高三数学试题

1、高三数学试题一填空题：1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为.2已知对任意的x,0U0,y恒成立，则实数a的取值范围为1,1，不等式x2$2xy-1y2a0xx223.在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)y1(x1)和29(x3)2y21(x3)、两条直线y1和y1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面积为4.1y28，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为4.已知

2、yf(x)是定义在？上的增函数，且yf(x)的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满足不等式f(x26x)f(y28y36)0,则x2y2的取值范围.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm,杯深8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分，一个玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能够碰到杯底，求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).二选择题:6.已知cosBsinCA.1O是ABC外接圆的圆心，A,B,C为ABC的内角，若uuucosC皿ABACsinBB.sinAuur2mAO,则m的值为C.cosAD.tanA7.已知点列Anan,bnnN均为函数ya0,aO1中C）Ax的图像上，点列Bn

3、n,0满足ABAnBn1，若数列bn任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（(A)0,3U2(B)1T51,2(D),3128.过圆2C：x1)(y21）1的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A、B,AOB被圆Sil,则直线ABA1,0,Mm,nn0都1的一条渐近线，点uurRS，试求直线I的分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SS¥S有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条三解答题：2x9已知直线y2x是双曲线a在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P,设坐标原点为O.（1）设点M关于y轴相交的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问：在x轴上是否存在定点T,使

4、得TPTQ?若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.uuuuuu（2）若过点D0,2的直线I与双曲线C交于R,S两点，且OROS方程.2r10. 已知双曲线C:-y21,设过点A(3.2,0)的直线I的方向向量为e(1,k).2当直线I与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线I的方程及I与m的距离；证明：当k时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线I的距离为.6.211. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意x，k等式f(kx)=+f(x)恒成立.2(1) 判断一次函数f(x)=ax+b(a丰0)是否属于集合M；(2) 证明函数f(x)=Iog

5、2x属于集合M，并找出一个常数k;(3) 已知函数f(x)=logax(a>1)与y=x的图象有公共点，证明f(x)=logaxM.12. 设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数，对于任意的xM，都有f(g(x)g(f(x)成立，称函数f(x)与g(x)在M上互为“H函数”.(1) 函数f(x)2x与g(x)sinx在M上互为“H函数”，求集合M；(2) 若函数f(x)ax(a0且a1)与g(x)x1在集合M上互为“H函数”，求证：a1；(3) 函数f(x)x2与g(x)在集合Mx|x1且x2k3,kN*上互为“H函数”，当0x1时，g(x)log2(x1)，且g(x)在(1,

6、1)上是偶函数，求函数g(x)在集合M上的解析式.213.设数列an的前n项和为Sn，且Sn1nN(1)求出S,S2,S3的值，并求出Sn及数列an的通项公式;(2)设bn1anan1nN，求数列bn的前n项和Tn；(3)设CnannN，在数列Cn中取出mmN且m3项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列dn，若对任意的数列dn，均有d1d2LdnM，试求M的最小值.14.已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足(P1)Snp2a.(nN*)，其中p为正常数，且p1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 是否存在正整数M，使得当nM时，a1a4a7a3n2a78恒成立？若存在，求

7、出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；1(3) 右p,设数列bn对任意nN*,都有danb2an1dan2bn£21bna12nn1,问数列g是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，2请说明理由.15.已知抛物线C:y22px(p0)上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。(1)求抛物线的方程。(2)设直线ykxb(k0)与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，且|yiy2|a(a0)，M是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D，得到ABD;在分别过弦AD,BD的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点E,F，得到三角形ADE,BD

8、F;按此方法继续下去。解决如下问题:求证：a216(12巾)；计算ABD的面积Sabd；根据ABD的面积的计算结果,k2写出ADE,BDF的面积；请设计种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。XDO+Y1假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为2.已知对任意的x,0U0,1,1，不等式21682x22xy讨1ya0恒成立xx则实数a的取值范围为(,8423.在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y21(x3)、两条

9、直线y1和y1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面积为41y28，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知yf(x)是定义在？上的增函数，且yf(x)的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满足不等式f(x26x)f(y28y36)0,则x2y2的取值范围.解：由对称性可知f(6)0,由单调性可知x6时，f(x)0；x6时，f(x)0；由y28y36(y4)2206,则x26x6,结合草图可知y28y36到6的距离不超过比x26x到6的距离，即y28y3666(x26x),整理得x2y

10、26x8y240(x3)2(y4)21,其几何意义是以(3,4)为圆心，1为半径的圆(及其内部),而x2y2即为该区域内点到原点距离的平方5.已知一玻璃杯杯口直径6cm,杯深8cm.,结合图形可知，故其取值范围为16,36.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分，一个玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能够碰到杯底的玻璃厚度).求小球半径的范围(不记玻璃杯解:如图建系，抛物线方程为抛物线y8x2,x3,3,9小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C距离最短的点由小球能碰到杯底，则有|CO|CP|,设P(x,y)(x3,3)在抛物线上,设小球的半径为r,则圆心的坐标为C(0,r),|CP|x2

11、(yr)292(2r)yr,y0,3,8y+O,19由|CP|min|CO|,即当y0时，|CP|最小,故(-2r)0,28所以r(0,-.16选择题:6.已知0是ABC外接圆的圆心，A,B,C为ABC的内角，若cosBABcosCimrACsinCsinBunr2mAO,则m的值为A.1答BB.sinAC.cosAD.tanA解：不妨设外接圆的半径为1,如图建立直角坐标系，贝U有AOB2C,AOC2B,故可设B(cos2C,sin2C),C(cos(2n2B),sin(2n2B),结合诱导公式得C(cos2B,sin2B),uuuuuu贝yAB(cos2C1,sin2C),AC(cos2B1

12、,sin2B),unr2mAO,7.已知点列Anan,bnnNx均为函数yaa0,a1的图像上，点列Bnn,0满足AnBnAnBn1若数列bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为0鼻2(B)(C)0亠2(D)1亠2由cosBAucosCAcsinCsinBcosBcosC得(cos2C1)(cos2B1)2m,sinCsinB22又cos2C12sinC,cos2B12sinB,上式化为cosB2cosC2(2sinC)(2sinB)2m,sinCsinB整理得msinCcosBcosCsinBsin(BC)sinA,故选B.8.过圆C:(x1)2(y分成四部分（如图），若这四部

13、分图形面积满足SS¥SS|,则直线AB有（）B(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条KV-.三解答题：0Ax9已知直线y2x是双曲线C2x”,-2a2占1的一条渐近线，点bA1,0,Mm,nn0都作直线分别交x、y正半轴于点A、B,AOB被圆1）21的圆心,在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P,设坐标原点为O.（1）设点M关于y轴的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问：在x轴上是否存在定点T,使得TPTQ?若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由RS，试求直线I的uuuuuu(2)若过点D0,2的直线I与双曲线C交于R,S两点，且OROS方程2r10. 已知双曲线C:-y

14、则1k2x：2y：2,由得y0kx03.2k.61k2,设t3.2k61k2,当k-2时,tW2kJ6或k20,1,设过点A(3.2,0)的直线I的方向向量为e(1,k).2当直线I与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线I的方程及I与m的距离；证明：当k2时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线I的距离为6.2解：双曲线C的渐近线m:直线I的方程为x.、2y32y0,0,直线I与m的距离为d6,(1)(2)t32k61k2“如2J1k22k21(2) 证法一：设过原点且平行于I的直线b:kxy0,则直线I与b的距离d31!巴，当k-时，d6,/k22又双曲线C的渐近线方程为x2y0,双曲线

15、C的右支在直线b的右下方，双曲线C的右支上的任意点到直线I的距离大于6,故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线I的距离为.6.证法二：假设双曲线右支上存在点Q(x0，y°)到直线I的距离为.6,|kx0y°3.2k|1)0(),1)0,I的距离为.6.将y°kx。t代入得(12k2)x24ktx°2(t2-.i222Qk,t0,12k0,4kt0,2(t2方程()不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线11. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意x,k等式f(kx)=+f(x)恒成

16、立.2(1) 判断一次函数f(X)=ax+b(a丰0)是否属于集合M;(2) 证明函数f(x)=log2x属于集合M，并找出一个常数k;(3) 已知函数f(x)=logax(a>1)与y=x的图象有公共点，证明f(x)=logaxM.k解：(1)若f(x)=ax+bM，则存在非零常数k,对任意xD均有f(kx)=akx+b=+2f(x)，即a(k-1)x=-恒成立，得k10无解，所以f(x)M.2k0,kk(2) log2(kx)=+log2x，贝ylog2k=,k=4,k=2时等式恒成立，所以f(x)=22log2xM.x、(3) 因为y=logax(a>1)与y=x有交点，由图

17、象知，y=logax与y=必有交点.2kk设logak=，则f(kx)=loga(kx)=logak+logax=+f(x)，所以f(x)M.2212. 设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数，对于任意的xM，都有f(g(x)g(f(x)成立，称函数f(x)与g(x)在M上互为“H函数”.(1) 函数f(x)2x与g(x)sinx在M上互为“H函数”，求集合M；(2) 若函数f(x)ax(a0且a1)与g(x)x1在集合M上互为“H函数”，求证：a1;(3) 函数f(x)x2与g(x)在集合Mx|x1且x2k3,kN*上互为“H函数”，当0x1时，g(x)log2(x1)，且g(x)

18、在(1,1)上是偶函数，求函数g(x)在集合M上的解析式(1) 由f(g(x)g(f(x)得2sinxsin2x化简得，2sinx(1cosx)0,sinx0或cosx12解得xk或x2k,kZ，即集合Mx|xkkZ2分(若学生写出的答案是集合Mx|xk,kZ的非空子集，扣1分，以示区别。)(2) 证明：由题意得，ax1ax1(a0且a1),变形得，ax(a1)1,由于a011且a1,ax，因为ax0，所以0，即a1a1a1(3)当1x0，则0x1，由于函数g(x)在(1,1)上是偶函数则g(x)g(x)log2(1x)，所以当1x1时，g(x)log?。|x|)由于f(x)x2与函数g(x)

19、在集合M上“互为H函数”所以当xM，f(g(x)g(f(x)恒成立，g(x)2g(x2)对于任意的x(2n1,2n1)(nN)恒成立，即g(x2)g(x)2，所以gx2(n1)2gx2(n1)2,即g(x2n)gx2(n1)2，所以g(x2n)g(x)2n,当x(2n1,2n1)(nN)时，x2n(1,1)g(x2n)log2(1|x2n|)，所以当xM时，g(x)g(x2n)2ng(x2n)2nlog?。|x2n|)2n213.设数列an的前n项和为Sn，且Sn1aAnN.(1) 求出S,S2,S3的值，并求出Sn及数列an的通项公式；(2) 设bn(1)n1(n1)2anan1(nN)，求

20、数列bn的前n项和；(3) 设cnn1annN，在数列cn中取出mmN且m3项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列dn，若对任意的数列dn，均有d1d2LdnM，试求M的最小值.14.已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足(P1)Snp2a.(nN*)，其中p为正常数，且p1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 是否存在正整数M，使得当nM时，a1a4a7a3n2a78恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；1(3) 若p,设数列bn对任意nN*,都有danb2an1b3an2bn1a221bna12n1,问数列bn是不是等差数

21、列？若是，请求出其通项公式；若不是,2请说明理由.解：（1）由题设知，（p1p2a1，解得a1p（1分）2由(P1)SnP2(P1)Sn1Panan两式作差得，（p1）an1anan1，即an11,1anP,(2分)所以，数列an是首项为1P，公比为一的等比数列,P(3分)所以anN*)(4分)25(3n4)(2)a1a4a7a3n2n(3n5)1,(5分)而a78761P由题意,当Pn(3n21时,19解得19n35)76（6分）所以,1，则n(3n5)76，即3n25n15202（舍去）；(7分)当0p1时，-1，则n（3n5）76，即3n25n1520,P219（舍去）.此时存在满足题意的31时，存在M的最小值为8,使a1解得n8或n综上，当0(3)则b|a12，因为a12因为dan