高中数学高考复习《立体几何大题》习题附详细解析

1、M在棱BBi上,立体几何大题1长方体ABCDABjGDj中，AB=BC=1,Af=2,E是则棱BB1中点(I)求直线AA与平面AC|E所成角的大小(u)求二面角E_AG_B的大小(山)求三棱锥E-ADtCt的体积2.如图，在正三棱柱ABC-AB1G中，底面边长是2,D是棱BC的中点，点口1且BM=BiM，又CM_AG.3(I) 求证：AiB平面ACiD(H)求三棱锥Bi-ADCi体积.3.如图，四面体ABCD中，0、E分别是BDBC的中点，CA二CB二CD二BD=2，AB二AD=2(I)求证：A0-平面BCD(II)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小(III)求点E到平面ACD的距离4已知

2、四棱锥PABCD的底面是正方形，P从底面ABCD.异面直线PB与CD所成的角为45°.求：(1)二面角BPC-D的大小(2)直线PB与平面PCD所成角大小5四棱锥P-ABCD中，PAXABCD,四边形ABCD是矩形E、F分别是AB、PD的中点若PA=AD=3CD"6.(I)求证：AF平面PCE(II)求点F到平面PCE的距离;(III)求直线FC与平面PCE所成角的大小6已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形,丄平面ABCD,E、F、G分别是PAPBBC的中点(I) 求证：EF平面PAD(II) 求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小立体几何大题答

3、案1长方体ABCDABjGDj中，AB=BC=1,AA,=2,E是则棱BB1中点(I)求直线AA与平面AGE所成角的大小(u)求二面角E_AG_B的大小(山)求三棱锥E-ADtCt的体积答案：(I)arcsin33(II)arccos1515(III)D1与面AEC1距离VD1-AE612.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2,D是棱BC的中点，点M在棱BB1上,1且BM=B1M，又CM_AG.3(I)求证：A1B/平面AC1D(H)求三棱锥B1-ADC1体积.答案：提示：(1)连接AC,交AC1于点E,连接DE,则DE是:A,BC的中位线，de/b,又DE二面ADGAB二面A

4、DC,A1B/面ACQ.(2)在正三棱锥abc-AtBG中，D是BC的中点，则AD_面BCC1B1,从而AD_MC,又CMAC则CM和面ADC1内的两条相交直线AD,AC1都垂直，MC_面ADC1,于是CM_DC1，则CDC1与MCB互余，则tanCDC1与tanMCB互为倒数，易得AA=2.2，连结B1D，2；6.S.bcd=2.2AD_面B1C1D,三棱锥B1-ADC1的体积为'设BBr=h，则A(0,-3,h)，方法2:以D为坐标原点，DC,DA为x,y轴，建立空间直角坐标系，D(0,0,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),A(0,.3,0),B1(1,0,h)，C1(1

5、,0,h)，M(-1,0,h)，AB=(-1，-.3,-h)，AD4T法向量n二(x,y,z)，则二(0,-3,0),GA=(-1,.3,h)，设平面AC1D的rad二C1An=0h、4''TTTn二(h,0,-1),A1B_n.AB/面ACQ(2)CM=(2,0,h),AG=(1,3,h)，CM_AC，CMAc1=_20，44.h=22.平面AC1D的B1An'法向量为n=(22,0,=)，耳入=(1,.3,-2.2)点B1(_1,0,22)至V平面ACQ的距离0宁.飞十3罗等青.3如图，四面体ABCD中，0、E分别是BDBC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=

6、AD=2.（I）求证：A0一平面BCD（|）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小（III）求点E到平面ACD的距离.答案：方法一：（I）证明：连结0C；BO=D0AB=ADj.AO丄BDtB0=DQBC=CD”；C0丄BD.在iAOC中，由已知可得A0=1,C0=e.AO2亠CO2=AC2ZA0C=90°,即A0|0C.TBDplOC=0,（II）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知AC在QME中,EM冷AB捋,0E冷DC/,1OMAC二1,-0M是直角A0C斜边AC上的中线，.2-异面直线AB与CD所成角的大小为血arccos4（III）解：设点E到平面A

7、CD的距离为h.jACD=Va_CDE,1jAO.S©3-7Ve.1hSACD3必DE在-ACD中,CA=CD=2,AD=.2,s-SACD=2AO=1,SCDE=1 -J22 431T_21J_=72点E到平面ACD的距离为7方法二：（I）同方法一.（II）解：以0为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1,o,o）,D（-1,0,°）厶！c（0,73,0）,A（0,0,1）,E（m吕,0）,BA=（-1,0,1）CD=（-1,-73,0）.5<BA,CD=|BA专-异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的

8、角彳=(x,y,z).3,0T)=0,xz=0,0),(III)解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则nAC#,y,z).(°,3Tf3y_z=o.令yh,得nn-3,1,.3）是平面ACD的一个法向量。hn点E到平面ACD的距离EC.n4已知四棱锥PABCD的底面是正方形，45°.求：(1)二面角BPC-D的大小/AB/CD，/ABP=45°,于是PA=AB作BEXPC于E,连接ED,在厶ECB和厶ECD中，BC=CDCE=CEZBEC=ZDEC,/ECBAECD/CED=/CEB=90,ZBED就是二面角B-PC-D的平面角.PBBC6PAX底面AB

9、CD.异面直线PB与CD所成的角为(2)直线PB与平面PCD所成角大小设AB=a,贝UBD=PB=2a,pc=3a,BE=DE=PC一亍BE2亠DE2_BD21cos/BED=2BEde=_2，/bed=120°即二面角BPC-D的大小为120°(2)还原棱锥为正方体ABCD-PB1C1D1,作BFXCB1于F,平面PB1C1D1丄平面B1BCC1,BF丄平面PB1CD,连接PF则/BPF就是直线PB与平面PCD所成的角迅a1BF=2,PB=2a,sin/BPF=2，/BPF=30°.所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30°5四棱锥P-ABCD中，P

10、AXABCD,四边形ABCD是矩形.EF分别是AB、PD的中点若PA=AD=3CD=、6.(I)求证：AF/平面PCE(II)求点F到平面PCE的距离;(III)求直线FC与平面PCE所成角的大小.解法一：(I)取PC的中点G,连结EGFG,又由F为PD中点，1CD则FG/2AE/1(=D/,FG/AE.又由已知有2四边形AEGF是平行四边形AF/EG.£又AF平面PCEEG平面PCE.-AF/平面PCEPA_平面ABCD,(II).平面PAD_平面ABCD.由ABCD是矩形有CD_AD.CD_平面PAD.AF_CD又PA二AD=3,F是PD的中点,AF_PD.PDCD=D,AF_平

11、面PCD.由EG/AF,.EG_平面PCD.平面PCD内,过F作FH_PC于H,由于平面PCD平面PCE二PC，则FH的长就是点F到平面PCE的距离.由已知可得PD=32,PF=?2,PC=2.6.2由于CD_平面PAD,.CPD=30.-FHJPF-点F到平面PCE的距离为22244（HI）由（II）知FCH为直线FC与平面PCE所成的角.-3-在Rt.CDF中,CD二6,FD2,22242.FC=CD2FD2.2FH21.sinFCH=FC14721.直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin14解法二：A（0，0，0），P（0，0，3），(6，3，0)(I)取PC的中点3333AF=

12、(0,2,2),EG=(0,2,2),.AF/EG.即AF/EG.又AF平面PCE,EG5平面PCE,6E(三，0,0)，<633)G，连结EG,则(T,2,2).0），3，2），CAF/平面PCE.6n=(xy,z),EP=(II)设平面PCE法向量2nEP=0,nEC=0.6二x+3z=0,26x3y=0.2取y=_1，得n=(*$_1,1).33又PF=(0,22故点F到平面PCE的距离为PFn1-2-3|22|n|324|FCn|(III)FZ丐,3|cos:：:FC,n|=|FC|n|亠近2.2114L1G4Zn叮，即则nEGR,.21arcsin直线FC与平面PCE所成角的大

13、小为149已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD/丄平面ABCD,E、F、G分别是PAPBBC的中点.(I) 求证：EF_平面PAD(II) 求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；答案：解：方法1:(I)证明：平面PADL平面ABCD,AB_ADAB_平面/E、F为PA、PB的中点EF/AB,.EF_平面PADCD(II)解：过P作AD的垂线，垂足为O：平面pAD_平面ABCD，则po平面取AO中点M，连OG,EO,EM/EF/AB/OGOG即为面EFG与面ABCD的交线又EM/OP,则EM丄平面ABCD且OG丄AO,故OGEOEOM即

14、为所求RtEOM中，EM=-3,OM=1Btan/EOM=3,故-EOM=60平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60方法2：(I)证明：过P作PO-AD于O,t平面PAD平面ABCD,则PO平面ABCD,连OG,以OG,OD,OP为x、y、z轴建立空间坐标系,/PA=PD=AD=4,OP=2j3,OD=OA=2,得A(0,2,0),B(4,-2,0),C(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2、-3),E(0,-1,3),F(2,-1,.3),G(4,0,0)，故EF=(2,0,0),AD=(0,4,0),PD=(0,223),/EFAD=0,EFPD=0.EF平面pad；*(II)解：ef-(2，Q0),eg-(4,1,t3)，设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),2x=04x+y“EzR取z得n=(0,l?,1)平面ABCD的一个法向量为6=(0,0,1),.|n叫1|cos£n,m_=平面EFG与平面ABCD所成锐二面角余弦值是：I1n|ni12，锐二面角大小是20.在数列a1中，C=1,nq彳=2（a直讦：畀an）（nN*）.60（i）求a2、a3、印及通项公式an（u）令bn=2nd4an，求数列bn的前n项和s;答案：（1）由题意得a2=2,a3=3,a4=4,