浙教版七年级数学下册幂的运算提高讲义

1、幂的运算提高讲义【重点梳理】重点一、同底数幂的乘法性质am an am n （其中m, n都是正整数）.即同底数塞相乘，底数不变，指数相加.重点诠释：（ 1） 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 .（ 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am an a p am n p （ m, n, p都是正整数）.（ 3） 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am n am an （ m, n都是正整数）.类型一、同底数幂的乘法性质例1、（2019秋.长春期中）已知2a=5,

2、2b=1,求2a+b+3的值.【考点】同底数幂的乘法同底数幂的乘法【专题】整式【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可【解答】解：2a=5,2b= 1,.2a+b+3 = 2ax2bx23= 5 X1 X8=40 .【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（ 1 ）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式（b a）n（n为偶数）（b a）n（n为奇数）（ 2）在幂的运算中，经常用到以下变形：（a）nan（n为偶数）,（a b）nan（n为奇数），举一反三：(2019秋.永春县期末)若 2n+ 2n + 2n+2n=26,则n=(A 2B 3C 4D 5【

3、考点】同底数幂的乘法同底数幂的乘法【专题】整式；运算能力【分析】根据乘法原理以及同底数幂的乘法法则解答即可【解答】解：= 2n+ 2n+2n +2n=4X 2n= 22X 2n= 22 + n= 26, - 2 + n = 6,解得n= 4.故选：C【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加重点二、幂的乘方法则(am)namn ( 其中 m, n 都是正整数). 即幂的乘方，底数不变，指数相乘.重点诠释：(1)公式的推广：(am)n)p amnp( a 0, m, n, p均为正整数) nm( 2)逆用公式：amn aman ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将

4、某些幂变形，从而解决问题.类型二、幂的乘方法则例 2、计算：2332235( 1)(a b) ；( 2) (y ) (y ) 2y g y ；2m 2 4 m 1 23 23 4( 3) (x ) (x ) ；( 4) (x ) (x ) 【答案与解析】解： ( 1)(a b)23(a b)2 3 (a b)6(2)6666y 2y 2y 2y(3)/ 2m 2 4/ m 1 24(2 m 2)(X ) (X ) X2(m 1) 8m 8 2m 2X X X10m 6X/ 3、2 / 2、356(y ) (y ) 2y y y(4)3 32 3 3461218(x ) (x ) XX X【总结

5、升华】（1）运用哥的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将哥的乘方与同底数哥的乘法混淆.（2）哥的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母， 也可以是单项式或多项式.举一反三：（2019秋.南岗区期末）若2m=a,32n= b,m,n为正整数，则23m+ 10n的值等于（）A. a3b2B. a2b3C. a3+b2D. 3a+2b【考点】同底数哥的乘法；哥的乘方与积的乘方.【专题】整式；运算能力.【分析】根据am an = a m+n（m,n是正整数）,（am）n=amn（m,n是正整数）进行计算即可.【解答】 解：32n=b,.-25n=b,.-210n=b2 ,c3m+ 1

6、0nm3 10n 3 2.2= （2 ） 2 = a b ,故选：A.【点评】此题主要考查了同底数哥的乘法和哥的乘方，关键是掌握计算法则.例3、（2019春？南长区期中）已知 2X= 8尸2, 9y=3X 9,求工x + 2y的值.3【思路点拨】 根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解.【答案与解析】解：根据 2x=23（y+2）, 32y=3X 9,列方程得:解得:则 ±x+2y=11 .【总结升华】本题考查了哥的乘方，解题的关键是灵活运用哥的乘方运算法则.举一反三【变式】已知 a3m2,b2m3,则a2m3bm6a2b3m bm =【答案】一5； 入 23 32

7、 22 2提示：原式 a3m b2m a3m b2m.琳=2,欧加=3，原式=22 33 22 32 = 5.重点三、积的乘方法则(ab)n an bn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的哥相乘.重点诠释：(1)公式的推广：(abc)n an bn cn( n为正整数).(2)逆用公式：anbnab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：-10221。io1.类型三、积的乘方法则例4、计算：242 /4. 3.3,3(1) (2xy )(2) a ( a b )【思路点拨】 利用积的乘方的运算性质进行计算【答案与解

8、析】2 4442 44 8解：(1) (2xy )( 1) 2 x (y )16x y .2 / 4. 3.3.3/ 2.3 / 12. 9.36 ,36 . . 2742. 27(2) a ( a b ) (a )( a b ) a ( a ) b ab.【总结升华】(1)应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方.(2)注意系数及系数符号，对系数1举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是(). 2x2y3 36x6y9 a2m 3 5 1057 10735 1035 A. 1 个 B. 2 个 C. 3【答案】A；3提示：只有正确；2x2y3不可忽略.36m 与 c

9、69 9a 3a3a1001011000.521010.5 22个 D. 4个c 692m 36m 八 6 32 188x y ; a a ; 3a 27a ;5 1 057 1 0735 1 0123.5 1 013【变式2】（2019春？泗阳县校级月考）计算:(1) a4? (3a3)(2) (21) 203【答案】(1) a4? (3a3)2+ (- 4a5) 2e21 -2+ (- 4a5) 2=a4?9a6+16a10 =9a10+16a10 =25a10;20=1椅3x2m=2,求(2x3m) 2- (3xm) 2 的值.=一.例5、（2019秋？济源校级期中）已知可得已知条件，根

10、【思路点拨】 根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的哥相乘, 据已知条件，可得计算结果.【答案与解析】解：原式=4x6m-9x2m=4 （x2m） 3 - 9x2m=4X23- 9X2 =14.【总结升华】 本题考查了哥的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键.【综合探究】1.（ 2019秋.雨花区校级月考）规定两数 a, b之间的一种运算，记作（a, b）,如果ac=b,则 （a, b） = c.我们叫（a, b）为“雅对”.例如：因为23= 8,所以（2,8） =3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3,3）+（3,5）= （3, 15）成立.证明如下：设（3, 3）

11、=m,（ 3, 5） =n,则 3m=3, 3n=5,故3m?3n = 3m+n=3X5=15 ,则(3, 15) =m+n,即(3, 3) +(3, 5) =(3, 15).(1)根据上述规定，填空：(2,4)=22;( 5,1) = 00; ( 3,27)=33.(2)计算(5, 2) + (5, 7) = (5, 14)( 5, 14),并说明理由.(3)利用“雅对”定义证明：(2n,3n) =(2,3),对于任意自然数n都成立.【考点】有理数的混合运算；同底数哥的乘法.同底数哥的乘法【专题】规律型.( 1 )根据上述规定即可得到结论；(2)设(5,2) = x,( 5,7)=y,根据同

12、底数哥的乘法法则即可求解；(3)设(2n,3n) =x，于是得到(2n)x= 3n，即(2x) n=3n根据“雅对”定义即可得到结论.【解答】解：(1) - 22 = 4, (2,4) = 2;,.50= 1, (5,1) = 0； 33 = 27, .(3,27) = 3;故答案为：2, 0, 3;(2)设(5,2) = x,( 5,7) =y, 则5x= 2, 5y = 7,5x y = 5x - 5y= 14 ,(5,14) =x+ y,. .(5,2) + (5,7) =(5, 14),故答案为：( 5, 14);(3)设(2n, 3n) =x,则(2n)x=3n,即(2x) n =

13、3n所以 2“=3,即(2,3)=x,所以(2n, 3n) =(2, 3) .【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键.2.（2018春.开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数 a相乘，可记为an,如2X2X2= 23=8,此时，3叫做以2为底8的对数，记为log_（2）8（即log28 = 3）. 一般地，若an = b（a>0且aw 1,b>0）,则n叫做以a为底b的对数，记为log_（ a） b（即logab= n）.如34 = 81 , 则4叫做以3为底81的对数，记为log_（3）81 （即log381 =4）.根据以上材料，解决下列问题：（1）计算

14、以下各对数的值：log24=22,log216=44,log264 = 66;（2）根据（1）中的计算结果，写出log24, log216, log264满足的关系式；（ 3）根据（2）中的关系式及4, 16, 64 满足的关系式猜想一般性结论：logaM + logaN=logaMNlogaMN（a> 0且 aw1, M>0, N>0）;（ 4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性【考点】同底数幂的乘法吴晓莉同底数幂的乘法【专题】常规题型【分析】（1"IOan=b（a>。且aw，b>0）,则n叫做以a为底b的对数，记为log_（a）b（即 logab=n）,进而得出答案；（ 2 ）利用（1 ）中所求进而得出答案；（ 3 ）利用（2）中所求规律进而得出答案；（ 4）利用发现的规律进而分析得出答案【解答】解：（1） log24 = 2, log216=4, log264 =6;故答案为：2, 4 , 6;（2）由（1）