高等数学1.9函数的连续性与间断点

1、1.9 函数的连续性与函数的连续性与间断点间断点1 判断间断点的类型判断间断点的类型教学要求教学要求：理解理解函数连续的概念，函数连续的概念，会会判断判断 函数间断点的类型函数间断点的类型重点内容重点内容：2 根据连续性确定某些数的取值根据连续性确定某些数的取值1一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,),()(0000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点内内有有定定义义在在设设函函数数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(x

2、fy 2注：增量可为正亦可为负注：增量可为正亦可为负 例例1：设函数：设函数 2xy ，求当，求当 1 . 0, 20 xx函数函数 y 的增量的增量 时时解解 )()(00 xfxxfy 39. 029 . 122 32.连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 4:定定义义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当注意注意：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关处连续处连续在点在点0)(xxf5例

3、例2 2.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 6例例 3)(xf是定义于是定义于,ba上的单调增加函数，上的单调增加函数，),(0bax 若若)(lim0 xfxx存在，存在，证证设设,)(lim0Axfxx 由于由于)(xf单调增加，单调增加， 则则当当0 xx 时，时，),()(0 xfxf ),()(lim00 xfxfAxx 当当0 xx 时，时，),()(0 xfxf ),()(lim00 xfxf

4、Axx 由此可见，由此可见，),(0 xfA 即即),()(lim00 xfxfxx 因此因此)(xf在在0 x连续连续.证明证明)(xf在在0 x连续连续.73.单侧连续单侧连续;)(),()(,()(处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数00000 xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()(,),)(处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数00000 xxfxfxfbxxf 8例例4 4.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连

5、续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf94.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数

6、数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间10例例5 5.),(cos内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxycos)cos( )2sin(2sin2xxx , 1)2sin( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(cos都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy11注：注： 0)(lim0)(lim xfxfaxfax

7、f )(lim0)(lim12二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf例如例如 xxf1)( x=0是它的间断点是它的间断点 13间断三情形：间断三情形：;)()1(0处没有定义处没有定义在点在点x

8、xf;)(lim,)()2(00不不存存在在但但处处有有定定义义在在虽虽然然xfxxfxx;)(lim,)()3(00存存在在且且处处有有定定义义在在虽虽然然xfxxfxx)()(lim00 xfxfxx 但但14间断点分类：间断点分类：第一类间断点：第一类间断点：.)()(),(,)(的的第第一一类类间间断断点点为为都都存存在在，则则称称且且的的间间断断点点为为设设点点xfxxfxfxfx000000 第二类间断点：第二类间断点：第一类间断点以外的间断点.)()()(的的跳跳跃跃间间断断点点为为，则则称称若若xfxxfxf00000 .)()()()()(的的可可去去间间断断点点为为则则称称

9、不不存存在在，或或但但若若xfxxfxfAAxfxf0000000 15例例5 5.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxfoxy.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 x0lim( )0 xf x 0lim( )1xf x 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 .1为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x解解, 1)1( fxfx2011 lim)(,)(201 f同理同理2)(lim1 xfx),1(f 2 16注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处

10、函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy11217例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,)(000 f,)( 00f.0为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间18例例8 8.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且x

11、x.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间19 , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.如如注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.20例例9 9.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),()(

12、)(00000fff ,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a要使函数在要使函数在 x=0处连续，则必须处连续，则必须 21例例10 10 讨论函数讨论函数1sin,0,( )0.,0,xxxf xxxex 在在处处连连续续解解00lim( )lim()xxxf xe 1, 001lim( )lim(sin)xxf xxx 0,0, 不不存存在在, ,0 0(0)1,f )0()0()0(fff 要要使使0,1, 故故当当且且仅仅当当时时.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf0, 10, 22例例 9: 指出函数指出函数 |arcsin)(xxxf 的间断点并判别其类型的间断点并判别其类型 23例例10: ，xxfsin)( 0,0,)(xxxxxg 研究研究 )(xg及及 )(xgf的连续性的连续性 24小结小结1.会判断间断点的类型会判断间断点的类型2.会由连续的条件讨论某些待定常数的取值会由连续的条件讨论某些待定常数的取值;25思考题思考题26思考题解答思考题解答)(xf在在0 x