第13章静定结构内力计算

1、第章静定结构的内力计算学习目标 通过本章的学习，熟悉静定梁受力分析，能进行静定平面刚架、静定拱、静定平面桁架的内力计算。静定梁是建筑工程中最常见的结构，它构造简单、施工方便，所以在实际工程中被广泛采用。静定梁通常分为单跨和多跨两种形式。单跨静定梁的内力分析在前面的章节已经做过讨论，在这里我们加以回顾和补充，以便使读者能更熟练掌握。静定梁 单跨静定梁 单跨静定梁的形式在实际工程中，通常有简直梁、伸臂梁和悬臂梁，如图所示。 单跨静定梁的内力设简支梁犃犅在外力犘作用下处于平衡状态，如图所示。可见，在任意外荷载作用下，在梁的截面上，一般有轴力犖、剪力犙和弯矩犕，如图所示。计算指定梁截面内力的基本方法是

2、截面法，即将杆件在指定截面断开，取左边部分或右边部分为隔离体，利用隔离体建立平衡方程，计算出此截面的内力。一般规定：轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体顺时针转者为正；弯矩以使梁下部受拉为正。由截面法可以得出截面内力如下：（）轴力N在数值上等于截面以左或以右部分的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和；（）剪力Q在数值上等于截面以左或以右部分的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；（）弯矩M在数值上等于截面以左或以右部分的所有外力对截面形心的力矩代数和。 利用M（X）、Q（X）和q（x）微分关系绘制内力图假设外伸梁AB上作用有均布荷载q（x），荷载集度q（x）是梁横截面位置狓的函数。截取梁上微段狓为研究对

3、象，其受力图如图所示。由平衡方程可得出荷载集度q（x）和梁的内力的关系式：根据上述关系，可得到各种形式的荷载作用下的梁的内力图形的规律，现总结如下：（）均布荷载狇的区段：当狇，剪力图在该区段为斜直线（狇竖直向下时，直线斜率为负；狇竖直向上时，直线斜率为正），弯矩图则为抛物线（凸起方向和狇指向相同）；当狇，剪力图在该区段为水平线，弯矩图则为斜直线（该段上剪力为正时，斜率为负；该段上剪力为负时，斜率为正）。（）集中力区段：有集中力作用处，剪力图有突变（突变的方向同集中力指向，突变值大小等于集中力数值），弯矩图有尖角（尖角指向同集中力指向）。（）力偶区段：有力偶作用处，剪力图没有变化；弯矩图则有突变

4、（突变大小等于力偶值）。熟练掌握上述内力图形状上的这些特征，对于正确快速地绘制梁的内力图有很大的益处。用简捷法绘制内力图的一般步骤如下：（）计算支座反力。（）以荷载不连续的点（如集中力、力偶等）作为分段点，将梁分段。（）建立各段的平衡方程，计算控制截面（如集中力、力偶作用点的两侧的截面等）的内力值。（）连线。根据各段的内力形状，用直线或曲线依次连接各控制截面。（）在图上确定最大内力的位置及数值。 叠加法绘制弯矩图结构在几个荷载作用下的某一参数值（如反力、内力、应力、变形等）的大小，等于各个荷载单独作用时所引起的该参数值的代数和称为叠加原理。叠加原理在力学计算中应用得较为广泛。当梁上同时作用多个

5、荷载时，可先分别绘制各个荷载单独作用下，梁的剪力图和弯矩图，然后应用叠加原理，将其对应横截面处的剪力和弯矩值代数值竖向叠加，即可得到多个荷载同时作用时，梁的剪力图和弯矩图。必须指出：所谓叠加，在各个单个荷载作用下，将同一截面处的弯矩图纵坐标叠加。【例】集中力P 和P 作用于外伸梁上（图），试用叠加法绘制该梁的弯矩图。解：先将荷载分为两组：集中力P 和P 各为一组，分别绘制出在各自单独作用下的弯矩图M 和M，如图（）、（）所示，然后叠加。 分段叠加法静定结构中，在绘制梁的弯矩图时，可采用分段叠加法，这样可使绘制工作得到很大的简化。首先，讨论如图（）所示的简支梁，梁上作用的荷载包括两部分：均布荷载

6、狇、端部的力偶犕犃和犕犅。当均布荷载狇单独作用在梁上时，弯矩图图（）为二次抛物线。当梁端部力偶犕犃和犕犅分别单独作用在梁上时，弯矩图图（）为直线。如果将图（）和图（）所示的弯矩图竖向叠加，即可得到均布荷载狇和端部力偶犕犃、犕犅同时作用在梁上时的弯矩图（犕图），如图（）所示。应当特别注意，这里所说的弯矩图叠加，是指纵坐标的叠加，而不是指弯矩图形的简单对于结构中直杆件任意区段的弯矩图，也可以利用上述的竖向叠加绘出。以图（）所示的杆件为例，取其隔离体图（），隔离体上除了作用有均布荷载狇，还有杆件内力（包括杆端弯矩犕犃、犕犅，剪力犙犃、犙犅和轴力犖犃、犖犅）。将隔离体图（）和相应简支梁图（）进行比较，

7、假设简支梁承受相同的均布荷载狇和相同的杆端部力偶犕犃、犕犅。简支梁支座反力为犚犃、犚犅，在图（）、（）中，建立平面力系的平衡方程，容易得出：由此可知，两者的受力状态完全相同，故两者的弯矩图也是相等的。可得出结论：结构中绘制任意区段梁的弯矩图的问题可以归于绘制相应简支梁的弯矩图的问题图（）。把单个荷载作用下的简支梁的弯矩图利用叠加原理竖向叠加，就可以得到相应的简支梁在荷载共同作用下的弯矩图，这就是所谓的分段叠加法。分段叠加法绘制任意直杆件的弯矩图，可归纳为如下几个步骤：（）选取杆上外荷载变化（不连续处）的位置（如集中力、力偶作用点、分布荷载的起点和终点等）作为控制截面，计算出该截面上的弯矩值。（

8、）根据各控制截面之间有无均布荷载狇绘制弯矩图。当控制截面间无均布荷载作用（狇）时，可用直线依次连接各控制截面的弯矩值绘制出该区段内弯矩图；当控制截面有均布荷载作用（狇）时，先用直线依次连接各控制截面的弯矩值，然后再叠加上该区段上相应简支梁的弯矩图在剪力图的基线相应位置上依次定出上述各控制截面处竖标，利用剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系绘制各区段间的剪力图：AB、CD、DE和EG段上无均布荷载（q）作用，剪力值为常数（QC），故剪力图为一条水平线，犅犆段上有均布荷载（q）作用，剪力是一次曲线，故剪力图为一条斜直线。绘制剪力图如图（）所示。在弯矩图的基线相应位置上依次定出上述各控制截面处的竖标（

9、弯矩值），利用剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系绘制各区段间的弯矩图：在梁的左端犃点控制截面处有力偶犕作用，弯矩图在该处会出现竖向突变，突变值的大小等于该处集中力偶犕的大小，突变的指向（顺时针集中力偶，突变竖直向下；逆时针集中力偶，突变竖直向上）； AB、CD、DE和EG段上无均布荷载（q），可用直线依次将各控制截面的竖标相连；在绘制犅犆段的弯矩图时，先用直线图（）中虚线连接犅、犆两点的弯矩值，然后以该直线为基线，竖向叠加上相应的简支梁在相同均布荷载作用下的弯矩图，即可绘制出整个外伸梁的弯矩图如图（）。 多跨静定梁多跨静定梁是指由若干个单跨静定梁用铰连接，并通过支座与基础相联而成的结构。它是工

10、程中被广泛应用的一种结构形式，如公路桥梁（图）及房屋建筑工程中。从几何组成上看，多跨静定梁的各个部分可以分为基本部分和附属部分。例如上述多跨静定梁，其中犃犅部分有三根支座链杆和基础直接相联结，符合两钢片规则，是几何不变体系，故其不依赖结构中的其他部分而能独立地维持其几何不变性，被称为基本部分。同理，犆犇部分也是基本部分。而犅犆部分则必须依靠基本部分才能维持其几何不变性，故称为附属部分。显而易见，若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变体系。反之，如果基本部分被破坏或撤除，则附属部分是几何可变体系，将无法独自维持自身的平衡。为了更加清晰地表示结构中各部分之间的支承关系，可以用如图所示的层次图

11、来表示各部分之间的支承关系。从受力分析来看，由于基本部分直接与基础组成几何不变体系，因此它能独立承受荷载。当荷载作用于基本部分上时，由平衡条件可知，将只有基本部分受力，而附属部分不受力。当荷载作用于附属部分上时，则不仅附属部分受力，由于它是支承在基本部分上的，其反力将通过连接两部分的铰传给基本部分，因而，使基本部分也受力。因此，计算多跨静定梁的支座反力的顺序为先附属部分，后基本部分。先求出附属部分的支座反力后，再将其反向施加于基本部分上，即将其作为基本部分的外荷载，最后计算出基本部分的支座反力。若将此多跨静定梁的弯矩犕图与相应多跨简支梁的弯矩图犕图（）进行比较，可知前者的最大弯矩值仅是后者的最

12、大弯矩值的。这说明由于在多跨静定梁中布置了伸臂梁的缘故，一方面，减少了附属部分的跨度，另一方面，又使伸臂梁上的荷载对基本部分产生负弯矩，从而部分抵消了跨中外荷载所产生的正弯矩。因此，多跨静定梁比相应多跨简支梁在材料用量上较节省，但在构造上较之复杂一些。 静定平面刚架概述刚架是直杆组成的具有刚性结点的结构。刚架结构在土木工程中使用较为广泛。如加油站或火车站站台的雨篷，由三根直杆用刚结点相连接所组成，柱子固定于基础中，由于横梁倾斜坡度不大，可以近似的水平直杆来代替。当刚架受力而产生变形时，汇交于刚结点的各杆件之间的夹角始终不变，刚结点的这一特性，是对刚架进行分析的出发点。如果构成刚架的杆件的轴线都

13、在同一平面，且所受的荷载也作用在该平面内，则称此刚架为平面刚架。平面刚架可分为悬臂刚架图（）、三铰刚架图（）及简支刚架图（）。 刚架的内力绘制静定刚架的内力图，特别是弯矩图和剪力图，完全可以采用绘制静定梁内力图的方法。因此，有关梁的内力图形状特征的描述和用叠加法绘制犕图等，同样适用于刚架中各杆件。为了明确表示各截面内力，特别是为了区别相交于刚结点处的不同杆端截面的内力，一般情况下，在内力符号右下角采用两个脚标。其中，第一个脚标表示内力所属截面，第二个脚标表示该截面所属杆的另一端。例如犕犃犅表示犃犅杆件犃端截面处的弯矩值，犕犅犃则表示犃犅杆犅端截面处的弯矩值。下面通过例题来说明刚架内力图的绘制步

14、骤。AC杆和CD杆上轴力不变，为常数，故轴力图为直线。CE杆、EB杆由于荷载与杆轴垂直，轴力为零，则利用各杆端轴力即可绘出轴力图。按规定，轴力图可画在杆轴线的任一侧，但必须注明正负号。轴力图如图（）所示。（）校核。绘出的内力图是否正确，可应用平衡条件来校核。方法是任取一结点或杆件为隔离体，根据隔离体所受的荷载及内力画出其受力图，然后利用平衡方程检查它们是否满足平衡条件。例如取结点犇点为隔离体，读者可自行校核。值得注意的是，在静定刚架结构中，充分利用弯矩图的形状特征，可以不求或少求反力而迅速绘出弯矩图。可总结如下几点：（）直杆的无荷载区段弯矩图为斜直线。（）刚架的铰结处的弯矩为零。（）刚架的刚结

15、点处的弯矩：根据力矩平衡条件，用叠加法作弯矩图。（）外力与杆轴重合时不产生弯矩，外力与杆轴平行及外力偶产生的弯矩是常数。（）对称性的利用。上述的几点特征都会给绘制弯矩图带来极大的方便。至于剪力图，则可以根据弯矩图的斜率或杆端的平衡条件求得。然后，根据剪力图利用结点投影平衡条件又可以作出轴力图和支座反力。静定刚架的内力分析，不仅为强度计算所必需，而且是位移计算和分析超静定刚架的基础，尤其是弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课程最重要的基本功之一，读者务必通过足够的习题切实掌握。 静定拱概述由在竖向荷载作用下支承处产生水平力的曲杆构成的结构称为拱。水平力指的是拱的两个支座处指向拱内侧的水平反力或称

16、为推力。我们将在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构也称为拱式结构。因此，在竖向荷载作用时，水平力有或无便成为区别拱式结构和梁式结构的主要标志。拱常见的形式有无铰拱、两铰拱、三铰拱。前两者为超静定结构，三铰拱为静定结构，如图（）、（）、（）所示。在拱结构中，由于水平力的存在，拱的弯矩要比同跨度、同荷载作用下的梁的弯矩小。拱截面上的应力分布比较均匀，主要承受的是压力，这样就可以利用如砖、石和混凝土等抗拉强度低而抗压强度高的材料建造拱结构，以便充分发挥材料的性能。在房屋建筑、公路桥梁、水利等工程中，拱结构都得到广泛应用，如图所示的屋面结构。 利用上述关系式，可以借助简支梁的支座反力和内力的计算结果来

17、求三铰拱的支座反力。只受竖向荷载作用的三铰拱，两固定铰支座的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁截面犆处的弯矩与拱高的比值。由于拱轴线为曲线，三铰拱的内力计算较为复杂，但也可以借助相应的简直梁的内力计算结果，来求拱上任意截面的内力。 合理拱轴线由前节已知，当荷载及三个铰的位置给定后，三铰拱的反力就可以确定，而与各铰间拱轴线形状无关；三铰拱的内力则与拱轴线形状有关。当拱上所有截面的弯矩都等于零（可以证明，从而剪力也为零）而只有轴力时，截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以最充分利用。单从力学观点看，这是最经济的，故称这时的拱轴线为合理拱轴线。合理拱轴线可以根据弯矩为零的条件来确定。

18、在竖向荷载作用下，三铰静定拱任一截面犓截面的弯矩可由公式犕犓犕犓犚犃狓狔犓计算，则合理拱轴线方程可由下式求得 静定平面桁架桁架概述桁架是指由铰结点连接的直杆组成的结构，如图所示。桁架结构中，依杆件所在位置不同，可分为弦杆和腹杆两类。上下缘的杆件分别称为上弦杆和下弦杆，上下弦杆间的杆件称为腹杆，腹杆包括斜杆和竖杆。两个相邻弦杆间的水平距离称为结点长度，桁架两个支座间的水平距离称为跨度。支座连线至桁架最高点的距离犺称为桁高。按几何外形不同，桁架可分为平行桁架、折线桁架、三角桁架，分别如图（）、（）、（）所示。按有无水平支座反力，桁架可分梁式桁架，如图（）、（）、（）所示；拱式桁架，如图（）所示。按

19、几何组成不同，桁架分为：简单桁架（由一个基本部分为铰结的三角形组成，在此基础上依次增加二元体组成的桁架），如图（）、（）、（）所示；联合桁架（由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成规则联合组成的桁架），如图（）、（）所示；复杂桁架（除了前两种方式组成的其他桁架），如图（）所示。 桁架的计算简图从前面内容可知，梁和钢架都是以承受弯矩为主（构件的横截面上主要产生弯曲正应力），由于其内力是非均匀分布的（边缘处应力最大），这样就使构件中部的材料没有得到充分利用。而以主要承受轴力的桁架，就可以弥补梁和刚架结构的不足。在荷载作用下，桁架截面上应力分布是均匀的，充分发挥了构件材料的性能，因此桁架被广泛应用于

20、民用房屋及工业厂房中的屋架、托架，铁路和公路桥梁等大跨度结构中。在平面桁架的计算简图中，为了方便计算，通常采用如下假定：（）桁架的各结点都是无摩擦的理想铰；（）桁架的各杆轴都是直线，并且在同一平面内，通过铰的中心；（）桁架上的荷载及支座反力都只作用在结点上，并在桁架的平面内。这样可知，桁架的各杆件的内力就只有轴力，截面上的应力是均匀分布的，可同时达到容许值，材料能得到充分利用。所以，相对于梁结构而言，桁架的材料较省，并能跨越更大的跨度。但在工程实际中的桁架并不完全符合上述理想假定。实际结构与上述计算简图之间尚存在以下一些差别：结点的刚性；各杆轴线不可能绝对平直，在结点处也不可能准确交于一点；非

21、结点荷载（例如杆件自重，风荷载等）；结构的空间作用等。通常把按理想平面桁架算得的应力称为主应力而把上述一些因素所产生的附加应力称为次应力。理论计算和实际量测结果表明，在一般情况下次应力的影响不大，可以忽略不计。对于必须考虑次应力的桁架，则应将其各结点视为刚结点而按刚架计算，这种情况采用矩阵位移法用计算机计算是方便的，如图所示屋架。 桁架内力计算桁架的内力计算，与前述梁和刚架的内力计算有较大的差别，其内力计算方法主要有三种，即结点法、截面法和联合法。在求桁架各杆的内力时，截取桁架中的一部分为脱离体，考虑脱离体的平衡，由平衡方程求出各杆的内力。 结点法结点法是指截取桁架的结点作为隔体，由结点的静力

22、平衡条件来计算杆件的内力。由于桁架的各杆只承受轴力，所以，作用于任一结点上的各力（包括荷载、支反力和内力）组成了一个平面汇交力系。因此，我们可以每一结点列出两个平衡方程进行计算。结点法是分析桁架的基本方法之一。从理论上讲，它可以解算任何类型的静定平面桁架。在实际计算中，为了避免解算联立方程，采用结点法时，应从未知力不超过两个的结点开始计算，并且在计算过程中应尽量使每次截取的结点，作用其上的未知力不超过两个。简单桁架可以保证我们按这一要求进行计算，因此，结点法最适用于计算简单桁架。在建立平衡方程时，通常需要把斜杆的轴力犖分解成水平分力犖狓和竖向分力犖狔。如图中，设斜杆犃犅的杆长为犾，水平方向的投

23、影为犾狓和竖直方向投影为犾狔，则犾、犾狓、犾狔构成一个三角形；斜杆犃犅的轴力犖、水平分力犖狓和竖向分力犖狔也构成了一个三角形。由几何关系可知，两个三角形相似，因此可得下列比例关系：通过在计算中应用上述比例关系，可避免计算斜杆的倾角及三角函数，从而提高了计算效率。【例】试用结点法求图（）所示桁架各杆的内力。如前所述，用截面法计算桁架内力时，被截断的杆件一般不超过三根。在有些情况下，我们也常常将截面法和结点法联合起来计算桁架内力，这样会使计算更为方便。通过下面的例题来说明两种方法联合运用。【例】试求图所示桁架的内力。 静定平面组合结构概述在结构中只承受轴力的杆件称为链杆（又叫二力杆），既承受轴力又

24、承受剪力和弯矩的杆件称为梁式杆，由链杆和梁式杆组成的结构被称为组合结构。在组合结构中，链杆的受力特点能较好发挥材料性能，并由于其对梁式杆的加劲作用，使梁式杆的受力状态得到改善，因此，组合结构多被用于较大跨度的建筑物及桥梁中。如图（）所示为下撑式五角形屋架组合结构，它的上部为钢筋混凝土材料，主要承受弯矩；腹杆和下弦杆则为型钢材料，主要承受轴力。图（）所示为此组合结构的计算简图。同样可采用截面法和结点法计算组合结构内力。值得注意的是，用截面法分析组合结构的内力时，应尽量避免截断梁式杆。分析这类组合结构的步骤一般是先求出反力，然后计算各链杆的内力，最后计算梁式杆的内力并绘制结构的内力图。各式桁架受力性能比较不同形式的桁架，其内力分布的情况及适用的场合也不尽相同。设计时应根据具体实际的要求选用。在竖向荷载作用时，基础支座处不产生水平力的桁架，我们称之为梁式桁架（如上述的几个例题中所示的桁架），下面我们就工程中常用的简支梁式桁架（平行桁架、抛物线桁架和三角桁架等）进行比较。如图所示为各式桁架在相同荷载、相同跨度的内力值。从图（）所示三角桁架的内力值可知，弦杆的内力由两端向中间递减（两端大，中间小）；腹杆（斜杆或竖杆）的内力由两端向中间递增（两端小，中间大）。三角桁架由于其内力分布不均匀，两端大，中间小，并且杆件两端夹