合为 维向量空间。第16页/共48页第十七页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量121211221212,.,.,s.,.,.,ssssssk kkkkkk kk 定义、设为一组向量，是 个数，称线性向量是向量的一个，其中为这个组合组合的组合系数。121211221212,.,.,.,.,.,ssssssk kkkkk 线性定义、向量 若能表示成向量组的线性组合，即存在一组数使，称可由向量组，或称 为向量组的表出线性组合。0,( 1)0kkk 注：向量减法（- ） 若，则必有或第17页/共48页第十八页，共48页。 线性代

13、数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量1212,.,.,ss 、向量 可由向量组线性表出的充分必要条件为以向量为系数列向量， 为常数项的线性方程组有解，并且每一个解向量的分量就是它的一个线性定理组合系数。12121n(1,0,0,.,0,0),(0,1,0,.,0,0),.(0,0,0,.,0,1),.,nnnna aan例、一个 维向量组 称为，试证任一 维向量能够由 维基本向量组线性表出，且表达式唯一，并写维基本向量组出表达式。第18页/共48页第十九页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量123,.,1,2,

14、.,siis 例 、证明向量组中任一向量可由这组向量线性表出。1212124,.1,2,.,.,.,sittis 例 、试证若向量 可由向量组线性表出，又向量可由向量组线性表出，则向量 可由向量组线性表出。此例的结果表明了向量(xingling)的线性表出关系具有传递性。2123例 、判断向量（2 -1 3 4）能否由向量组=（1 2 -3 1），=（5 -5 12 11），=（1 -3 6 3）线性表出。若能，试写出它的一种表达式。第19页/共48页第二十页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量二、向量二、向量(xingling)的相关性的相

15、关性12121122121212,(1),.,ssssssssk kkkkkO 定义、一个向量组，如果存在一组不全为零的常数，使得，就称向量组。线性相关若不线性相关，就称线性无关。 注：一个向量 线性相关的充要条件是 =112212121212.0,.,.,.0,.,sssssskkkk kkkkk 等价定义：设（1），存在不全为 的使得（1）式成立，则称向量组线性相关；若只有当时才能使（1）式成立，则称线性无关。第20页/共48页第二十一页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量1212111122121122221122,.,1,2,.,.,

16、.0.0(*).02iiinisssssnnnssaaaissna xa xa xa xa xa xa xa xa x 、设是 个 维向量，则向量组线性相关的充要条件为齐次线性方程组 定理有非零解12,.1,s 、向量组线性无关的充要条件为齐次线性 方程组（*）只有推论全零解。snsn、当时，任意 个 维向量都是线性推论2相关的。1nn特别的，任意个 维向量是线性相关的。 3nnRn、在 维向量空间中，任意一个线性无关的向量组 推论最多包含 个向量。第21页/共48页第二十二页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量111211121112121

17、22212(,.,),.,(,.,).0.4.nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa、 个 维向量线性相关的充要条件为推论1112112122221211121,121,.,(,.,).(,.,).,.5.,(nnsssnsn raaaaaaaaaraaaa、 若向量组 线性相关， 则去掉每个向量的最后 个分量所得的向量组 推论222,212,.,),.(,.,)n rsssn r saaaaa 仍线性相关。第22页/共48页第二十三页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量1231122233314,2,2,2 例 、已知向

18、量组线性无关，证明向量组也线性无关。1,23,ss、向量组线性相关的充分必要条件为其中有一个向量可由其余向定理量线性表出。1,1s、向量组线性无关其中每一个向量都不能由其余向量推论线性表出。、若向量组的一个部分组（由向量组中一部分向量组成）线性相关，则这个向量组也线推论2性相关。注：由推论2逆否命题可知(k zh)，若一个向量组线性无关，那么它的任一部分组均线性无关。例5、若一个(y )向量组中包含零向量，则这个向量组线性相关。第23页/共48页第二十四页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量三维空间(snwikngjin)中向量线性相关性的几

19、何意义。1212 两个三维向量，线性相关，共线1212 两个三维向量，线性无关，不共线123123, 三个三维向量线性相关共面123123, 三个三维向量线性无关不共面121212,4sss 、若线性无定理关，而线性相关，则 可由线性表出，且表达式唯一。第24页/共48页第二十五页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量122111,stst 向量定义、若向组可由量组中每一个向量都可由另一组向量线性表出，则向量组线称性表出。121112,stts 注：若向量组可由向量组线性表出，而向量组又可由向量组线性两组表出向，就称这量等价。12112,sts

20、st 、若向量组可由向量组线性表出，且，则必线定理5性相关。12112,stsst 、若向量组可由向量组线性表出，且必线性无关，则推论1。2、若两个线性无关的向量组等价，则两个向量组中必含有相同个推论数的向量。第25页/共48页第二十六页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量三、向量三、向量(xingling)组的秩组的秩定义、一个向量组的一个部分组称为极大线性无关组。如果这定义、一个向量组的一个部分组称为极大线性无关组。如果这个部分组是线性无关的，而且从这向量组的其余个部分组是线性无关的，而且从这向量组的其余(qy)向量向量（如果有的话）中任

21、取一个添进去，所得的新的向量组都线性（如果有的话）中任取一个添进去，所得的新的向量组都线性相关。相关。1111,rriissii由定义知，若为向量组的一个极大线性无关组，那么中任一向量都可表为的线性组合，且表达式唯一。1,snn：对于 维向量组，极大线性无关组中向量的个数不注超过1。注2：若一个向量组是线性无关的，那么极大线性无关组即为其本身。第26页/共48页第二十七页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量关于关于(guny)极大线性无关组有如下结论：极大线性无关组有如下结论：1）一个(y )向量组与它的极大线性无关组等价。2）一个向量组的任

22、意两个极大线性无关组等价。3）一个向量组的极大线性无关组中必含有相同个数的向量。定义、一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。向量组秩的结论：向量组秩的结论：1）一个向量组线性无关它所含向量的个数即为向量组的秩。2）一个向量组的秩必大于或等于它任一部分组的秩。11113,ststrr）若向量组与向量组等价，则 第27页/共48页第二十八页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量11114,ststrr）若向量组可由向量组线性表出，则 例6、若一个向量组的秩为r，则在向量组内，任意r个线性无关(wgun)的向量都构成它的一个极大

23、线性无关(wgun)组。 （书P65/18）121220034,ABCDrsrsrsrsrs 思考题：（年考研数学一试题，分）设向量组：可由向量组：线性表示，则（ ）当时，向量组必线性相关（ ）当时，向量组必线性相关（ ）当时，向量组必线性相关（ ）当时，向量组必线性相关第28页/共48页第二十九页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量nnR四、 维向量空间的维数、基底、坐标1nRnnnn在 维向量空间中，线性无关向量的最大个任意个 维向量线数为 ，性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数称为该线性空间的维数。nnnRnRnR故我们称的维数为

24、，而中任意 个线性无关的向量（按一定次序排列）为的一组基底，简称基。12,nnne eeR设 维向量线性无关，则它为的一组基。12121 122,nnnnnRe eee eek ek ek e又设，由于必线性相关，故 一定能由线性表出，且表达式唯一，即有1212,Tnnk kke ee它的表出系数组成的列向量称为向量 在基底下的坐标向量，简称坐标。第29页/共48页第三十页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第2节 n维向量312331237001 ,01 1 ,1 1 1 ,Reeee e eR例 、在中设证明：为的一组基，并求 =(3 -1 -4)在这组

25、基下的坐标。121212118nnnnnnRaaaaaa 例 、在中，（1）求在基底下的坐标；（2）求在基底下的坐标第30页/共48页第三十一页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第3节 矩阵的秩第三节 矩阵(j zhn)的秩第31页/共48页第三十二页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第3节 矩阵的秩一、矩阵一、矩阵(j zhn)秩的概念秩的概念11121122min( , )nmmmnaaamnAkkaaakkkkmknA矩阵中任选 行 列，位于这些行列交点处的个元素按原来的次序构成一个 阶行列式，称之为（或称 阶子

26、行列式），矩显然阵 的 阶子式,1,( )Arrrr ArA1定义 、若矩阵 中 有一个 阶子式不为零 而所有的阶子式（如果有的话）均矩阵 的为为 记作秩零 则称( )min( , )rnm nAmA注：若 为矩阵，则例1 试求下列(xili)矩阵的秩1130(1)21211152A1 1 2 3(2)2 0 2 33 0 0 3A 第32页/共48页第三十三页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第3节 矩阵的秩二、矩阵二、矩阵(j zhn)秩的计算秩的计算11121222001,2,00nniirrrnaaaaaAairaa 设阶梯形矩阵，其中111212

27、2210rrrriiirraaaaaArDaa有一个 阶子行列式1,()Arr Ar而 的所有阶子式均为0 故注：一个阶梯形矩阵(j zhn)的秩等于它的不为零的行数。第33页/共48页第三十四页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第3节 矩阵的秩定理1、矩阵(j zhn)经过初等变换，它的秩不变。23111261202( ).3911203031AAr A例 、设矩阵，求 的秩第34页/共48页第三十五页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第3节 矩阵的秩三、矩阵三、矩阵(j zhn)的秩与向量组秩的关系的秩与向量组秩的

28、关系11121121111211212,nsssnnssssnsaaasnAaaannaaaaaaA 一个矩阵中，矩阵每一行都是一个元有序数组，可视为 维向量，称之为矩阵的行向量，记作 ，称行向量组为矩阵 的行向量组。1111112,nnssnnaaAaAa 同样地，记为 的列向量，矩阵 的则称为列向量组。第35页/共48页第三十六页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第3节 矩阵的秩定理(dngl)2、矩阵的秩等于它的行向量组的秩推论1、矩阵(j zhn)的秩等于它的列向量组的秩推论2、将矩阵A用行初等变换化为B，则A的列向量组的任一部分组与B的列向量组对

29、应的部分组有相同的线性相关性。234531例 、计算下列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组。=(-1 4 0 2), =(5 1 3 0)，=(3 -2 4 1), =(-2 9 -5 4)，=(1 7 -1 3)第36页/共48页第三十七页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解的一般理论 第四节第四节 线性方程组解的一般线性方程组解的一般(ybn)(ybn)理论理论第37页/共48页第三十八页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解的一般理论一、线性方程组解的存在一、线性方程组解的存在

30、(cnzi)定定理理( )1( )AAr Ar A、线性方程组(*)有解的充分必要条件是系数矩阵 与增广矩阵 的秩相同（即定理）11121121222212121122,nnnsssnsnnaaabaaabAaaabxxx 若增广矩阵的列向量组为，则线性方程组（*）可写为 11212,1nnnrr 、向量 可由向量组线性表出的充分必要条件为定理 第38页/共48页第三十九页，共48页。 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解的一般(ybn)理论 1 0rArr Adr Ar A由矩阵秩的定义可知高斯消元法，将线性方程组化为阶梯形方程组，左边不为零的方程个数 即为方程组系数矩阵 的秩

31、，即。而即，因而高斯消元法的结论可写为： 1*nr Ar A、 元线性方程组（ ）无解 2*nr Ar An、 元线性方程组（ ）有唯一解 3*nr Ar An、 元线性方程组（ ）有无穷多解特别地对于(duy)齐次方程组有如下结论（A为系数矩阵） 1nr An、 元齐次线性方程组只有全零解 2nr An、 元齐次线性方程组有非零解例：书第57页例2第39页/共48页第四十页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解的一般理论二、线性方程组解的性质二、线性方程组解的性质(xngzh)将线性方程组(*)的常数项均改为(i wi)零，未知数系数不变

32、，得一齐次线性方程组(*)：11112211211222221122. (*).nnnnsssnnsa xa xa xba xa xa xba xa xa xb 称之为线性方程组(*)相应的齐次线性方程组，或称为线性方程组(*)的导出组111122121122221122.0.0.0nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa x (*)第40页/共48页第四十一页，共48页。 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解的一般(ybn)理论线性方程组的解有以下(yxi)性质： 1111222212121212121212112112,(*,1*),TTnnTnnXxxxXxxxk kk Xk Xk xk xk xk x、设及为齐次线性方程组的两个解，为常数，则仍是(*性质)的解. 11112222121212,2TTnnXxxxXxxxXX、设为线性性质方程组（*）的解，则为导出组（*）的解。 11111200001012,3,TnTnXxxxXxxxXX、设为线性方程组（*）的解，为导出组（*）的解，则为线性方程组（*性质）的解。第41页/共48页第四十二页，共48页。 线性代数(xin xn di sh) 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解的一般理论123121322311,223,32XXXabXXXXXXXX例 、设为线性方程组（