线性代数数项级数及比较判别法学习教案

1、会计学1线性代数数项级数及比较线性代数数项级数及比较(bjio)判别法判别法第一页，共39页。级数(j sh) 的前 项之和1nnun121nnkkuuuu称为该级数的前 项部分(b fen)和，简称级数的部分(b fen)和.记作n121nnnkksuuuuns即当 依次取1,2,3，时，得到的一个新数列n11,su212,suu3123suuu,123nnsuuuu称为该级数的部分和数列，记作 . ns第2页/共39页第二页，共39页。定义 如果级数(j sh) 的部分和数列 有极限 ，即则称级数(j sh) 收敛,并把 称为该级数(j sh)的和,记作 ns1nnuslimnnsss12

2、1nnnuuuus1nnu 如果级数 的部分和数列 没有极限，则称级数 ns1nnu1nnu 发散.第3页/共39页第三页，共39页。例例1 1 判定判定(pndng)(pndng)级数级数 的的敛散敛散11111 22 33 4(1)nn性，若收敛性，若收敛(shulin)(shulin)，求其和，求其和. .解：解：111(1)(1)nunnnn11111 22 33 4(1)nsnn11111111223341nn111n 1limlim 111nnnsn因为 1.所以原级数收敛，其和为第4页/共39页第四页，共39页。（1 1）. . 调和级数调和级数111111123nnn发散发散(

3、fsn)(fsn)（2 2）. . 等比（几何等比（几何(j h)(j h)）级数）级数1211nnnaqaaqaqaq1.11aqqq时，收敛，其和为时，发散.()qa， 为非零常数第5页/共39页第五页，共39页。（3 3）. . 级数级数(j sh)(j sh)（4 4）. . 级数级数(j sh)(j sh)p pppnpnn1312111111pp时，收敛，时，发散.2)(ln1npnn11pp时，收敛，时，发散.第6页/共39页第六页，共39页。性质性质(xngzh)1(xngzh)1(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件) ) 若级数若级数 收收敛敛, ,则它的一般项则它的一般项

4、 趋于零，趋于零， 即即1nnunu0limnnu性质性质2 2 若级数若级数 收敛收敛(shulin)(shulin)于于 , , 为一常数为一常数, ,则级数则级数 也收敛也收敛(shulin),(shulin),且且1nnusc1nncu11nnnncucucs第7页/共39页第七页，共39页。性质性质3 3 若级数若级数(j sh) (j sh) 和和 级数级数(j sh)(j sh)分别分别收敛于收敛于 和和 , ,则级数则级数(j sh) (j sh) 也收敛也收敛, ,且且1nnu1nnvst1()nnnuv111()nnnnnnnuvuvst推论推论(tuln) (tuln)

5、一个收敛级数与一个发散级数的和与一个收敛级数与一个发散级数的和与差一定是发散级数差一定是发散级数. .第8页/共39页第八页，共39页。性质性质4 4 在级数在级数 的前面部分去掉或添加的前面部分去掉或添加(tin (tin ji)ji)有限项有限项, ,不会改变该级数的敛散性，但一般会改不会改变该级数的敛散性，但一般会改变级数的和变级数的和. .1nnu注注 性质性质4 4也可以说成：去掉或添加也可以说成：去掉或添加(tin ji)(tin ji)有有限项，不改变级数的敛散性限项，不改变级数的敛散性. .例如例如(lr)(lr)是级数是级数111111123nnn去掉前去掉前3 3项所成的级

6、数，项所成的级数，而后者是发散级数，所以而后者是发散级数，所以111111.34563nnn级数也发散111111.34563nnn级数第9页/共39页第九页，共39页。性质性质5 5 若级数若级数 收敛收敛(shulin),(shulin),则在该级数则在该级数中任意添加括号所得的新级数仍收敛中任意添加括号所得的新级数仍收敛(shulin),(shulin),且其和不变且其和不变. .1nnu 注注 性质性质5 5也可以这样也可以这样(zhyng)(zhyng)理解：收敛级数理解：收敛级数可任意添加括号可任意添加括号. .但如果加括号后所成的级数收敛，但如果加括号后所成的级数收敛，则不能断言

7、去括号后原来的级数也收敛则不能断言去括号后原来的级数也收敛. .第10页/共39页第十页，共39页。例例3 3 若级数若级数 收敛收敛(shulin)(shulin)，而级数，而级数 发散发散 , ,那那么级数么级数1nnu1nnv11()nnnnnnuvu v和是否一定发散？解：解：(1)(1) 设级数设级数(j sh) (j sh) 的部分的部分和为和为 ，1nnu则级数则级数(j sh) (j sh) 的部分和为的部分和为 ns1nnv的部分和为的部分和为 ，n1()nnnuvnns因为limnnns 不 存 在1().nnnuv所以级数一定发散即即 通项为通项为收敛级数与发散级数之代数

8、和收敛级数与发散级数之代数和构成的级数构成的级数一定发散一定发散. .第11页/共39页第十一页，共39页。(2)(2)设设211=,nnuvnn, ,则级数则级数(j sh)(j sh)23111111=nnnnnu vnnn收敛收敛(shuli(shulin).n).即即 通项为收敛级数与发散级数之积构成通项为收敛级数与发散级数之积构成(guchng)(guchng)的级的级数不一定发散数不一定发散. .例例3 3 若级数若级数 收敛，而级数收敛，而级数 发散发散 , ,那么级数那么级数1nnu1nnv11()nnnnnnuvu v和是否一定发散？第12页/共39页第十二页，共39页。例例

9、4 4 若级数若级数 和级数和级数 都发散都发散(fsn) ,(fsn) ,那么级那么级数数1nnu1nnv11()nnnnnnuvu v和是否一定发散？解：不一定解：不一定(ydng).(ydng). (1) (1)设设11112 ,2nnnnnnnnuv111()2200nnnnnnnuv= 收敛收敛(shuli(shulin),n), 而而即即 通项为通项为两个发散级数之和两个发散级数之和构成的级数构成的级数不一定发散不一定发散. .第13页/共39页第十三页，共39页。 (2) (2)设设11111311,nnnnnnuvnn1411133111=nnnnnu vnnn收敛收敛(shu

10、li(shulin),n),例例4 4 若级数若级数 和级数和级数 都发散都发散(fsn) ,(fsn) ,那么级数那么级数1nnu1nnv11()nnnnnnuvu v和是否一定发散？ 而而即即 通项为两个通项为两个(lin )(lin )发散级数之积构成的级发散级数之积构成的级数数不一定发散不一定发散. .第14页/共39页第十四页，共39页。1.1.判断下列级数的敛散性，并对收敛判断下列级数的敛散性，并对收敛(shulin)(shulin)的级数的级数求和求和. .1(1)2nn11(2)(1)nnn121(3)()3nnn11(4)3nnne112( 1)(5)5nnn 2.2.求求

11、取哪些值，下列取哪些值，下列(xili)(xili)级数收敛，收敛时求其级数收敛，收敛时求其和和. .x1(1)3nnnx1(2)(2)4nnnx第15页/共39页第十五页，共39页。如果级数如果级数 的各项的各项 , ,则称该级数为正项则称该级数为正项级数级数. .1nnu0(1,2,3,)nun第16页/共39页第十六页，共39页。定理定理2 2 设有两个设有两个(lin )(lin )正项级数和，且正项级数和，且1nnu1nnv,nnuv,0(1,2,3,)nnu vn1nnv1nnu1nnv1nnu当级数当级数(j sh)(j sh)发散时发散时, ,级数级数(j sh)(j sh)发

12、散发散. .第17页/共39页第十七页，共39页。例例 判断判断(pndun)(pndun)级数级数 的敛散性的敛散性1lnnnn解：解：3n 当时，ln1n ，ln1nnn ，11nn因为调和级数发散，1lnnnn所以级数也发散，即第18页/共39页第十八页，共39页。定理定理(dngl)(dngl) 设有两个正项级数和设有两个正项级数和，且，且1nnulvunnnlim当时当时, , 则级数则级数(j sh)(j sh)和和同时收敛或同时发散；同时收敛或同时发散；1nnu1nnv l0当时，若级数当时，若级数(j sh)(j sh)收敛，则级收敛，则级数数(j sh)(j sh) 收敛；收

13、敛；0l 1nnv1nnu当时，若级数发散，则级数当时，若级数发散，则级数 发散发散. .l 1nnv1nnu1nnv第19页/共39页第十九页，共39页。例例6 6 证明级数证明级数(j sh) (j sh) 发散发散111nn n解法解法(ji f)(ji f)一：一：2111111nnuvnn nn111nn而 发散，根据，根据(gnj)(gnj)比较审比较审敛法敛法111nn n级数发散发散. .第20页/共39页第二十页，共39页。例例6 6 证明级数证明级数(j sh) (j sh) 发散发散111nn n解法解法(ji f)(ji f)二：二：1nvn设nnnvulim因为1(1

14、)limlim11(1)nnn nnnn n所以所以(suy)(suy)11111nnnn n级数和级数具有相同的敛散性11nn由发散，知111nn n级数发散发散. .第21页/共39页第二十一页，共39页。例例7 7 判断判断(pndun)(pndun)下列级数下列级数的敛散性的敛散性解：解：21sin53nnn（1）2113nn（2）2sin15n因为113nn而级数收敛，根据，根据(gnj)(gnj)比较审比较审敛法敛法21sin5.3nnn故级数收敛2sin1533nnnnu，所以第22页/共39页第二十二页，共39页。解：解：2113nn（2）21nvn设nnnvulim因为22l

15、im3nnn12211113nnnn所以级数和级数具有相同的敛散性211nn又级数收敛211.3nn故题设级数收敛第23页/共39页第二十三页，共39页。例例1 1 若级数若级数 收敛，则级数收敛，则级数 一定一定(ydng)(ydng)发散发散. .1nnu1nnau解：解：收敛，因为级数1nnu0limnnu所以limnnau而 1.nnau故级数一定发散第24页/共39页第二十四页，共39页。例例2 2 判断判断(pndun)(pndun)下列级数的敛散性下列级数的敛散性解：解：13nnn（1）13.1nnnnn发散1115nn（3）lim13nnn(1)因为根据根据(gnj)(gnj)

16、级数收敛的必要条件，级数收敛的必要条件，1.3nnn题设级数发散解：解：3lim1nnnnn(2)因为根据根据(gnj)(gnj)级数收敛的必要条件，题设级数级数收敛的必要条件，题设级数13lim11nnn3e13(2)1nnnnn第25页/共39页第二十五页，共39页。1115nn（3）解：11lim15nn(3)因为根据级数根据级数(j sh)(j sh)收敛的必要条件，题设级数收敛的必要条件，题设级数(j sh)(j sh)111.5nn发散第26页/共39页第二十六页，共39页。例例3 3 判断判断(pndun)(pndun)下列级数的敛散性下列级数的敛散性解：解：1115()46nn

17、nn(1)22111111(2)()()()232323nn1111( )44nnnn(1)因为级数都收敛，15555( ) =5( )666nnnnn=1n=1n=1根据级数根据级数(j sh)(j sh)的性质的性质3 3，题设级，题设级数数(j sh)(j sh)收敛收敛. .22111111(2)()()()232323nn 22111111()()232233nn第27页/共39页第二十七页，共39页。11( )22nnn=1n=1因为级数都收敛，11( )33nnn=1n=1和级数根据级数的性质根据级数的性质(xngzh)3(xngzh)3，题设，题设级数收敛级数收敛. .111(

18、)23nnn22111111()()232233nn第28页/共39页第二十八页，共39页。例例4 4 判断判断(pndun)(pndun)下列级数的敛散性下列级数的敛散性2111nnn（1）1nvn(1)设nnnvulim因为2(1)lim1nn nn1211111nnnnn所以级数和级数有相同的敛散性11nn又级数发散解：解：211.1nnn，故题设级数发散11(1)(4)nnn（2）111nn n（3）课堂练习：课堂练习：(2)(2)、(3)(3)第29页/共39页第二十九页，共39页。解：解：1121nn(4)12nnv 设nnnvulim因为2lim21nnn1 ，1111212nn

19、nn所以级数和级数有相同的敛散性.112nn而级数收敛故题设级数11.21nn收敛第30页/共39页第三十页，共39页。解：解：11ln(1)nn(5)1nvn设nnnvulim因为1ln(1)lim1nnn11111ln(1)nnnn所以级数和级数有相同的敛散性11nn而级数发散故题设级数11ln(1).nn发散第31页/共39页第三十一页，共39页。11(6)lnnn解：解：ln(2)nn n因为时，11nn而调和级数发散，11lnnn故级数发散.11lnnn所以，31ln(7)21nnn解：解：ln(2)nn n因为时，3121nnn对于级数33ln2121nnnn所以第32页/共39页第三十二页，共39页。3211121nnnnn所以级数和级数有相同的敛散性21nvn设，nnnvulim因为23lim21nnnn12211nn而级数收敛，故级数31.21nnn收敛又又 根据根据(gnj)(gnj)（不等形式）比（不等形式）比较审敛法较审敛法因此，题设级数31ln.21nnn收敛3121nnn对于级数，第33页/共39页第三十三页，共39页。解：解：1111()1nnnn(8)1111nunnn111nnnnn1(1)nn n