电大高等数学基础

1、高等数学基础归类复习一、单项选择题1-1 下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A.f ( x)( x) 2 ， g (x)xC.f ( x)ln x3， g( x)3 ln x1- 设函数f (x) 的定义域为 (,A.坐标原点B.x 轴设函数 f( x) 的定义域为 (,A.yxB.x 轴. 函数 ye xex的图形关于（2B.f (x)x2， g ( x) xD.f ( x)xx 211 ， g (x)1x) ，则函数 f (x)f (x) 的图形关于（ C）对称C.y 轴D.yx) ，则函数 f ( x)f (x) 的图形关于（ D ）对称C. y 轴 D. 坐标原点A ）对称(A)坐

2、标原点(B)x 轴(C)y 轴(D)yx1- 下列函数中为奇函数是（B）A.yln(1x2 )B.yx cosxC.ya xaxD.yln(1 x)下列函数中为奇函数是（A ）2A.yx3x B.yexe xC.yln( x1)D.yx sin x下列函数中为偶函数的是（D）Ay(1x)sin xByx2 xCyx cosxDyln(1 x2 )2-1下列极限存计算不正确的是（D）A.limx21B.lim ln(1 x) 02xx2x0C.lim sin x0D.lim x sin 10xxxx2-2 当 x0 时，变量（C）是无穷小量A.sin xB.1C.xsin 1D.ln( x2)x

3、xx当 x 0 时，变量（ C ）是无穷小量 A. 当 x0 时，变量（ D ）是无穷小量 A1x1xBBsin xCex1 Dxxx2sin xC2 xDln( x 1)x下列变量中，是无穷小量的为（B）Asin 11x2 x 2x 0 Bln x1 x 0 C ex xD.xx24f (12h)f (1)3-1 设 f ( x) 在点 x=1 处可导，则 limh（ D）h0f (1)f(1)2 f (1)A.B.C.D.设 f (x) 在 x0 可导，则 limf ( x02h)f ( x0 )（ D）hh0A f ( x0 )B2 f (x0 )f ( x0 )CD2 f ( x0 )

4、设 f (x) 在 x0 可导，则 limf ( x02h)f ( x0 )（D ）h02hA.2 f ( x0 )B.f ( x0 )C.2 f ( x0 )D.2 f (1)f ( x0 )设 f (x)ex ，则 limf (1x)f (1)（ A） AeB. 2eC.1 eD.1 ex0x243-2. 下列等式不成立的是（D ）A. exdxdexBsin xdxd (cos x)C.21dxdxD.ln xdxd(1 )xx下列等式中正确的是（B ）A.1xdxB.1dxd (1 x 2 )arctand( x )x2C.d (2 x ln 2)2 x dxD.d (tan x)co

5、t xdx4-1 函数 f ( x)x24x1的单调增加区间是（D）A. (, 2)B.( 1,1)C.( 2,)D.(2,)函数 yx24x5在区间 (6 ,6) 内满足（ A ）A. 先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升. 函数 yx2x6 在区间（ 5， 5）内满足（ A）A 先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升. 函数 yx 22x6 在区间 (2, 5) 内满足（ D ）A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升5-1 若 f ( x) 的一个原函数是1 ，则 f( x)（ D） A.ln xB.

6、1C.1D.2. 若 F ( x) 是f (x)xx2xx3的一个原函数，则下列等式成立的是（A ）。xf ( x )dxF ( x)F (a )BbF ( x)dxf (b)f (a)AaaC f ( x)F ( x)Dbf ( x )dxF ( b)F ( a )a5-2 若 f (x)cos x ，则f ( x)dx（ B）A. sin xcB.cosxcC.sin xcD.cosxc下列等式成立的是（D）A.f ( x)dxf (x)C.df (x)dxf (x)B.D.df ( x)f (x)df ( x) dxf ( x)dxdx 2 f ( x 3 )dx （ B） A.f (x

7、 3 ) B.x 2 f ( x3 ) C.1 f ( x) D.1 f (x3 )dx33dxf ( x2 )dx（D） Axf ( x 2 ) B1 f ( x)dx C 1 f (x) Dxf ( x 2 )dxdx1 f (22-3 若f (x)dxF ( x)c ，则x )dx（B ）xA.F ( x) cB.2F ( x) cC.F (2 x) cD.1 F ( x ) cx补充：exf (ex)dxF (ex) c ,无穷积分收敛的是1dx12x函数 f (x)10 x10 x 的图形关于 y轴对称。二、填空题函数 f( x)x 29ln( 1x) 的定义域是（3， +）x3函数

8、 yx4x 的定义域是（2， 3） （3， 4ln( x2)1（ 5，2）函数f (x) ln( x 5)的定义域是2x若函数 f (x)x21 ,x012 x ,x，则 f (0)012 若函数 f ( x)(1x) x ,x0 ，在 x0处连续，则 kexk ,x0. 函数 f ( x)sin 2xx0 在 x0处连续，则 k2xkx0x 1 ,x0函数 yx的间断点是x=0sin x ,0函数函数x 22x 3。y的间断点是x=3x31的间断点是 x=0y1 ex3- 曲线 f (x)x 1在 (1, 2) 处的切线斜率是曲线 f (x)x2 在 (2 , 2) 处的切线斜率是曲线 f

9、(x)ex1 在（ 0，2）处的切线斜率是. 曲线 f ( x)x31在 (1, 2) 处的切线斜率是3-2 曲线 f (x)sin x 在 ( , 1) 处的切线方程是2曲线 y = sinx在点 (0,0) 处的切线方程为1/21/413y = 1切线斜率是 0y = x切线斜率是 14. 函数 yln(1x2 ) 的单调减少区间是（ ，0）函数 f (x)ex2的单调增加区间是（0，+）. 函数 y(x1) 21的单调减少区间是（ ，1）. 函数 f ( x)x 21的单调增加区间是（ 0，+ ）函数 yex2的单调减少区间是（ 0，+ ）5-1 d e x2dxe x2dx.dsin

10、x2dxsin x2 dx(tan x) dxtan x +C若f (x)dxsin3xc ，则 f( x)35 x1)dx5-2(sin332下列积分计算正确的是（B）1( xx )d01xAeB(e1ex1三、计算题 9 sin 3x1x 3dx0de0x 2dxln( x 1)dx111x )d0 C12 d0 D1ex| x |dx0xx11（一 ）、计算极限（1 小题， 11 分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质：f ( x0 ) 有定义，则极限 lim f ( x) f (x0 )x x0类型 1： 利用重要极限lim sin x1，

11、 lim sin kxk ，lim tan kxk计算x 0xx0xx 0x1-1 求 lim sin 6 x sin 6 x解：limsin 6 xlimx6x 0 sin 5xx 0sin 5 xx 0sin 5 x5x1-2 求tan xlimtan x1tan x11lim解：limx31x 0 3xx 0 3x3 x 031-3 求 limtan 3x解： lim tan 3x = lim tan 3x .3133x 0xx 0xx 03x类型 2： 因式分解并利用重要极限limx a2-1 求 limx 21 解：limx1 sin( x1)xsinx1解：2-2 limx21x

12、12-3 lim x24x3解： lim x24xx 3 sin(x3)x3 sin( x类型 3：因式分解并消去零因子，再计算极限sin( xa)1， limxa( xa)a)xa sin( xx21= lim( x1).(x 1)1 sin( x1)x1 sin( x 1)lim sin( x1)lim sin( x1) .x 1x 21x 1( x1) (x3lim ( x3)( x1)lim (x3)x3sin( x3)x31化简计算。1(11)1111) 1 11) 22123-1limx 26x8解： limx 26x 8 = lim ( x4)( x2)lim x22x 4 x

13、25x 4x 4 x 25x 4x 4 ( x 4)( x 1)x 4 x 1 33-2limx2x 6limx2x 6x 3 x 2limx 2 5x2x 12x2x 12limx3x3x3 x 3 x 4x3 x 4 73-3limx 223x2解lim x 23x2lim( x2)( x1)limx 11x 2x4x 2x24x 2 ( x 2)( x 2)x 2 x 2 41x211 x2sin xlim sin其他：limlim20 ，lim12x0sin xx0 sin xx0x1x01x2limx 26x 5limx 21，2 x26xlim2x22x24 x5x2lim24x5

14、3x23xxx3xxtan 8xtan 8xtan 8 x8x（0807 考题）计算 lim解： lim= lim.24x0 sin 4xx0 sin 4xx0 sin 4 xx（0801 考题 .）计算 lim sin x 解 lim sin x1 lim sin x1x 0 2xx 0 2x2 x 0x2（0707 考题 . ） limx 22x3= lim( x1).( x3)1 (13)4x1sin( x 1)x1sin( x1)（二）求函数的导数和微分（1 小题， 11 分）（1）利用导数的四则运算法则(uv)uv(uv)u vuv（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式类型 1：

15、加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1y( xx3)ex331313解： y x2 3 exx23 ex3 x2 exx23 ex3 x2x 23 ex221-2ycot xx2 ln x解： y(cot x)(x 2 ln x)csc2x( x2 )ln xx 2 (ln x)csc2 x2x ln x x1-3设 yextan xln x ，求 y 解： y(ex tan x)(ln x)(ex ) tan xex (tan x)1extan xex sec2 x1类型 2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导xx2-1y sinx2

16、ln x ，求 y解： y(sin x 2 )(ln x) 2x cos x212-2 y cosexsin x2 ，求 yx解： y(cos ex )(sin x 2 )sin ex .(ex )cos x 2 .( x2 )ex sin ex2x cos x22-3yln 5 xe 5 x ，求 y ，解： y(ln 5 x) .(e 5 x )5 ln 4 x5e 5 xx类型 3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导yex2cosx ，求 y。解： y (ex2) cos xex2(cosx)2xex2cosxex2sin x其他： y2 xcos x ，求 y 。x

17、解：0807. 设0801. 设0707. 设0701. 设y(2 x )( cosx )2x ln 2(cosx) .x cosx.(x)2 xln 2x sin x cos xxx2x2yesin xsin x 2，求 y解： y(esin x )(sin x2 )esin x cos x2x cos x2yxe x 2，求 y解： y( x) ex2x(ex2)ex22x 2 ex2yesin xx 2 ，求 y解： yesin x.(sin x)( x 2 )cos xesin x2xyln xcosex ，求 y解： y(ln x)sin ex .(ex )1ex sin exx（三

18、） 积分计算：（2 小题，共22 分）凑微分类型111：dxd ( x )x2cos 1cos 1111x2xdxx2xdxccos xd ( x )sin x计算解：sin1sin 1111x d xx dxsinc0707. 计算x2解：x2d()cosxxx1111e xe x1e x d(e xc0701 计算x2 dx 解：x2 dx)1x凑微分类型2：dx 2dxxcosx. 计算dx 解：xsinx0807. 计算dx 解：xcosxx2cosxdx2sinxcxdsinxx2sinxdx2 cosxcdxe xexexdxexcdxx0801. 计算x解：x凑微分类型3：1 d

19、xd ln x ，1dxd(aln x)xx计算1dx解：1dxd ln x1 duln | ln x |cxlnxxlnxln xuee 2ln xe 2ln xe15. 计算解：(2ln x)d( 2ln x)21dxdx1ln x)( 2x1x2125 定积分计算题， 分部积分法类型 1： xaln xdx1ln xdxa 11xa1 ln x1xa dxxa 1ln x1xa 1 ca 1a 1a 1a 1(a 1)2计算exlnxdx解： a1 ，x ln xdx1ln xdx 21x 2 ln x1 x 2c1224计算e ln x解：a2，ln x111c1 x2 dxx 2 d

20、xln xd ( x)x ln xx计算eln xdx解： a1，ln xdx2ln xdx2x ln x4 xc12xxeex(2x ln x4e2e41ln xdx = 2 ln xdx )x11ee lnxd3( 23330807x lnxdx2x 2x 2ln x4 x 2 ) e2 e 24131391990707e x 2ln xdx1e lnxd x 3(1x 3 ln x1x3 ) e2e3113139199类型 2xeax dx1xd( eax )1xeax1eaxcaaa211(xe xex )11（0801 考题）xe x d xxde x000类型 3：xsin axd

21、x1xcos ax1cos axdx1x cos ax1sin axcaaaa2四、应用题（1题，16分）类型 1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h 与底半径 r满足 h2r 2l 2圆柱体的体积公式为Vr 2 h( l 2h 2 ) h求导并令V(l23h2)0l得 h3 l ，并由此解出r6 l 33即当底半径 r6 l ，高 h3 l 时，圆柱体的体积最大33类型 2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1 （0801 考题）某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用

22、料最省？解：设容器的底半径为r ，高为 h ，则其容积 V.r 2 .h, hV2V.r 2表面积为22222SrrhrrS4r2V，由 S0 得 rV，此时 h2r4V。r 2332由实际问题可知，当底半径r3V与高 h2r 时可使用料最省。2一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。生产一种体积为V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解 ： 设 容 器 的 底 半 径 为 r ， 高 为 h ， 则 无 盖 圆 柱 形 容 器 表 面 积 为 S r 22rh r 2 2V， 令rS 2r2V0 ，得 r3V , hr ，r 2由实际问题可知，当底半径rVr 时可使用料最省。3与高 h2-2 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707 考题 ）解：设底边的边长为x ，高为 h ，用材料为y ，由已知 x2 hV32 ， hV，4Vx2表面积yx 24xhx 2，4Vx