概率论与数理统计大数定律及中心极限定理课件

1、概率论与数理统计大数定律及中心极限定理1 前面我们介绍了随机变量的数学期望，前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. . 但是在一些场合，仅仅知道随机变量但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的. .4.3 随机变量的方差随机变量的方差概率论与数理统计大数定律及中心极限定理2 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若

2、让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果a a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近概率论与数理统计大数定律及中心极限定理3例如例如, ,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击1010发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢? ?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙

3、炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好. . 中心中心中心中心概率论与数理统计大数定律及中心极限定理4 为此需要引进另一个数字特征，为此需要引进另一个数字特征，用它来度量用它来度量随机变量取值相对于其随机变量取值相对于其中心的离散程度中心的离散程度. .这个数字特征就是下面要介绍的这个数字特征就是下面要介绍的方方 差差概率论与数理统计大数定律及中心极限定理5 设随机变量设随机变量X的数学期望为的数学期望为E(X), 若若E(X-E(X)2存在存在, 则称它为则称它为X的方差的方差(此此时，也称时，也称X的方差存在的方差

4、存在)，记为，记为Var(X) 或或D(X) , 即即定义定义称称Var(X) 的算术平方根的算术平方根 为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为 (X). 方差的概念方差的概念Var (X)=E(X-E(X)2)ar(XV概率论与数理统计大数定律及中心极限定理6注意：注意： 1) Var(X) 0，即方差是一个非负实数。，即方差是一个非负实数。2）当）当X 服从某分布时，我们也称某分布服从某分布时，我们也称某分布的方差为的方差为Var(X)。3) 方差刻画了随机变量的取值相对于其数方差刻画了随机变量的取值相对于其数学期望即均值的离散程度。学期望即均值的离散程度。若若X的取值比较分散

5、，则方差较大的取值比较分散，则方差较大 . .若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；概率论与数理统计大数定律及中心极限定理7方差的计算公式方差的计算公式 (1) 若若X为为离散型离散型随机变量，其分布律为随机变量，其分布律为 pk= P(X=xk), k=1, 2, . , 且且Var(X)存在，则存在，则 21()()kkkVar XxE Xp 由定义可知，方差是随机变量由定义可知，方差是随机变量X的函数的函数 g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望 .概率论与数理统计大数定律及中心极限定理8（2）若）若X为连续型为连续型随机变量，其概率密随机变量，其概率密度为

6、度为f(x)，且，且Var(X)存在，则存在，则 （3）若随机变量）若随机变量X的方差的方差Var(X)存在，存在，则则 2()( - ()( ) Var Xx E Xf x dx22()() ()Var XE XE X概率论与数理统计大数定律及中心极限定理9 证明证明： Var(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：Var(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质概率论与数理统计大数定律及中心极限定理10 常见随机变量的方差常见随机变量的方差 (1)(1) 参数为参数为p的两点分布的

7、两点分布 分布列为：分布列为： 前面已经计算过：前面已经计算过：E(X)=p，又，又.1)0(,) 1(pXPpXP 所以所以.) 0(0) 1(1)(222pXPXPXE222()() .Var XE XEXpppq概率论与数理统计大数定律及中心极限定理11 分布列为：分布列为： 已计算过：已计算过：E(X)=np，又，又., 1, 0,)(nkqpCkXPknkkn 所以所以2() (1)E XE X XEX22()() .Var XE XEXnpq (2)(2)二项分布二项分布B(n, p)0(1)nkkn knkk kC p qnp2 22 (2)2(1)(2)!(2)!()!nknk

8、kn nnpqnpknk 22222 (2)222 0(1)(1)nkknknkn npCpqnpn npnp 概率论与数理统计大数定律及中心极限定理12 分布列为：分布列为： 已计算过：已计算过：E(X)=，又，又., 2, 1, 0,!)(kekkXPk 所以所以2()(1)E XE X XEX22()() .Var XE XEX (3)(3)泊松分布泊松分布P()0(1)!kkk kek222(2)!knkek220.!kkek概率论与数理统计大数定律及中心极限定理13 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又，又.,0,1)(其其它它bxaabxf 所

9、以所以bababadxabxdxxfxXE31)()(22222222()()() .12baVar XE XEX (4)(4)区间区间 a,b 上的均匀分布上的均匀分布U a,b 概率论与数理统计大数定律及中心极限定理14 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)=1/，又，又. 0,0; 0,)(xxexfx 所以所以2220()( )xE Xx f x dxxedx2221()() .Var XE XEX (5) (5) 指数分布指数分布E()200()|2 ()xxxexedx02xxedx2022.xxedx概率论与数理统计大数定律及中心极限定理15 概率密度为：概率密

10、度为： 已计算过：已计算过：E(X)= ，所以，所以222)(21)(xexf222212xyyyedy (6) (6) 正态分布正态分布N( , 2)22()2221() ()2()xVarE XEXxedxX 22222211()()|22yyyeedy222212yedy概率论与数理统计大数定律及中心极限定理16说明说明 正态分布的概率密度中的两个参数正态分布的概率密度中的两个参数 分别就是该分布的分别就是该分布的数学期望数学期望和和方差，方差，2, 因此，正态分布完全可由它的数学期望因此，正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定和方差所确定概率论与数理统计大数定律及中心极限定理17例例

11、1 1甲甲、乙乙两两人人射射击击，他他们们的的射射击击水水平平由由下下表表给给出出：X：甲甲击击中中的的环环数数；Y：乙乙击击中中的的环环数数；试试问问哪哪一一个个人人的的射射击击水水平平较较高高？概率论与数理统计大数定律及中心极限定理18例例1 1（续）（续）解：比比较较两两个个人人的的平平均均环环数数甲甲的的平平均均环环数数为为8 0.39 0.210 0.5EX 9.2 环环8 0.29 0.410 0.4EY 9.2 环环从从平平均均环环数数上上看看，甲甲乙乙两两人人的的射射击击水水平平是是一一样样的的，但但两两个个人人射射击击环环数数的的方方差差分分别别为为乙的平均环数为乙的平均环数

12、为概率论与数理统计大数定律及中心极限定理19例例1 1（续）（续） 2228 9.20.39 9.20.210 9.20.5DX 0.76 2228 9.20.29 9.20.410 9.20.4DY 0.624 DYDX 由由于于，这说明乙的射击水平比甲稳定这说明乙的射击水平比甲稳定概率论与数理统计大数定律及中心极限定理20例例2 2. 设设0, 0, 0,ln)(,21,21XXXXgYUX求求 E (Y ), D(Y ).解解:dxxfxgYEX)()()(21211)(dxxg2101lndxx2121ln21212ln21概率论与数理统计大数定律及中心极限定理21dxxfxgYEX)

13、()()(2221021lndxx2ln12ln2121ln121ln2122)()()(22YEYEYD22212ln212ln12ln21432ln212ln412概率论与数理统计大数定律及中心极限定理22例例3.3. 已知已知X的密度函数的密度函数为为其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中其中 A，B 是常数，且是常数，且 E(X) = 0.5. . 求求 A，B.(2)(2)设设 Y=X2, 求求 E(Y) , D(Y).概率论与数理统计大数定律及中心极限定理23解解: : (1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA

14、6, 6BA概率论与数理统计大数定律及中心极限定理24(2)103)66()()()(102222dxxxxdxxfxXEYE71)66()()()(1024442dxxxxdxxfxXEYE70037)()()(22YEYEYD概率论与数理统计大数定律及中心极限定理25性质性质1: 若若X=C，C为常数，则为常数，则 Var(X)=0 . 方差的性质方差的性质若若b为常数为常数,随机变量随机变量X的方差存在，的方差存在，则则bX的方差存在，且的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X)性质性质2:Var (aX + b ) = a2 Var(X)结合性质结合性质1与性质与性质2就有就

15、有概率论与数理统计大数定律及中心极限定理26若随机变量若随机变量X1,X2,Xn的方差都存在，的方差都存在，则则X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 若随机变量若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则性质性质4:n2时就有时就有性质性质3:ninjjijiniiEXEXXXEXVar111)()()()()(11nnXVarXVarXXVarVar(X Y)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)Var(X Y)= VarX +VarY若若X, Y独立，独立，概率论与数理统计大数定律及中心极限定理27一般地一般地证：证： 22( )( ) 2aVar

16、 XbVar YabE XEXYEY 概率论与数理统计大数定律及中心极限定理28若若 X,Y 独立，则独立，则E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)=0 故故22()( )a Var XbVar Y ()Var aXbY 22( )( ) 2aVar XbVar YabE XEXYEY 概率论与数理统计大数定律及中心极限定理29性质性质6: 性质性质6说明说明除了以概率除了以概率1等于常数的随机等于常数的随机变量外，任何随机变量的方差都大于变量外，任何随机变量的方差都大于0. 性质性质5: 对任意常数对任意常数C, Var(X ) E(X C)2 ,等号成立当且仅当等号成立当

17、且仅当C = E(X ). .Var(X ) = 0 P (X = E(X)=1称为称为X 依概率依概率 1 等于常数等于常数E(X). 性质性质5说明说明随机变量随机变量X在均方误差的意义在均方误差的意义下距离均值下距离均值E(X)最近最近. 注注：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于差大于0。概率论与数理统计大数定律及中心极限定理30解解：设设XB(n,p), 则则X表示表示n重贝努里试验重贝努里试验中事件中事件 A 发生的次数发生的次数 ，且在每次试验中，且在每次试验中A发生的概率为发生的概率为p. 引入随机变量引入随机变量 11,2, .kAk

18、XknAk， 在第 次试验发生，0， 在第 次试验不发生，则则 是事件是事件A发生的次数发生的次数1nkkXX例例4 设设X B(n, p)，求，求 Var(X)概率论与数理统计大数定律及中心极限定理31由于由于Xk只依赖于第只依赖于第k次试验，而各次试验次试验，而各次试验相互独立，于是相互独立，于是 X1，X2，Xn 相互独立，而且都相互独立，而且都 服从两点分布，故服从两点分布，故 Var(Xk)= p(1- p) k=1,2,n.因此因此1()()nkkVarXVar X1(1)().nkkVanrpXp概率论与数理统计大数定律及中心极限定理32则则11()niiEXn例例5 5. .

19、设设X1, X2, , Xn相互独立，有共同的期望相互独立，有共同的期望 和方差和方差 ，2.1)1(,)1(211nXnVarXnEniinii证明证明: :211()niiVarXn11()niiEXn11()niiE Xn211()niiVarXn211()niiVar Xn21.n概率论与数理统计大数定律及中心极限定理33例例6.6.已知随机变量已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个相互独立，且每个Xi的期望都是的期望都是0，方差都是，方差都是1， 令令Y= X1+X2+Xn . .求求 E(Y2).解：由已知，则有解：由已知，则有( )E Y2()E Y因此，因此，( )D Y

20、12( )()()nE YE YE Y012( )()()nD YD YD Yn2( )( )D YE Y. n概率论与数理统计大数定律及中心极限定理34例例7.7.设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且 XN(1,2), YN(0,1), 试求试求 Z=2X-Y+3 的期望和方差。的期望和方差。 由已知，有由已知，有E(X)=1, D(X)=2, , E(Y)=0, D(Y)=1, 且且X和和Y独立。因此，独立。因此，D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 解解: :注：由此可知注：由此可知 ZN（5,9）。概率

21、论与数理统计大数定律及中心极限定理35则且相互独立，若, 2 , 1),(2niNXiii.,12212211niiiniiinnCCCNCXCXCXC的常数。是不全为这里，0C,C,Cn21结论：结论：概率论与数理统计大数定律及中心极限定理36标准化随机变量标准化随机变量设随机变量设随机变量 X 的期望的期望E(X )、方差方差D(X )都存在都存在,且且D(X ) 0, 则称则称)()(XDXEXX为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量. 显然显然，1)(, 0)(XDXE概率论与数理统计大数定律及中心极限定理37解：解：1()()E XE XVar XE X22()() ()ED X

22、XE X1 ()(0()E XE XVar X2()()XE XEVar X21( )( )E XE XVar X()1(Var XVar X()().XE XXVarXXX即的数学期望为0，方差为1.称为的标准化变量概率论与数理统计大数定律及中心极限定理38C. 两个不等式两个不等式 定理定理3.2 (马尔可夫马尔可夫(Markov)不等式不等式)：对随机变量对随机变量X 和任意的和任意的 0，有，有.0,|1|XEXP证明证明: : 设为连续型设为连续型, 密度函数为密度函数为f(x), 则则|E X| |( )xf xdx| |( )| |( )xf x dxxf x dx( )( )f

23、 x dxf x dx()()P XP X (|)P X概率论与数理统计大数定律及中心极限定理39上式常称为上式常称为切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式 |( )|P XE X在马尔可夫不等式中取在马尔可夫不等式中取 =2, X为为X-EX 得得是概率论中的一个基本不等式是概率论中的一个基本不等式. 221|( )|E XE X2( )Var X概率论与数理统计大数定律及中心极限定理40当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随随机变量机变量 X与它的期望的偏差小于与它的期望的偏差小于 的概率的概率的下限的估计式的下限的估计式 . 如取如取 32

24、2|()| 3 10.88899PXE X 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则存在，则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)小于小于 3 的的 概率不小于概率不小于0.8889 .2 概率论与数理统计大数定律及中心极限定理41例例8.8.已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X 的平均值为的平均值为1元，元，标准差为标准差为0.1元，求元，求a，使股价超过，使股价超过1+a元或低于元或低于1-a元的概率小于元的概率小于10%。解：解：由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式201. 0)| 1(|aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a概率论与数理统计大数定律及中心极限定理42 例例9.9. 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，需要多么大时，才能使得在才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中, 事件事件A出现的出现的频率在频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至