信号与系统总复习

1、信号与系统综合复习资料简答题1、设系统的激励为f(t),系统的零状态响应yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(k)= f(k)* f (k1),判断该系统是否是线性的，并说明理由。2、已知描述LTI离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。33、已知信号f(k) =sin k+cosnk ,判断该信号是否为周期信号，若是，请求出信号周期，并说明理 62由。4、已知描述系统的微分方程为y'(t)+sinty(t)= f(t)其中f为激励，y(t)为响应，试判断此系统是否为线性的？5、已知一信号f(t)如图所示，请写出 f(t)仪t)的表达式。+ f(t)-10 12 t6、y(

2、t) =e,x(0)f+ f (t)d9 其中x(0)是初始状态, dt否是线性的？f(t)为激励，y(t)为全响应，试回答该系统是7、1 , k =0,1,2 已知£ k =0 , else, k-1 , k=0,1,2,3 f? k =0 , else设 f (k )= f1 (k )* f2 (k ),求 f(4 )=?。8、设系统的激励为f(t),系统的零状态响应 yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(t)= f (-t),判断该系统是否是时不变的，并说明理由。9、已知一信号f (k)如图所示，请用单位冲激序列 &(k)及其移位序列表示 f(k)。+ f(k)012

3、3 4567k丁kn 'ku ) 10、已知信号f(k)=2cos I十sin - i,判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明 “<8 J理由。二、作图题1、已知信号f(k)的波形如图所示，画出信号f (k+2)名(-k 2)的波形。f(k)八U_1-一-203 k2fi(t)和f2(t)波形如图所示，画出fl(t)* f2(t)波形图。2、已知函数3、已知fi(k)和f2(k)的波形如图所示，求 fi(k)* f2(k).十 fi(k)-2 -1 012k-10124、已知fl (t ) f2 (t )的波形如下图，求 f (t )= fl (t )* f2 (t

4、 )(可直接画出图形)fl t山1 一f2 t1一02三、综合题1、某离散系统的差分方程为:y(k) +0.2y(k -1)-0.24y(k-2) = f (k) + f(k -1),求系统的单位序列响应h(k)。2.一 一 一、，一，、 一s s 1,2、已知某LTI连续系统的系统函数 H S =七，求:s2 3s 2(1)系统的冲激响应 h(t )；(2)当激励f(t) =w(t),初始状态y(0 J = 1 ,y ( 0_)= 1时系统的零输入响应yzi(t)和零状态响应yzs (t 卜3、已知描述LTI离散系统的差分方程为y(k)+3y(k1) +2y(k2)= f(k),输入 f(k

5、) = k),初始状态y( 一1) =1 , y(-2) =0 ,求系统全响应。4、已知某LTI系统的冲激响应h(t) = 6(t) +(e-L-3et)£(t),求(1)系统的系统函数 H(s);(2)求当激励 f (t he4Z。) y(0J =1 y (0_)=1时系统的零输入响应yz(t)和零状态响应yzs (t )。5、某LTI系统的冲激响应h(t) =6'(t) +2$(t),若激励信号为f (t)时，其零状态响应 yzs(t) =e/(t),求输入信号f(t)。6、描述某LTI连续系统的微分方程为， ' 'y t 3yt 2yt =2f t 6f

6、t'已知输入 f(t)=&(t),初始状态 y(0_)=2, y(0_) = 1；求系统的零输入响应 yzi(t)、零状态响应yzs(t)和全响应y(t)。Q07、如题系统，已知 f(t) = £ ejnc (其中 c =1rad/s,n =0,±1,±2,)，s(t) = G t)n 二二频率响应H(j .)=133,，e , 0 <1.5rad /s1.5rad / sH(j )yRs(t)8、已知某线性时不变连续系统的阶跃响应为g(t)= (l.e-e5& t)；(当系统的激励为f(t) =(2+t)a(t),系统的初始值为y(

7、0Q =3,y(0 j =9,求系统的完全响应。参考答案一、简答题1、设系统的激励为f(t),系统的零状态响应 yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(k)= f(k)* f(k1),判断 该系统是否是线性的，并说明理由。解：系统为非线性的。因为表达式中出现了f(k)的二次方。2、已知描述LTI离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。解：该系统是一个二阶离散系统。由于有两个加法器，因而输入与输出之间的联系被割断，必须设定中间变量，x(k)，位置如图所示，各个延迟单元的输入如图所示，根据加法器列写方程：左边加法器：f(k) -2x(k-2) -3x(k -1) =x(k)整理可得：x(

8、k) 3x(k-1) 2x(k-2)=f(k)右边加法器：y(k) =x(k) -2x(k -1)由(1) (2)两式，消去中间变量可得：y(k) 3y(k -1) 2y(k - 2) = f (k) - 2f (k -1)3 3、已知信号f(k) =sin-k+cos-k ,判断该信号是否为周期信号，若是，请求出信号周期，并说明理由。62解：设i(k)=sin k,其周期为T1 =12；6、一,3二,_4设f2 (k) =sink ,其周期为T2 =一 ；23二者的最小公倍数为 12,因而信号为周期信号，其周期为T =12.4、已知描述系统的微分方程为y'(t)+sinty(t)=

9、f (t)其中f(t)为激励，y(t)为响应，试判断此系统是否为线性的？解：系统为线性的。因为微分方程是关于y(t) f(t)及其导数的一次式。5、已知一信号f(t)如图所示，请写出 f(t)以t)的表达式。-10解：本题目主要是考察信号的表示：用阶跃信号表示其它信号:要写出f (t)8(t)的表达式必须明确f(t) Mt)的有效范围，根据阶跃函数的定义，可知f (t)w(t)取上图t A0得区域，即：f (t) ;(t) =2 ；(t) - ；(t -1) ；(t -1) - ；(t -2)整理可得 f (t) ;(t) =2 ;(t) - ；(t -1) - ；(t -2)6、y(t)=e

10、，x(0) f(t)+f(t)ddt其中x(0)是初始状态，f为激励，y(t)为全响应，试回答该系统是否是线性的?解：由于无法区分零输入响应和零状态响应，因而系统为非线性的。1 , k =0,1,27、已知 f“k )=40 , else一 k -1 , k=0,1,2,3 f2 k =0 , else设 f(k )=f1(k , f2(k ),求 f (4 尸 解："4)=38、设系统的激励为f (t),系统的零状态响应 yzs(t)与激励之间的关系为：yzs(t) = f(-t),判断该系统是否是时不变的，并说明理由。解：设G(t) = f(t 10),若系统为时不变的，则必有结

11、论yzs1 = yzs(t 1°)。根据题意，由1(t)作用于系统的零状态响应为：yzs1(t) = f1(t-t0),根据信号的基本运算，yzs1(t) = 3(t-t0) = f(-1 +t0),很明显，yzs1 #yzs(t1°),因而系统为时变的。9、已知一信号f(k)如图所示，请用单位冲激序列6(k)及其移位序列表示f(k)。北 f(k)101 2 3 4 5 6解：根据图形 f (k) = '：(k -1) (k -4) (k -5)kn、 10、已知信号f(k)=2cos1 l + sin I,判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明理由。

12、 H )<8 )解：设 f1(k) =2cos(),则其周期 Ti =8；4一k二.设f2(k)=sin()，则其周期T2 =16； Ti和丁2的最小公倍数为16,因而f(k)为周期信号，其周期为 16. 8二、作图题1、已知信号f (k)的波形如图所示，画出信号 f(k +2)有(k -2)的波形。Jk)1-203 k2f(k)-2解:f(k+2)0234k-4-2左移办单位右移2个单位；(k -2)翻转再根据信号乘积，可以得到 f (k +2)由(k 2)的波形:fi(t)* f2(t)波形图。2、已知函数fi(t)和f2(t)波形如图所示，画出-2f2C )2. 2解：从图上可以看

13、出，f2(t) = ' (t - 2) 、-2)所以 fi(t)* f2(t) = fi(t+2)+fi(t2)即:分另I将fl (t)分别向左和向右移动两个单位的和信号。3、已知fi(k)和f2(k)的波形如图所示，求fi(k)* f2(k).解：根据i（k）、f2（k）的图形可知，它们为有限长序列，可分别表示为:f1(k) = ；(k 2) 一 ；(k -3)f2(k) =3、(k) 2、(k -1)、(k -2)则：f1(k)* f2(k) = ；(k 2) - ；(k 2) 3、(k) 2、(k-1) 、(k-2) 由冲激序列函数的性质可得到:f1(k)* f2(k) =3；(

14、k 2) 3；(k -3) 2 ；(k 1) -2 ；(k 4) ；(k) - (k -5)图形如图所示:3, k = -2,3表达式为:5,k = -1 f(k) = 6k =0,1,21,k =40,其他4、已知fi（t卜f2（t ）的波形如下图，求 口9=工。）*£2（1）（可直接画出图形）02解：解：本题可以利用图解的方法，也可以利用卷积公式法来进行计算。卷积公式法：f1(t) = ；(t) ；(t -2)f2(t)=)-4-1)f(t) =fl* f2(t) =fl( )f2(t )d.,JOOf (t) =f1( )f2(t - )dv- i；(.)_( _2) ；(t

15、- )一47-1)d."bo-bof -；(.)；(t -)d . -；( ) ；(t - . - 1)d ."bo-bo-_ ；(. -2) ；(t - . )d "，I 二(.-2) ；(t - . - 1)d .利用阶跃函数的性质对上面的式子进行化简：t11、2d 2 d=t ；(t) -(t -1)；(t -1)-(t -2) ；(t -2) (t -3) ；(t -3)f(t) =t(t)- ；(t -1) ；(t-1)-2) -(t-3)；(t-2) - ；(t-3)根据上面的表达式，可以画出图形:三、综合题1、某离散系统的差分方程为：y(k)十0.2

16、y(k -1)-0.24y(k 2) = f(k) + f(k-1),求系统的单位序列响应h(k)。解：解：已知离散系统的差分方程为：y(k)+0.2y(k1)0.24y(k-2) = f (k)+f(k1)系统的单位序列响应满足如下方程：h(k) 0.2h(k -1)-0.24h(k -2) =、(k)、(k-1)h(-1) =h(-2) =0设新的变量h1(k)满足方程：Ih1(k) 0.2h1(k-1)-0.24h1(k-2) =、(k)几(-1)=几(-2)=0则要求的 h(k) =%(k) h1(k -1)所以 (k) - -0.2hi(k -1) 0.24%(k -2)(k)从而几

17、(0)=1, h1(1) = 0.2又 h1(k) =(c1(0.4)k c2(0.6)k) ；(k)将初始条件代入，可得：h1(0) =c1 c2 =1h1(1)=0.4c1 -0.6c2 =0.2借此方程组可求得待定系数：c1 =0.4,c2 =0.6所以：h1(k) -(0.4)k1 -(-0.6)k 1) ；(k) kkh1(k-1) =(0.4) -( -0.6) ) ；(k -1)所以h(k) =n(k) n(k1)=0.4(0.4)k 0.6(0.6)k ；(k) (0.4)k -(0.6)k) ；(k1)= 0.4(0.4)k 0.6(-0.6)k ；(k) (0.4)k (0

18、.6)k) ；(k) (0.4)k -(-0.6)k) k = 0=1.4(0.4)k -0.4(0.6)k ；(k)s2_(s 3s 2)Y(s) = (s s 1)F(s)则描述系统的微分方程可写为：y (t) 3y (t) 2y(t) = f t) f (t) f(t)yzi(t)+3yzi(t)+2yz(t)=0，一、，-、，一、'，、'，、'，、yzi(0_) = y(0 _) = yzi(0 ), yz(0_) = y (0.) = yzi(0 )将方程转换到s域，可得:(s2Yzi(s) -syzi(0_) -yZi(0_) 3(sYz(s) 7*0_)

19、2Yz(s) =0 s 12、已知某LTI连续系统的系统函数 H(s) = -,求：s2 3s 2(1)系统的冲激响应 h(t )； '(2)当激励f=w(t),初始状态y(0=1 , y (0_ )=1时系统的零输入响应yz(t)和零状态响应yzs(t )。s2 s 12s 1斛：(1)因为 H (s )= -2=1-2，利用部分分式展开，可得：s 3s 2 s 3s 22s 12s 1-13H s)=1 - 21=1 - -2s1 =1 -(L -) -1s 3s 2 (s 1)(s 2) s 1 s 2取拉普拉斯逆变换，可得： h(t)=。(e,-3et) ；(t)22,(2)因

20、为 H(s)=1s,根据 H(s) :H(s)=Ys) =得一s一yzi (t )满足方程:s 3s 2F (s) s 3s 2整理可得:Yzi(s)=，一、 '，一、 一 ，一、syzi(0)yzi(013yzi(03s 2将初始状态代入可得：s 4Yzi (s)= ws 3s 2-23+s 2 s 1取拉普拉斯逆变换，可得系统的零输入响应为:yzi(t) =(-2e23e)；(t)yzs(t)=h(t)* f(t),所以:1Yzs(s) =H(s)F(s) =(1 s 1s 2)：+-s(s 1) s(s 2)整理可得：1Yzs(s)=一 s1 31取拉普拉斯逆变换可得系统的零状态

21、响应为:_. + 2s s 1 2s 21.yzs(t) <-e23、已知描述LTI离散系统的差分方程为y(k)+3y(k1)+2y(k2) = f(k),输入 f(k)=8(k),初始状态y(1)=1, y(2) =0 ,求系统全响应。解：系统的齐次方程为：y(k) 3y(k -1) 2y(k -2) =0特征方程为：2 3' 2=0所以特征根分别为： 二-1, 、2 = 2所以系统的齐次解可以表示为：yh(k) =c(-1)k c2(-2)k . .r1 已知系统的输入为 f(k)=虫k),则系统的特解可以表示为：yp(k) = p ,将其代入到原差分方程，可得：p =61所

22、以多寸解yp(k)=-所以系统的全解可表示为:y(k) =G1)kC2(-2)k 16将初始条件y(1)=1,y(-2) =0代入，可得待定系数:8c2。'1 c1=2所以系统的全响应为:4、本题20分已知某1 81y(k)=2(-1)k-3(-2)k 6，k-0LTI系统的冲激响应 h(t) =%t) +(e" 3e?)巩t),求(1)系统的系统函数H(s)；(2)求当激励f(t)=e>(t) y(0J=1 y(0_)=1时系统的零输入响应 yz(t)和零状态响应yzs(t)。解(1)因为 h(t)修 HlSTrahOuD+e%/bat)两边同时取拉普拉斯变换，可得：

23、3 (s 1)(s 2) (s 2) -3(s 1)s 2 一(s 1)(s 2)整理可得:H(s)(s 1)(s 2) (s 2) -3(s 1)(s 1)(s 2)s2 s 1=2s 3s 2(2)根据系统函数的定义:Y(s)H(s)=与而 H(s)F(s)s2 s 1= -2Zs 3s 22所以:Y(s)ss 1= -2"TF(s)s3s 2 (s2 3s 2)Y(s) = (s2 s 1)F(s)两边同时取拉普拉斯逆变换，可得描述系统的微分方程为:y (t) 3y (t) 2y(t) = f (t) f (t) f(t)而零输入响应yzi (t)满足如下方程yzi (t) 3

24、yzi(t)2yzi(t) =0和初始状态：y。)=y(0_) yS) =y(0J对方程两边同时取拉普拉斯变换，可得：(s2Yz(s)7丫式0_) -y；i(0_) 3(sYz(s) - 丫*0_) 2Yg(s) =0整理可得：Yzi(s)syzi (0 ,) yzi (0 ) 3yzi(0_) 2 3s 2将初始状态代入可得:Yzi(s)=s 42s23s 2取拉普拉斯逆变换，可得系统的零输入响应为:s 2 s 1yzi(t) =(-2eT3e4)；(t)yzs(t)=h(t)* f(t),所以:Yzs(s) =H(s)F(s) =(1整理可得:Yzs(s)(s 3)(s 1) (s - 3

25、)(s 2)，J A2s 3 s 3 s 1 s 2 s 37 1123I -2 s 3 s 1 s 2 17 c，取拉普拉斯逆变换可得系统的零状态响应为：yzs(t) = (1e- -3et +-7 e-t)£(t)5、某LTI系统的冲激响应h(t)=5(t)+26(t),若激励信号为f(t)时，其零状态响应 yzs(t) = eM(t), 信号f(t)。求输入解：h(t) =6(t)十26(t)转换到s域，可得:H(s) =s 2零状态响应为：yzs(t)=e,以t),转换到s域可得：1Yzs(s)=,则在s域输入的象函数为：s 11F = Yzs(s)= s 1 =1 _11H

26、(s) s 2 (s 1)(s 2) s 1 s 2取其拉氏反变换可得：f(t) =(e lb ；(t)6、描述某LTI连续系统的微分方程为y t 3yt 2yt =2f t 6ft已知输入 f(t)=Mt),初始状态 y(0_)=2, y(0_) = 1；求系统的零输入响应 yzi(t)、零状态响应yzs(t)和全响应y(t)。解：对微分方程取拉普拉斯变换，有2'_s2Y s -sy 0_ -y 0_ 3sY s -3y 0_ 2Y s-2sF s 6F s整理得s2 3s 2 Y s Lsy 0_ y 0_ 3y 0_ = 2s 6 F sYzs s =2s 6s2 3s 2 sY

27、zis =M s 二 2s 7= 5 3A s s2 3s 2 s 1 s 2yzs t =L" |Yzs s = 3 4e* e't； tyzi t =L“_Yzi s = 5eft； ty t =yzi tyzs t = 3 e12e2t ； t7、如题系统，已知 f(t)=£ ejnc (其中建=1rad/s,n =0,±1,±2,)，s(t) =(O t)n 二a频率响应Hj)=e：二 1.5rad / sQ 0 >1.5rad / s叽Hj)s求系统的输出y(t)。解：将已知条件代入oCiO0f(t)="_ejn7 =，

28、.ejnt =, +e2jt e-jt - 1 - e2t e,t =1 2cost 2cos2t - 2cos3t.n -： ：n 二.二二贝U： f (t)s(t) =1 2cost 2cos2t cos3t cost展开可得：f(t)s(t) =cost 2 cost cost 2 cos 2t cost 2cos3tcost化简可得：f (t)s(t) = cost 1 cos2t cos3t cost cos4t cos2t所以 f (t)s(t) =1 2cost cos2t cos3t cos4t cos2t因为频率响应函数为：频率响应H)：二 1.5rad /s0,闵 > 1.5rad / s该系统为低通滤波器，即角频率低于1.5rad/s的信号才能通过，因而， f (t)s(t)中，只有信