浙教版八年级下册第4章平行四边形培优讲义(含解析)

1、平行四边形第1讲命题点一：利用多边形内（外）角和定理求边角问题【思路点拨】（1）多边形内角和定理：n边形的内角和为（n 2） X1800 （n3）且n为整数.此公式推导 的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n 3）条对角线，将n边形分割为（n 2）个三角 形，这（n 2）个三角形的所有内角之和正好是 n边形的内角和.除此方法之外还有其他几种 方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形 问题常用的方法.（2）多边形的外角和等于3600 .多边形的外角和指在每个顶点处取一个外角，则 n边形取n个外角，无论边数是几， 其外角和永远为3600 .借助内角和和邻补角

2、概念共同推出以下结论：外角和= 180° n180° （n 2） = 360° . 例1一块正六边形硬纸片（如图），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒 （侧面均 垂直于底面，见图），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形 AGA H,那 么/ GA H的大小是60 ° .例2（保送生模拟题）E, F是四边形ABCD4 AD, BC上的点，连结EF,将四边形ABFE沿直线 EF折叠，使点A,点B落在四边形ABCD勺内部，分别为A' , B',再折叠将点D与点A重 合，折痕为GH则下列结论一定正确的是（C ）DGA. / 1

3、 + /2+/3+/4 = 2/C B . / 1 + /2+/3+/4=180° + /CC. / 1 + / 2+/ 3+/4 = 360° 2/CD. / 1 + / 2+/ 3+/ 4= 540° 2/C命题点二：平行四边形的定义与性质例3(2019 武汉期中改编)(1)在图，中，给出？ABCD勺顶点A, B, D的坐标(如图所示)，写出图，中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2)(c+e, d) , ( c+ e a,d_.li(e7d)A(a.b) D(e,b) X.你会发现：无论？ABCDt于(；0(40)”D I(2)通过对图，的观察和顶点 C的坐标

4、的探究,直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为Afa, b), B(c, d), qm n) , D(e, f)时，则四个顶点的横坐标a, c, m e之间的等量关系为 mHa = c + e ；纵坐标b, d, n, f之间的等量 关系为n+b = d + f .4(« J?)例4在AABC中，AB= AC P为 AB时在平面内一点，过点 P分别作PE/ AC交AB于点E, PF/ AB交BC于点D,交AC于点F.(1)如图，若点P在BC边上，此时PD= 0,猜想并写出PD, PE, PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想.B P(D)(2)如图，若点P在 ABC内，猜想并写出P

5、R PE, PF与AB满足的数量关系，然后证 明你的猜想.A" I)I(3)如图，若点P在 ABO,猜想并写出PR PE, PF与AB涉足的数量关系(不必证明).£ P 解：(1) PNPE+PF=M.理由如下：: AB= AC, PF/AB, PE/ AC,.四边形PFA*平行四边形.ZB=ZC, Z EPB=Z C, / B=/FPC. B=/EPB 即 ABPE为等腰三角形. .BE=PE又丁四边形PFA唬平行四边形，. PF=AE.PE+PF=BAE=AB.又PAO, . PNPE+PF=AB. PNP曰 PF=AB.理由如下：如图，过点P作MM/ BC分别交AB,

6、 AC于点M, N由题意，得四边形PFA耳四边形PDBIVfe平行四边形.PF=AE PD=BM由题(1)的证明方法可同证 MEP%等腰三角形.PE= ME-. PM P曰 PF= BM EW AE= AB.P日PF- P况AB.命题点三：利用平行四边形的性质解决边、角问题【思路点拨】本题考查的知识比较综合，包括平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边 三角形的性质.要解答本题，可以参照下面的思路：在等边三角形中，三条边相等，三个角 都是60° ,则可由60°角及平行四边形对角相等的性质可得/ DAE= /1,即ADA陷FCQ 得出DF= DE,同理可得出三条边都相

7、等，进而可得出结论 .例5（浙江省自主招生模拟题）如图所示，在?ABCDK AABEffi BCF®是等边三角形.求 证：4DEF是等边三角形.证明：ABE和4BCF都是等边三角形，且四边形 ABC此平行四边形. .AE= AB= CD CF= BG= AD. BA巳 /BC已 60° ,即/DA曰 /BAD= /1 + /BC氏 600 .在?ABCLfr, / BAD= / BCD ./DAE= /.DA&AFCD. . . DF= DEZ 2=180° /ABE- /CBF- /BCD 60° /BCD /1=60° /BCDZ

8、1 = / 2= / EAD. . EA= EB, AD= BO BF, .BEH AHD. . . DE= EF一.DD曰EF,即 DEF为等边三角形.例6如图，在 ABC中，/ C= 90° ,点M在BC上，且B旧AC AN= MC AM与BN相交于点P, 求证：/ BP阵45° .解：如图，过点 M作ME/ AN,且ME= AN连结NE, BE,则四边形AMEM平行四边形, 从而得至"NE= AM MEL BC. ME= CM / EM&/MCA= 900 , BM= AC, .BEM2 AAMC. .BE= A阵 NE /1 = /2, /3=/4

9、. ./ 1 + / 3 = 90° ,. /2+/4 = 90° ,且 BE= NE.BEN为等腰直角三角形，/ BN245。. AM/ NE ./BP阵 /BN1 45° .命题点四：中心对称的应用【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的作法，在解题过程中，正确理解轴对称图 形和中心对称图形的概念是解题的关键.例7如图，A, B, C是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方 形(要求新添加的小正方形与原小正方形至少有一边重合)，使所得的新图形分别为下列(2)(3)题要求的图形，请画出示意图./JC(1)是中心对称图形，但不是

10、轴对称图形.(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形.(3)既是中心对称图形，又是轴对称图形.解：(1)如图，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形.(2)如图，取其中一个涂色的小正方形，则构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称 图形.(3)如图，在右边一个正方形上侧画一个正方形，则构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.占八、例8图、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形(画©(1)在图中确定格点D,并画出以A, B, C, 一个即可).（2）在图中确定格点E,并画出以A, B, C, E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画 一个即可）.解：（1）（

11、2）课后练习1 .在？ABCM, / BAD的平分线AE交BC于点E,且BE= 3,若？ABCD勺周长是16, WJ EC的长度是（A ）2 .在凸四边形 ABC时，AB/ CD且AB+ BC= C况AD则（D. AD与BC的大小关系不能确定A. AD>BCB. ANBCC. AD= BC3 .如图，在？ABC中, Z ABC= 750 , AF，BC于点 F, AF交 BD于点 E.若 DE= 2AB,则/ AED 的大小是（B ）A. 60° B .65° C . 70° D . 75°4 .（武汉市自主招生模拟题）如图，在？ABCDt, BO

12、2AB, CE!AB于点E, F为AD的中点，若/ AE三54° ,则/ B等于 （D ）BCA. 540B .60° C . 660D . 72°5 .如图，五个平行四边形拼成一个含 300内角的菱形EFGH不重叠无缝隙）.若 四个平行四边形面积的和为 28 cm2,四边形ABCD勺面积是18 cm,则四个 平行四边形周长的总和为（B ）A. 72 cm B. 64 cmC. 56 cm D. 48 cm6 .如图，在五边形 ABCDEK /ABG / AE* 90° , A五 CA AE= BG DE= 2,则五边形 ABCDE 的面积为（C ）A.

13、 2 B . 3 C . 4 D . 57 .如图，在 ABC中，AB= AC, AP= Q2QB= BC 则/ A= .208 .如图，？OABC勺顶点A, C分别在直线x=1和x = 4上，O为坐标原点，则对角线 OB长的 最小值为5 .Ax-I x-49 .在面积为15的？ABCDK 过点A作AE，直线BC于点E,作AF，直线CDT点F,若A五5,B堤6, M C斗CF的值为 11+112与或1+吟 .10 .如图，在？ABCDK/AB生60° ,AE±AD交 BD于点 E,若 DE= 2DC 则/DBC勺大/J、是 20 1.11 . （2019 吉林省“城市杯”初

14、中数学应用能力展示真题 ）如图，在四边形ABCM, /A= /C= 90° , A五AD,若这个四边形的面积为16,则BGCD= 8.12 .如图，在？ABCM, AE± BC于点 E, AF± CDT点 F, / EAF= 45° ,且 AE+ AF= 2 2, 求？ABCD勺周长.B E C解：/ EA已 45° , . / C= 3600 / AEC- / AFC- / EA三 135. . / B= / D= 180 / C= 45.ABE, AF= DF.设 AE= x,则 AF= 2 l2-x.在RtzXABE中，根据勾月£

15、;定理，得 AB- JAETBE2 = 2x. 同理可得 AD= 也(2 J2 x) =4 42x. ?ABCD勺周长为 2(AB+ AD = 2(V12x+ 4-'2x) = 8.13 .如图，一个凸六边形的六个内角都是120° ,六条边长分别为 a, b, c, d, e, f,则下列等式中成立的是（C ）A. a+b+c = d + e + fC. a+b = d + eB. a+c+e=b + d + fD. a+c=b+d14 .如图，在？ABCg, AB= BG= 8, /B= 60° , P是 AB上一点，B之3, Q是 CD4上一动点, 将梯形APQ

16、M直线PQ折叠，点A的对应点为A，.当GA的长度最小时，GQ的长为是 J.15 .在？ABGDK / BAD的平分线交直线 BG于点E,交直线DG于点F. 在图中，证明GE= GF.若/AB谖90° , G是EF的中点（如图），直接写出/ BDG勺度数.若/AB生120° , FG/ GE FG= GE,分别连结DB, DG如图），求/ BDG勺度数.角单：（1） AF平分/ BAD / BA曰 / DAF 四边形ABC比平行四边形，. .AD/ BC AB/ CD.丁. / DA已 / CEF / BA已 / F. ./CEF= /F.CE= CF(2) /BDG= 45° . 如图，延长AB至点H,使Ak AD连结DH则 AH比等边三角形. /AB生 120° , AF平分/ BAD ./DA