高等数学常用概念及公式

1、高等数学常用概念及公式极限的概念当 x 无限增大（ x）或 x 无限的趋近于 x0（xx0）时，函数 f(x) 无限的趋近于常数 A，则称函数 f(x)当 x或 xx0 时，以常数 A 为极限，记作：lim f(x)=A或lim f(x)=Axxx0导数的概念设函数 y=f(x) 在点 x0 某邻域内有定义，对自变量的增量xx- x 0，函数有增量y=f(x)-f(x0，如果增量比y当 x0 时有极限，则称函数 f(x) 在点)xx0 可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点 x0的导数，记为 f (x 0) ，即f (x0) limy =limf ( x)f ( x0 )x 0x x x0x

2、x0也可以记为 y=| x=x0 ， dy | x=x0或 df (x) | x=x0dxdx函数的微分概念设函数 y=f （x）在某区间内有定义， x 及 x+x 都在此区间内，如果函数的增量y=f （x+x）-f(x)可表示成y=A x+ x其中 A 是常数或只是 x 的函数，而与x 无关，当 x0 时是无穷小量 ( 即 x 这一项是个比x 更高阶的无穷小 ) ，那么称函数 y=f （x）在点 x 可微，而 Ax 叫函数 y=f （x）在点 x 的微分。记作 dy，即：dy=Ax=f (x)dx不定积分的概念原函数： 设 f(x) 是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x) ，

3、对于该区间上每一点都满足F(x)= f(x)或d F(x)= f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。不定积分： 设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c（c为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“”是不定积分的记号； f(x) 称为被积函数； f(x)dx称为被积表达式；x 称为积分变量； c 为任意实数，称为积分常数。定积分的概念设函数 f(x) 在闭区间 a ，b 上连续，用分点a=x0x1x2xi-1 xi xn-1 xn=b，把区间 a ，b 任意分成 n 个小区间

4、x i-1 ，xi （i=1,2,n ）每个小区间的长度为xi = x i - x i-1 （i=1,2,n ），在每个小区间 x i-1，xi 上任取一点 i ，作和式nI n= f ( i )xii 1当分点无限增加 (n ) 且所有小区间长度中的最大值 =maxxi 0 时，和式 I n 的极限，叫做函数 f(x) 在区间 a ，b 上的定积分，记作bf ( x)dx ，即ablimna f ( x)dx =f ( i xi )n(0)i 1其中 f(x) 称为被积函数， b 和 a 分别称为定积分的上限和下限，区间a ，b叫积分区间， x 为积分变量。极限的性质及运算法则无穷小的概念：

5、 若函数 f(x) 当 xx0( 或 x ) 时的极限为零，则称f(x) 当 x x0( 或 x ) 时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质： 性质 1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质 2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论 1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念： 若当 xx0( 或 x) 时，函数 f(x) 的绝对值无限增大，则称函数 f(x) 当 xx0( 或 x ) 时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能

6、脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系： 定理：在同一变化过程中， 若 f(x) 为无穷大，则1f ( x)为无穷小；反之，若 f(x) 为无穷小，且 f(x)0，则1就为无穷大。f ( x)极限运算法则：法则 1：limf(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A+B法则 2：limf(x)g(x)= lim f(x)lim g(x)=A B特别的： lim cf(x)=c lim f(x)=cA (c为常数 )法则 3：lim f (x) = lim f ( x) = A （其中 B0）g (x)lim g( x) B注意用法则 3 求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先

7、将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限： 重要极限 1： limsin x =1 = limsin() =1x 0x() 0()1 ) x=e = lim (1+ 11重要极限 2： lim (1+) （） =e 或 lim (1（）)（）=exx()()() 0等价无穷小 (x 0) ：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替sin x x ；tan x x ； arcsin x x ；arctanx x ； ln(1x) x ； ex1 x ；1cos x 1 x2 ；1x1 1 x ； ax1 x ln a

8、.22导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念： 若函数 f(x)在 x0 的某邻域内有定义，当xx0 时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0 处的函数值 f(x 0) 即 lim f(x)=f(x0) 则称函数在xx0x0 处是连续的。连续与可导的关系： 定理：若函数 f(x) 在点 x0 处可导，则函数在点 x0 处连续。( 连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导 )导数的计算步骤 ( 按定义计算 ) ：第一步求增量，在 x 处给自变量增量x，计算函数增量y，即y=f(x+x)-f(x)；第二步 算比值，写出并化简比式：y = f ( x x

9、) - f (x) ；( 化简比式的关键是使xx分式中仅分母或分子中含有x 项，避免出现0 或 )0第三步 取极限，计算极限 limy =f (x)x0x常用基本初等函数的导数公式：x/x 1 ；a x /ax ln a ；ex /ex ；log a x/1ln x/1 ；sin x/；cos x ；xln axcosx/sin x ；tan x/sec2 x ；cot x/csc2 x ；/cscx cot x ；/1；secxsecx tan x ；cscxarcsinx1 x2/1arctanx/1/1arccosx；arccot xx21x21x21导数的四则运算法则： 设 u=u(x

10、)，v=v(x) ，则（uv） = u v；（cu） =cu；（uv） =uv+uv；（ u ） = u v uv .vv2反函数的导数： y=f(x)是 x=(y) 的反函数，则y= 1 ，即 f (x)=1x ( y)复合函数求导法则 : 设 y=f(u),u=(x), 则复合函数 y=f (x)的导数为dydy du=或 yx=f u x隐函数求导方法： 隐函数的概念针对因变量 y 写成自变量 x 的明显表达式的函数 y=f(x) ，这种函数叫显函数；而两个变量x 和 y 的对应关系是由一个方程 F(x,y)=0 所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。求隐函

11、数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把 y 看成中间变量 y=y(x) ，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y 对x 的导数。例：求方程x2+y2=1 所确定的函数的导数。解在方程的两端对x求导，并将 y2 看作 x 的复合函数，则(x 2+y2) =(1) 即 2x+2yy=0，y y =-x得 y= - xy参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t 为参数x=(t)y=(t)设函数 (t) 和 (t) 都可导，且函数 (t) 存在连续反函数t= -1 (t) ，当 -1 (t)0 时，这个反函数也可导；这时y 是 x 的复合函数y= -1 (t)=f(x)它可导

12、，由复合函数求导法则知yx= dy = dy dtdy= ( x)= dtdx dt dxdx ( x)dt罗必塔法则： 当 xx0( 或 x ) 时，函数 f(x) ，g(x) 同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式f (x) 的极限可能存在，也可能不存在。我们称其为未g( x)定式，并记作 0 型或，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极0限法则求出。未定式 0( 罗必塔法则一 ) ： limf (x)=limf ( x)0x x0g(x)x x0g (x)=A(或无穷大 ) 。若其中 x时，结论仍然成立。 使用罗必塔法则时， 分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式

13、还是未定式，可以继续使用这个法则。未定式( 罗必塔法则二 ) ： limf (x)=limf ( x)x x0g (x)x x0g ( x)=A(或无穷大 ) 。若其中 x时，结论也成立。未定式 0型及 - 型： 这两类未定式可转化为0 型或 型。0未定式 00, 0,1 型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。微分的运算及法则由微分的的概念dy=f (x)dx 可知，求一个函数的微分，只要求出导数 f (x)再乘以 dx 就得到微分 dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于 y=sinx ，有 y=cosx，从而 dy=cosxdx 。微分的法则： 设 u=u(x) ，v=

14、v(x) ，则d(cu)=cdu ；d(uv)=du dv；d(uv)=udv+vdu ；d(u )= vdu udvvv 2不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：性质一： f ( x) dx =f(x)或 df (x)dx =f(x)dx；性质二：F (x)dx =F(x)+c ；性质三： kf (x)dx =k f ( x)dx (k是不为 0的常数)；性质四： f ( x) g( x) dx =f ( x)dx g (x) dx 。不定积分的基本公式 ( 均应加上常数 C)：0dxckdxkx；x dxx1；= ；1dxln x ；ex d

15、x ex ；ax dxax；xln acosxdxsin xsin xdxcos x ；tan xdxln cosx ；cot xdxln sin x ；secxdxln secx tan x ；cscxdxln csc x cot xsec2 xdxtanx ；csc2 xdxcot x ；secx tan xdx secx ；cscx cot xdxdxarctanx ；dxarcsinx ；csc x ；x21 x2111arctanx ；x211lnxa ；x2a2 dxaaa2 dx2axa1dx ln xx2a2 ；1dx arcsin x 。x2a2a2x2a第一换元积分法： 设

16、函数 u=(x) ，且 f(u)有原函数 F(u) ，du= (x)dx (即 dx= du/ (x)=参见微分概念及计算 f (x)( x)dx =f (u)du =F(u)+c= F(x)+c注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有(x) ，方可在换元时代入 dx= du/ (x)并约去 (x) 。提示：该积分法的步骤是先找出适当的u=(x) ，将函数转化为关于 u 的积分公式，再求出关于 u 原函数，最后根据 u 与 x 的关系代入 x。第二换元积分法： 设函数 x=(t)单调可微且 (t) 0，dx=(t)dt=参见微分概念及计算f (x)dx =f (t ) (t )d

17、t =F(t)+c=F-1 (x)+c提示：该积分法的步骤是先找出适当的 x=(t) ，将函数转化为关于 t 的积分公式，再求出关于 t 原函数，最后根据 x 与 t 的关系代入 x。分部积分法： 设函数 u=u(x) ，v=v(x) 具有连续导数，则uv dx =uv-vudx=解题时这个为 u 不行就换那个为 u提示：运用此公式有时可以使难求的不定积分uvdx 转化为易求的不定积分vu dx ，从而得所求结果。定积分的性质及计算方法：性质一： bkf ( x) dx =kb f ( x) dx（k 为常数）；aabdx =b-a ；性质二：abbb性质三： f ( x) g( x) dx

18、= f ( x) dx g( x)dx ；aaa性质四：若把区间 a ，b 分为两个区间 a ，c 与c ，b ，则bcba f ( x)dx = a f ( x)dx + c f ( x)dx注意： c 有任意性，可在 a ，b 之外；性质五：若 f(x) 与 g(x) 在a,b 上有 f(x) g(x) ，则bbf ( x)dxg (x)dx；aa性质六：若 M，m分别是 f(x) 在a ，b 上的最大值和最小值，则b=估值定理m(b-a) af (x)dx M(b-a)性质七：若 f(x) 在a ，b 上连续，则至少有一点 (a,b) ，使得b=定积分中值定理，求平均值 。f ( x)dx =f( )(b-a)a牛顿莱布尼兹公式：若 f(x) 在a ，b 上连续， F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则bf ( x)dx =F(x)ba =F(b)-F(a)a可见，计算定积分，先用不定积分的方法求出一个原函数，然后把上、下限 a，b 代入原函数作减法运算。换元积分法