高中不等式所有知识及典型例题

1、不等式的性质：不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;2. 作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三.重要不等式1.（1）若a,bR，则a2b22ab(2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“二”）2. （1）若a,bR*，则.ab（2）若a,bR*，则ab2.ab（当且仅当ab时取“二”）22若a,bR*，则ab（当且仅当ab时取“二”）213. 若x0，则x2（当且仅当x1时取“=”）；x若x0,则x丄

2、2（当且仅当x1时取“二”）x若x0，则x12即x12或x1-2（当且仅当ab时取“二”）xxx若ab0,则ab2（当且仅当ab时取“=”）ba-2（当且仅当ab时取“二”）4.若a,bR，则（2T2a2b22（当且仅当ab时取“二”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.+b3+c3>3abc(a,b,c?R)a+b+c3>3abc（当且仅当a=b

3、=c时取等号）16.n(a1+a2+an)>a1a2Lan(a?R+,i=1,2,n)，当且仅当a1=a2=an取等号;变式：a2+b2+c2>ab+bc+ca;abc(穿)2(a,b?Ft);abc<(a+；+c)3(a,b,c?Ft)2abra+b吐赢=ab=T22a+b2<b.(0<a<b)7.浓度不等式：<<+,a>b>n>0,m>0;a-naa+m'''应用一：求最值c11例1:求下列函数的值域（1）y=3x2+衣（2）y=x+解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x5，求函数y4x21的最大值

4、。44x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。2技巧三：分离例3.求yx1x7x10(x1)的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+1,化简原式在分离求最值。(t1)27(t1)+10t25t44y=t技巧五：注意：在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况，应结合函数af(x)x的单x调性。例：求函数yX25一的值域。x24解：令.X24t(t2)，则yx25x2411x2-4t严2)1因t0,t-1，1因为yt在区间t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。1,单调递增，所以

5、在其子区间2,为单调递增函数，故y当1,即t=一|时，y9(当t=2即x=1时取“=”号)所以，所求函数的值域为2.已知0x1,求函数yx(ix)的最大值.；3.o-，求函数y.x(23x)的最大值.3条件求最值1若实数满足ab2，则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解:3a和3b都是正数，3a3b>23a3b23b6当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6.112，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出

6、错。变式：若log4xlog4y192:已知x0,y0，且1，求xy的最小值。xy技巧七、已知x,y为正实数，且x2+*_1,求x'1+y2的最大值.a2+b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<匕同时还应化简寸1+y2中y2前面的系数为1,x/1+y2_xF面将x.+:分别看成两个因式：2y_!1x2+2+2_2x2+<a，b为正实数，2b+ab+a_30，求函数分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;题来说，因已知条件中既有和的形式，放缩后，再通过解不等式的途径进行。技巧八：已知即x1+

7、y2_21y_ab的最小值.一是通过消元，转化为一元函数问题，二是直接用基本不等式，对本又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式注302b法一：a_，302b2b2+30bab_苛b_b+1由a>0得，0vbv15令t=b+1,1vtv16,2t2+34t31ab=2(t+¥)+34vt+学>2ab<181-y>18当且仅当t_4,即b_3,a_6时，等号成立。30ab_a+2bva+2b>22ab30ab>22abJ则u2+2,2u30<0,52<u<32解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,法二：由已知得

8、：令u_,abab<32,ab<18,二y>点评：本题考查不等式-一b.ab(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知2不等式aba2b30(a,bR)出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想.ab(a,bR)，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.到不等式U2 变式：1.已知a>0，b>0，ab(a+b)_1，求a+b的最小值。2若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数，3x+2y_10,求函数W_.3x+2y的最值.22a+ba+b2<厂，本题很简单3x+2y<.

9、2.(；3x)2+(2y)2_2.3x+2y_25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0,W2_3x+2y+23x.2y_10+2.3x.2y<10+(3x)2(.2y)2_10+(3x+2y)_20W<20=25应用二：利用基本不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1)正数a，b，c满足a+b+c=1,求证：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6:已知a、b、cR，且abc1。求证：一1一1一18abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左

10、边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又一1乙叵，可由此变形入手。aaaa解：Qa、b、c1R，abc1。-1a同理一12acbb12ab1。cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得一1一111abca2、bCg2、aCg2.ab&bc当且仅当a1-时取等号。3应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy19Axy9x9y,10y9x,解：令xyk,x0,y0,1，1.1xykxkykkxky1031102-。k16，m,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：1ab例：若ab1,P、lgalgb,Q(IgaIgb

11、),Rlg()，则P,Q,R的大小关系是.22分析：ab1iga0,igb1.0Q2(igaigb)igaigbpRabig()ig-ab1igabQR>Q22四.不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.元二次不等式的解法3. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如(1) 解不等式(x1)(x2)20。(答：x|x1或x2);(2) 不等式(x2)Jx2

12、2x30的解集是(答：x|x3或x1);(3) 设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为x|1x2，g(x)0的解集为，则不等式f(x)gg(x)0的解集为(答:(,1)U2,);(4) 要使满足关于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是.(答:7,81)84分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如(1) 解不等式25X1x2

13、x3(答:(1,1)U(2,3);(2) 关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式空0的解集为x2(答：(,1)(2)5. 指数和对数不等式。6. 绝对值不等式的解法：(1) 含绝对值的不等式|x|va与|x|>a的解集(2) |ax+b|wc(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法 |ax+b|<c-c<ax+b<c; |ax+b|>cax+b>c或ax+b<-c.(3) |x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等

14、式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例1:解下列不等式：(1).x22xx(2).-3<-<2x【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1原不等式的解集为x|x<0或0<x<1或x>3I解法2(数形结合法)作出示意图，易观察原不等式的解集为x|x<0或0<x<1或x>3I第（1）题图第（2）题图

15、【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为x|x1或心，结果一目了然。例2：解不等式:|x|-x【解析】作出函数f(x)=|x|和函数易知解集为（一，°）1，+象,g(x)=x的图g(x)34,解不等式.|x1|x1|例3:【解法1】令|x1|x1|2(x1)2x(1x2(x1)令h（x）1)32，分别作出函数g(x)和h(x)的图象,知原不等式的解集为【解法2】原不等式等价于g(x)|x1|,h(x)|x1|令匕rlD3.hT|x分别作出函数g（x）和h（x）的图象，易求出g（x）和h（x）的图象的交点坐标为（4,7所以不等式|

16、x1|x1|33,)2的解集为4【解法3】由|x31|x1|2的几何意义可设F1(1,0),F2(l,0)，M(x，y)，MF1MF2若2，可知M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（,0),由双曲线的图象和Ix+1|x-1I昌知X.37含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集如22（1）若loga-1，则a的取值范围是（答：a1或0a-）;3 3-（-）解不等式x（aR）ax111（答：a0时，x|x0;a0

17、时，x|x或x0;a0时，x|x0或x0）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（-）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0的解集为（,1），则不等式丄20的解集为（答：（一1,-）axb五绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b0|a|+|b|当且仅当ab>0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，L+bs|；|+|b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（-）不等式|a|-|bS|a±b|<|a|+|b中“=”成立的条件分

18、别是：不等式|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|,在侧“二”成立的条件是ab>0,左侧“二”成立的条件是ab<0且|a|>|b|不等式|a|-|b|a-b|<|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab<0，左侧“=”成立的条件是ab>0且|a|>|b|。定理-如果a,b,c是实数，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|当且仅当（a-b）（b-c）时，等号成立。例1已知0,|xa，|yb，求证-x3y-a3b5.例-.（1）求函数y|x3x1的最大和最小值；设aR，函数fxax-xa（1x1）.若a1，求fx的最大值例3.两个施工

19、队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第-0km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处/、.柯西不等式aibia-ban0-aa-a-b-bf-bnaibiR,i1,-n等号当且仅当a1a-an0或bikai时成立（k为常数，i1,-n）类型一：利用柯西不等式求最值1.求函数1的最大值一:_三且，函数的定义域为汽二丄二，且|二一，尹二"1十強冥圧匚莖J爭+（膺心疔孑+仔中二6$127即时函数取最大值，最大值为'-.'.

20、、:_1工且：-2.-1L,函数的定义域为'二-?-r_丄对0力卜0由.127ax得：J'-即',I'.'-，解得?''/127时函数取最大值，最大值为'.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2229+>2.设为正数且各不相等，求证：-'-<-'-丁2（口+心+匚）（一十丄+丄）二13+切+17）+口）（_17+亠+丄）2ab+ce-haa+ib-Hrc4-（a+1+罗又：、占、各不相等，故等号不能成立22294+>_rI类型三：柯西不等式在几何上的应用6.

21、ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证：（aa+护+>36a.也q14贞sin卫二I=证明：由三角形中的正弦定理得，所以：:i14贞14017于是左边=七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1n常用的放缩技巧有：-n1n(n1)1的大小，然后作出结论。）.111）n1n(n如（1）已知abc，求证：a2b、k2*k、匸3.kb2cc2aab2be22ca已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a211已知a,b,x,yR，且一，xy，求证:ab(3)若ab、c是不全相等的正数，求证:abc(axxa,ab,b已知a,b,cR，求证：a2b2N，求证:（n1）2已知|a|b|，求证：(5)若nb2c21|a|b|ab|L1n(n1)|a|b|；|ab|'gpg-c2a2n21n；bc)；y.yb'ccalglgalgblgc；22abc(abc)；（8）求证：14&23八不等式的恒成立，能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为