高数下3-习题课

1、第十章第十章 重积分重积分 总结总结一、主要内容二、典型习题定定 义义 几何意义几何意义性性 质质 计算法计算法 应应 用用 二重积分二重积分定定 义义 几何意义几何意义 性性 质质 计算法计算法 应应 用用三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积，个小闭区域，也表示它的面积，在每个在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(

2、ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重积分的定义、二重积分的定义如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性

3、质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质 若若 为为D的面积的面积.1 DDdd 性质性质若在若在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面

4、积积，则则 DMdyxfm ),( （二二重重积积分分估估值值不不等等式式）性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得 ),(),(fdyxfD.性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐

5、标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0

6、 r5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1) 体积体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其其中中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为)

7、,(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片的重心为上连续，平面薄片的重心为(3) 重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为(4) 转动惯量转动惯量薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面

8、上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点轴上的点), 0 , 0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力6 6、三重积分的定义、三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域任意分成任意

9、分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v ,nv ，其中，其中nv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积, 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, 如果当各如果当各小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .7、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表表示示空空

10、间间区区域域的的体体积积时时当当 Vdvzyxf,1),(8 8、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质9 9、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标直角坐标 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdr

11、ddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标球面坐标1010、三重积分的应用、三重积分的应用. dvM 其其中中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为() 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy () 转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点

12、点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法D二、典型例题二、典型例题例

13、例1 1解解围围成成由由其其中中计计算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD)0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更更换换积积分分次次序序例例2 2解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三三部部分分及及分分成成将将积积分分区区域域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD ;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(20222020222222 ayaaaaayayaaayadx

14、yxfdydxyxfdydxyxfdyI故故例例3 3解解）所围的面积（取圆外部和圆是由心脏线其中计算ararDdyxD)cos1 (.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a一、选择题一、选择题: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设、设D为为222ayx , ,当当 a( )( )时时, , Dd

15、xdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .测测 验验 题题 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (

16、C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 . 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圆柱包含在圆柱xyx222 内部的那内部的那 部分面积部分面积 s( ).( ).(A)(A) 3； (B) (B) 2；(C)(C) 5； (D) (D) 22. . 10 10、由直线、由直线2, 2, 2 yxyx所围成的质量分布均匀所围成的质量分布均匀 ( (设面密度为设面密度为 ) )的平面薄板的平面薄板, ,关于关于x轴的转动惯量轴的转动惯量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A) 101020zdzrd

17、rdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .二、计算下列二重积分二、计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是闭区域是闭区域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1, 42222 yxyx, ,xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是闭区是闭区 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 222,

18、,其中其中D: :322 yx. .三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及平面及平面所围成的区域所围成的区域 . . 2 2、,)(22 dvzy其中其中 是由是由xoy平面上曲线平面上曲线 xy22 绕绕x轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5 x所围所围 成的闭区域成的闭区域