高等数学下考试题库(附答案)

1、精品文档高等数学试卷1（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点 M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） .A.3B.4C.5D.62.向量 ai2 jk ,b2ij ，则有（） .A. a bB. a bC. a,b3D. a,b43.函数 y2x2y 21的定义域是（） .x 2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C.x, y 1 x2y 22Dx, y 1 x 2y 224.两个向量 a 与 b 垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. ab 0C. a b 0D. a b 05.函数 zx3y 33xy 的极小值是（） .A.2B.2

2、C.1D.16.设 zxsin y ，则z（） .y 1,4A.2B.2C.2D.2227.若 p 级数1收敛，则（） .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.幂级数xn的收敛域为（） .n 1 nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1x9.幂级数n 02n在收敛域内的和函数是（） .精品文档A.1B.2C.2D.1xxxx121210.微分方程 xyy ln y0 的通解为（）.A.ycexB. yexC. ycxexD. yecx二 .填空题（ 4 分5）1.一平面过点 A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为 _.2.函数 zsi

3、n xy 的全微分是 _.3.设 zx3 y 23xy3xy 1 ，则2 z_.x y4. 1 的麦克劳林级数是 _.2x5.微分方程y4 y4 y0 的通解为 _.三 .计算题（ 5 分6）1.设 zeu sin v ，而 uxy, v xy ，求z ,z .xy2.已知隐函数 zz x, y由方程 x 22 y 2z24 x2z5 0 确定，求z ,z .xy3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x2y242.D4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径） .5.求微分方程y3 ye2x 在 y x 00 条件下的特解 .精品文档四 .应用题（ 10 分2）1

4、.要用铁板做一个体积为2 m3 的有盖长方体水箱，问长、 宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2.曲线 yfx 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点1, 1 ，3求此曲线方程.精品文档试卷 1 参考答案一 .选择题 CBCAD ACCBD二 .填空题1.2xy2 z60.2. cos xyydxxdy .3.6x 2 y9 y 21.4.1 nn.n 02n1 x5. y C1C 2 x e 2 x.三 .计算题1.zexyy sin xycos x y ，zexy x sin x y cos x y .xy2.z2x ,z2 y.xz1yz122sind6

5、 2 .3.d04. 16R3 .35. ye3 xe2 x .四 .应用题1.长、宽、高均为3 2m 时，用料最省 .2. y1 x2 .3高数试卷2（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点 M1 4,3,1， M 27,1,2 的距离M1M2（） .A. 12B. 13C.14D.152.设两平面方程分别为x 2y2z1 0和xy 5 0 ，则两平面的夹角为（）.精品文档A.B.4C.3D.623.函数 zarcsin x 2y 2的定义域为（） .A.x, y 0 x2y21B.x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x 2y 2D. x, y 0 x 2y2224.点 P1,2,

6、1 到平面 x2 y2z50 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数 z2xy3x22 y 2 的极大值为（） .A.0B.1C.11D.z26.设 z x23xyy 2 ，则1, 2（） .xA.6B.7C.8D.97.若几何级数ar n是收敛的，则（） .n 0A. r1B.r1C. r1D. r18.幂级数n1 x n 的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数sin na是（） .n1n4A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程 xyy ln y0的通解为（）.A. yecxB. ycexC. yexD. y cxex二 .填空题（

7、 4分5）x3t1.直线 l过点 A 2,2,1 且与直线yt平行，则直线 l的方程为 _.z12t2.函数 zexy 的全微分为 _.精品文档3.曲面 z2x 24y2 在点2,1,4 处的切平面方程为_.1的麦克劳林级数是 _.4.1 x25.微分方程 xdy3ydx0 在 y x 11 条件下的特解为 _.三 .计算题（ 5 分6）1.设 a i2 jk ,b 2 j 3k ，求 a b.2.设 zu 2 vuv 2，而 ux cos y, vx sin y ，求z ,z .xy3.已知隐函数 zz x, y由 x33xyz2确定，求z ,z .xy4.如图，求球面x 2y 2z24a

8、2 与圆柱面 x 2y 22ax （ a0 ）所围的几何体的体积 .5.求微分方程y3y2y0 的通解 .四 .应用题（ 10 分2）1.试用二重积分计算由yx , y 2 x 和 x4 所围图形的面积 .2.如图，以初速度 v0 将质点铅直上抛， 不计阻力，求质点的运动规律 xd 2 xg .当 t 0x t .（提示：2dtdxv0 ）时，有 x x0 ，dt.精品文档试卷 2 参考答案一 .选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x2y2z11.1122. exy ydx xdy .3. 8x8 yz4.4. 1 n x 2n .n 05. y x3 .三 .计算题1.8i3 j2k

9、 .2.z3x 2 sin y cos y cos y sin y , z2 x 3 sin y cos y sin y cos y x 3 sin 3 y cos3 y .xy3.zxyyz2 ,zxz2 .xzy xyz4.32a322.335. y C1 e 2 xC 2 e x .四 .应用题.精品文档161.31 gt 22. xv0t x0 .2高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，共 30 分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B、20C、 24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b的向量积为（）A 、i-j+2kB、8

10、i-j+2kC、 8i-3j+2kD、 8i-3i+k3、点 P（ -1、 -2、 1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（）A 、2B、 3C、 4D、 54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A 、2 ,2 ,B、2 ,2C、22D 、22 ,222222225、设 x2+y 2+z2 =2Rx ，则z ,z 分别为（）xyA 、 x R , yB 、xzR , yC、x R , yD、 x R , yzzzzzzz6、设圆心在原点，半径为R，面密度为x2y2 的薄板的质量为（）（面积 A=R2 ）A 、R2AB、 2R 2AC、 3R2AD、 1 R2A27

11、、级数( 1) nx n的收敛半径为（）n 1nA 、21C、 1D、 3B、28、 cosx 的麦克劳林级数为（）A 、(1)n x2nB、( 1)n x 2nC、(1)nx2nD、(1)nx 2n 1( 2n)!(2n)!(2n)!(2n 1)!n0n 1n0n0.精品文档9、微分方程 (y) 4+(y) 5+y+2=0 的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y+3y+2y=0的特征根为（）A 、-2， -1B、 2，1C、-2， 1D 、 1，-2二、填空题（本题共5 小题，每题4 分，共 20 分）x1 y31、直线 L 1： x=y=z 与直线 L 2：2z的

12、夹角为 _。1直线 L 3： x 1y 2z 与平面 3x 2y 6z 0之间的夹角为 _ 。2122、（ 0.98） 2.03 的近似值为 _,sin100的近似值为 _。3、二重积分d, D : x 2y 21 的值为 _。D4、幂级数n! x n的收敛半径为 _ ，x n 的收敛半径为 _。n0n 0n!5、微分方程y=xy 的一般解为 _，微分方程xy+y=y 2 的解为 _。三、计算题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t 2,z=t3 在点（ 1，1， 1）处的切线及法

13、平面方程.精品文档3、计算xyd ，其中 D由直线 y1, x2及yx围成 .D4、问级数( 1) n sin 1收敛吗 ？若收敛 ，则是条件收敛还是绝对收敛？n 1n5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数6、用特征根法求y+3y+2y=0的一般解四、应用题（本题共2 小题，每题10 分，共 20 分）1、求表面积为a2 而体积最大的长方体体积。.精品文档2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。 由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为k）已知 t=0 时，铀的含量为M 0，求在衰变过程

14、中铀含量M （ t）随时间t 变化的规律。参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、 A9、B10,A二、填空题1、 ar cos2 , arcsin 82、 0.96， 0.1736518213、4、0，+x215、 yce 2,cx1y三、计算题1、-32-8解：=2-53=（-3）× -5 3-2× 23 + （-8 ） 2 -5 =-13817-57-51-5172-8.精品文档 x=3-53=17×-53-2×33 +（-8 ）× 3 -5 =-13827 -57 -52 -52 7同理：-317 -8y=2 3

15、3=276, z= 41412 -5所以，方程组的解为 xx1, yy2, zz32、解：因为x=t,y=t2,z=t 3,所以 xt =1,y t =2t,z t =3t 2，所以 xt | t=1 =1, y t | t=1 =2, z t | t=1 =3故切线方程为：x1y1z1123法平面方程为： （ x-1 ） +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为D由直线 y=1,x=2,y=x围成，所以D：1 y 2y x 2222y311xyd(2 y) dy故：1 xydx dy1Dy284、解：这是交错级数，因为Vnsin 1 0，所以 ， Vn1 Vn, 且

16、 lim sin 10， 所以该级数为莱布尼兹型级数 ，故收敛 。nn1sin 11发散 ，从而 sin1发散 。当 x趋于 时，xx，n又所以，又级数5sinsinlimnn 1n011n1nnn 1n所以 ，原级数条件收敛 。ew1 x1 x 21 x31 x n、解：因为2!3!n!x(,).精品文档用 2x 代 x，得：e2 x1(2x)1 ( 2x) 21 (2x) 31 (2 x) n2!3!n!1 2x22x 223x 32nx n2!3!n!x (,)6、解：特征方程为r2+4r+4=0所以，（ r+2 ） 2=0得重根 r1=r2=-2 ，其对应的两个线性无关解为 y1=e-

17、2x ,y2=xe-2x 所以，方程的一般解为 y=(c 1+c2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x， y， z则 2（xy+yz+zx ）=a2构造辅助函数F（ x,y,z） =xyz+( 2xy2 yz2zxa 2 )求其对 x,y,z 的偏导，并使之为0，得：yz+2(y+z)=0xz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a 2=0 联立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a6a2=0 得 x=y=z=6所以，表面积为 a2而体积最大的长方体的体积为6a3V xyz36.精品文档2、解：据题意dMd

18、tM其中0为常数初始条件 M t 0M 0对于 dMM 式dtdMdtM两端积分得 ln Mt ln C所以 ，Mcet又因为 M t0M 0所以，M0C所以 ，MM 0 e t由此可知 ，铀的衰变规律为 ：铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减 。高数试卷4（下）一选择题： 3 10 30下列平面中过点（, ,1）的平面是（） （） （） （） 在空间直角坐标系中，方程x2y2 2 表示（）圆（）圆域（）球面（）圆柱面二元函数 z (1 x)2 (1 y )2的驻点是（）（ ,） （）（ ,）（）（ ,）（）（ ,）二重积分的积分区域是 1x 2y 2 4 ，则dxdyD（）（） 4（） 3（

19、） 15交换积分次序后1x0 dx 0 f ( x, y) dy11111yx1（） 0 dyy f (x, y)dx（） 0 dy 0 f (x, y)dx（） 0 dy 0 f (x, y)dx（） 0 dy 0 f (x, y)dx 阶行列式中所有元素都是，其值是（）（）（）！（）对于 元线性方程组，当 r ( A)r( A) r 时 ,它有无穷多组解 ,则.精品文档（）（）（）（）无法确定下列级数收敛的是（）( 1)n1n（）3n（）(1)n 11n 1n 1 2n（）n 1n 1nn 1 n正项级数un 和vn 满足关系式 unvn ，则n1n1（）若un 收敛，则vn 收敛（）若v

20、n 收敛，则un 收敛n 1n 1n1n1（）若vn 发散，则un 发散（）若un 收敛，则vn 发散n 1n1n1n1已知：11xx2，则1的幂级数展开式为1x1 x2（） 1x2x4（）1 x2x4（） 1 x2x4（） 1 x2 x4二填空题：4520数 zx2y 21 ln( 2x2y2 ) 的定义域为若 f (x, y)xy ，则 f ( y ,1)x已知 ( x0, y0 ) 是 f (x, y) 的驻点，若 f xx (x0 , , y0 )3, f yy( x0 , y0 )12, f xy (x0, y0 ) a 则当时， (x0, y0 ) 一定是极小点矩阵为三阶方阵，则行

21、列式3AA级数un 收敛的必要条件是n 1三计算题 ( 一)： 6530已知： zx y ，求：z ， z xy计算二重积分4 x2 d ，其中 D ( x, y) | 0 y4 x2 ,0 x 2 D123已知： ，其中 121，012，求未知矩阵 201010求幂级数( 1)n 1x n的收敛区间n 1n求f (x)e x 的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）.精品文档四计算题 ( 二)：10220求平面 和 的交线的标准方程xyz1设方程组xyz1 ，试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解xyz1参考答案一；二 ( x, y) |1x 2y 22 y 6 a 6 lim u

22、n 0xn四1解：zyxy1zxy ln yxy24 x 22x322解：4 x2 d4 x2 dydx0(4 x 2)dx4 xD003 01631271023解： B 1012,AB124.00115解： R1, 当|x| 1 时，级数收敛，当x=1 时，得( 1)n 1收敛，n1n当 x1 时，得(1) 2n 11发散，所以收敛区间为(1,1.nnn 1n 1解： .因为 exx nx(,) ,所以 e x( x)n( 1)n xnx ( , ) .n0 n!n 0n!n0 n!ijk四 1解： .求直线的方向向量 :s121i3jk ,求点 :令 z=0,得 y=0,x=2, 即交点为

23、 (2,0.0),所5211.精品文档以交线的标准方程为:. x2yz13511111111111111111101 1001102解： A1 111 1 10 112100(1 )(2) 1(1)当2 时 , r ( A)3,无解 ;2,(A)(2)当1,2 时 ,r ( A)3 ,有唯一解 : xyz1( A)2;x1c1c2(3)当1 时 ,r ( A)1,有无穷多组解 :yc1( c1,c2 为任意常数 )( A)zc2高数试卷5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知 aij ， bk ，则 ab（）A 0BijCijDi j2、空间直角坐标系中x 2y 21表示（）A圆B圆面C圆柱面

24、D球面3、二元函数 zsin xy）x在（ 0，0）点处的极限是（A1B0CD 不存在11f ( x, y )dy =（4、交换积分次序后dx）0x1111Af ( x, y )dxBdyf ( x, y )dxdy000x111yf ( x, y )dxdyf ( x, y )dxCdyD00y05、二重积分的积分区域D是x y1，则dxdy（）DA2B1C0D46、 n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（）A0B1CnDn!.精品文档7、若有矩阵A3 2 ， B2 3 ， C 3 3，下列可运算的式子是（）AACB CBCABCD ABAC8、 n 元线性方程组，当r 时有无穷多组解，则（）r ( A ) r ( A )Ar=nBr<nCr>nD无法确定9、在一秩为 r 的矩阵中，任r 阶子式（）A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零10、正项级数un 和vn 满足关系式 unvn ，则（）n 1n 1A若un收敛，则vn 收敛B若vn