[理学]第一节方差分析ppt课件

1、第九章 方差分析方差分析的背景： 在工农业消费中产量的上下、质量的优劣，经济管理中效果的好坏等，往往是有许多因素所至。这就要从众多因素中找出主要因素，分析该因素处在何种状态时，使产量高、质量优，管理效果好。 要解决这类问题：二、如何分析多因素多状态下试验结果的差异性？ 当两个总体方差相等时，可用t 检验来检验两个总体均值间的差异性；当总体是三个或三个以上时如何检验呢？就要用本章的方差分析。它是在二十世纪20 年代由英国著名统计学家R.Fisher首先应用到农业试验中的。由于试验设计不同，方差分析的方法也有所不同。本章重点介绍单、双因素的方差分析。一、设计一个试验试验设计；方差分析的作用：从方差

2、的角度分析试验数据、判断各因素各状态对试验结果作用大小的有效的统计分析方法。.几个概念 例1 检验某种激素对羊羔增重的效应。选用3个剂量进展试验，加上对照不用激素在内，每次试验要用4只羊羔，假设进展4次重复，那么共需要16只羊羔。研究激素用量对羊羔增重的影响是否显著。 羊羔的增重kg/每头/每200日 1475057542525453653626769744515757594321（对照）处理重复称激素为因素；激素的剂量为程度状态；羊羔增重量响应值。显然，例为单因素四程度试验。也就是四个总体的比较问题一般地因素：可控制的试验条件；程度：因素变化的各个等级；响应值：目的值。单因素试验：试验中只有

3、一个因素变化，其他可控制的条件不变。双多因素试验：试验中变化的因素多于一个。 本例中有一因素激素，记为A四个不同程度分别记为A1，A2，A3，A4。可认为一个激素程度的增重量就是一个总体，在方差分析中总假定各总体独立地服从同方差的正态分布，即第i个激素程度的增重量是一个随机变量，它服从分布),(21Ni=1, 2, 3, 4, 5。要检验假设43210:H 假设回绝HO，那么我们就认为这四个激素程度的平均增重量之间有显著差异；反之，就认为各激素程度间增重量的不同是由随机因素引起的。方差分析就是检验上述假设的一种方法。 方差分析是检验同方差的假设干正态母体均值是否相等的一种统计分析方法。是否成立

4、.柯赫伦Cochran 定理定理8.1假设k)(212nxnii那么,k互相独立，且)(2jjfQj，k的充要条件是fffkn一、单因素方差分析一、单因素方差分析 设Xii=1, 2, , n互相独立，均服从N0, 1分布。jj，k是某些正态变量的平方和，这些变量分别是X, Xn的线性组合，其自由度为fj 在某试验中，因素 A 有 k个不同程度A1，A2，Ak，试验结果 1，2，k 是 k个互相独立的总体，且iNi，2， j =1，2，k 。将 Aj 程度重复 t次，得到t 个试验结果数据xij，j=1, 2, , t，这可以看成是取自Yi的一个容量为t的子样，i=1, 2, , r。由于xi

5、j),(21N以假定xij具有下述数据构造式：tjkixijiij, 2 , 1, 2 , 1,其中), 0(2Nij且互相独立要检验的假设是:rH210:为了今前方便起见，把参数的形式改变，并记kiik11kiaii, 2 , 1, 称为一般平均，i为因子A的第i个程度的效应，容易看出，r个效应满足关系式：单因子方差分析模型中的数据构造式可以写成：yij=+ai+ij，i=1,2,，k,j=1,2,，t ; kiia10所要检验的假设可以写成：H0: a1=a2=ar=0kiia10方差分析的根本思想： 从分析引起诸xij波动的原因入手。这里有两个原因，一个是假设为真时，诸xij的波动纯粹是

6、随机性引起的；另一个可能是假设不真而引起的。因此我们就想用一个量来刻划诸xij之间的波动，并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示出来，这就是方差分析中常用的平方和分解的方法。 我们可以用xij与样本总平均之间的偏向平方和来反映xij之间的波动，令kitjijTxxS112)(kitjijtknxnx11,1其中kiiAxxtS12.)(tjijixtx11kitjiijexxS112)(kitjijTxxS121)(总离差平方和:它反映了观测数据总的变异程度kiiAxxtS12.)(组间平方和:反映因子A的不同程度效应间的差异。kiitjijexxS12.1)(组内误差平方和:反映了随机误

7、差ij 对响应值影响的总和这是由于yayiiikitjiijeS112)(kiiiAatS12)(我们可证明S =SA +Se ESe=n-rriiAratES122) 1(假设0成立，那么2) 1( rESA当假设H0为真时，.12的无偏估计为与kSknSAe比值)/() 1/(knSkSFeA不能太大，当F值过大时，可以认为假设不真可证明当假设H0为真时，) 1(22nsT)1(22ksA)(22knse于是), 1(1knkFknsksFeA 对于 显著性程度，查出临界值F k-1,n-k,满足PFF1-= 假设 FFk-1,n-k,那么在程度下回绝H0 ，即认为有些程度对响应值的影响有

8、显著差异。单因素方差分析表来源平方和自由度均方和F 比因子 A212xntxSkiiAk-11kSA)/() 1/(knSkSFeA误差 eSe=ST-SAn-kknSe总和kitjijTxnxS1122n-1二 双因素方差分析 设在某试验中，有二个因素在变动。 因子A取r个不同程度 A1，A2，Ar， 因子B取s个不同程度 B1，B2，Bs， 在Ai,Bj程度组合下的试验结果独立地服从Nij，2分布。为了研究方便起见，把参数改变一下，并令risjijrs111rissjiji, 2 , 1,11rijsjrij1, 2 , 1,1riii, 2 , 1,sjjj, 2 , 1, 称为一般平均

9、，i为因子A的第i个程度的效应，j为因子B的第j个程度的效应，它们满足：risjji110, 0例3 将土质根本一样的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量一样，测得收获量如下表单位：公斤，试以显著性程度1=0.05,2=0.01考察品种和地块对收获量的影响是否显著。 地块品种B1B2B3B4B5A132.334.034.736.035.5A233.233.636.834.336.1A330.834.432.335.832.8A429.526.228.128.529.4一、双因子无交互作用方差分析若jiij，我们称

10、这种方差分析模型为无交互作用的方差分析模型。此时，我们只需对（Ai, Bj）的每个组合各做一次试验，记其结果为 yij，则分布且都服从间相互独立诸), 0(,0, 0., 2 , 1, 2 , 1,211Nsjrixijrisjjiijjiij无交互作用的方差分析模型假设有两个：H01:1=2=ar=0H02:1=2=s=0 假设检验结果回绝H01H02，那么认为因子AB的不同程度对结果有显著影响，假设二者均不回绝，那就说明因子A与B的不同水平组合对结果无显著影响。 双因素方差分析观测数据表 12jr1y11y12y1jy1r2y21y22y2jy2riyi1yi2yijyirsym1ym2y

11、mjysr记：sjyryriysyyrsyriijjsjijirisjij, 2 , 1,1, 2 , 1,1;11111risjijTyyS112)(sjjrisjriijiijyyryysyyyy1211122)()()(BAeSSSririiiiAsxxsS1122)()(因子A的偏向平方和反映了假设H01不真,因子A的效应间的差异引起的波动因子B的偏向平方和sjsjjjjBrxxrS122)()(反映了假设H02不真,因子B的效应间的差异引起的波动risjjiijexxxxS112)(误差平方和反映了误差的波动总的偏向平方和risjijTxxS112)(反映了数据yij波动eBASSS

12、在H01，H02为真时) 1(122rsST) 1(122rSA) 1(122sSB) 1)(1(122srSe)1)(1( , 1() 1)(1/() 1/(srrFsrSrSFeAA)1)(1( , 1() 1)(1/() 1/(srsFsrSsSFeBB 对给定的显著性水平，当)1)(1( , 1(1srrFFA时拒绝 H01，1FFB) 1( , 1(rs)1( s时拒绝 H02。方差分析表来源平方和自由度均方和F 比AriiAxnsxS122r-11rSA) 1)(1/() 1/(srSrSFeAABsjjBxnrxS122s-11sSB) 1)(1/() 1/(srSsSFeBBe

13、BATeSSSS(r-1)(s-1) 1)(1(srse总和risjijTxnxS1122rs-1例3 将土质根本一样的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量一样，测得收获量如下表单位：公斤，试以显著性程度1=0.05,2=0.01考察品种和地块对收获量的影响是否显著。 地块品种B1B2B3B4B5A132.334.034.736.035.5A233.233.636.834.336.1A330.834.432.335.832.8A429.526.228.128.529.4方差来源平 方 和自由度均 方F 值显著性品

14、种(A)SA=134.65344.8820.49* *地块(B)SB=14.1043.531.61误差(R)SR=26.2812误 差St=175.0319查表得临界值F0.054，12=3.26，F0.013，12=5.95。由于FBF0.054，12，故认为地块不同对收获量无显著影响。由于FAF0.013，12，故认为品种不同对收获量影响极显著。二、双因子有交互作用方差分析假设ij+i+j，那么称jiijija 为因子A的第i个程度与因子B的第j个程度的交互效应，它们满足关系式：riijsj1, 2 , 1, 0sjijrir1, 2 , 1, 0 为了研究交互效应是否对结果有显著影响，那

15、么在Ai,Bj程度组合下至少要做t2次试验，记其结果为yijk，那么分布相互独立均服从诸), 0(0, 0, 0, 0.21111Nyijksjijriijsjjriiijkijjiijktksjri, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1要检验假设:H01:1=2=ar=0H02:1=2=s=0 H03:对一切i,j有ij=0 将总的离差平方和分解：risjtkijkTyyS1112)(eBABASSSS Se反映了误差的波动；SA，SB，SAB除反映误差的波动外还分别反映了因子A的效应的差异，因子B的效应的差异，交互效应的差异所引起的波动。我们分别称它们为误并的偏向平方和，因子A的偏向平

16、方和，因子B的偏向的平方和以及交互作用AB的偏向平方和。在 H01为真时，)1(, 1() 1(/) 1/(trsrFtrsSrSFeAA在 H02为真时，)1(, 1() 1(/) 1/(trssFtrsSSSFeBB在 H03为真时，)1(),1)(1() 1(/) 1)(1/(trssrFtrsSsrSFeBABA方差分析表来源平方和自由度均方和F 比A riiAynstyS122r11rSA) 1(/) 1/(trsSrSFeAABSjjBynrtyS122s11sSB) 1/() 1/(tSsSFeBBABrisjijBAtyS112BASSyn2(r1)(s1) 1)(1(srSBABAF) 1(/) 1)(1/(trsSsrSeBAeBABATeSSSSSRs(t1) 1( trsSe对给定的显著性程度，当)1(, 1(1trsrFFA时,拒绝H01;当1FFB)1(, 1(trss时拒绝 H02;当)1(),1)(1(1trssrFFBA时拒绝 H03。例3 在某化工消费中为了进步收率，选了三种不同浓度，四种不同温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其收率数据如下面计算表所列数据均已减去75。试在=0.05显著性程度下检验不同浓度、不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响。B(温度) A(浓度)B1