高中数学好题速递400题(251—300)

1、设m,k为正整数，方程mx2_kx-2=0在区间0,1内有两个不同的根，则m的最小值是解:2mx2-kx2=0二k=mx-x2于是问题转化为直线y=k与打勾函数y=mx，2的图象的x两个交点的横坐标均在区间0,1内，于是22mk；:：m2注意到m2为整数，于是在区间22m,m2上存在整数0.005101.52.0k的充要条件为m22.2m1解得m.32故m的最小值为6,而k的最小值为7,则m亠k的最小值为13好题速递252题已知2xy=1,求xx2y2的最小值是22解法一：令.x2y2=m，则x2m22因此2my=1，整理得y2mymm2=02m故用判别式厶=m2-4m-m2_0,解得m亠45

2、解法二：设x=rcos),y=rsinv，条件转化为2rcosvrsinvT，即r2cosvsinv所求代数式转化为rcorc°l1的最小值2cos日+sinO由此可有斜率角度求值域:2cos卄sin葺2cos沪2+sin日-2=2+sin日一2疋,（视为单位圆上的点与（_1,2）连线斜COST11COST11COST114COST11率)，则x亠、x2y2cos）1_42cosvsinv一5也可由三角函数角度求值域:2cco(+'s爲=m=吨皿伽卄曲后+-12*吨3°1心Xy评注：这里因为遇到Xy2的结构，故三角换元设x=rcosv,y=rsin。解法三：数形结合

3、当x_0时，点P为2xy=1上的一点，贝yXX2y2=P0PH如图，就是典型的“饮马问题”，点0关于直线2x1的对称点y轴的距离为45当x：0时，点P为2xy=1上的一点，贝Ux*；.；x2y2=P0-PH而POOH=0B2PH1PH于是PO_PH1好题速递253题如图，直线m与平面：，垂足是0,正四面体ABCD的棱F到直线AD的距离EF减去球长为4，点C在平面:-上运动，点B在直线m上运动，则点0到直线AD的距离的取值范围是.解：题意中是点0是定点，正四面体ABCD运动，但始终保持0B_0C不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD固定下来，让点0在以BC为直径的球面上运动，如图所示。接下来

4、可以得到点0到直线AD的距离的取值范围就是球心的半径与球心F到直线AD的距离加上球的半径之间，即|2.2-2,2.22AOD好题速递255题-1.S-10-0.5000.5101.5已知a,b三R，对任意满足0x1的实数x，都有axb<1成立，则10a7bT0a_7b的最大值是解法一:显然10a7b|-.-|l0a7b=max2a,14b/于是问题转化为求a,b的最大值当x=0时，容易得到b<1，由图可知直线y=axb在0_x_1上的值域为1-1,1的子集，于是斜率a必然在2,2内，故a<2从而当a=2,b=-1时，原式取到最大值为40解法二：绝对值不等式因为f0=b<

5、1,f1;=ab<1故a=ab_b_ab|-|b_2，同解法一练习：若对任意满足_1岂x込1的实数x，都有a艮+b才立，则a的取值范围是.如图，易得-2乞a乞2点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。好题速递255题TI已知圆O:/，y2=1为-ABC的外接圆，且tanA=2，若AO=xAByAC，贝Uxy的最大4值为解：如图，延长AO交边BC于点D，设TO二AD1xy1贝VADAOABAC由B,C,D三点共线可知-=1，从而+、Iao|1Xy"=AOOD=VOD显然当OD取最小值，即OD_BC时，xy取得最大值，此时AABC为等腰三角形，可得好题速递#题已知非零向量

6、a和b互相垂直，则ab和a2b的夹角余弦值的最小值是解：COST=*22a+2b422'22.aba4ba2ba2令Uy，则cos一丄2y_.xyX4yx24xy4y2x2亠5xy亠4y21l2Ary2-：1一；二写好题速递257题已知正数a,b满足ab-9=10，则ab的取值范围是.ab解：设ab=t，则1=10_tab又因为abl19=19b9a16'化ab丿ab即t10-t_16，解得2乞t<813当且仅当a=2，b=2时，ab=2;当且仅当a=2,b=6时，a，b=8好题速递258题已知实数x,y.0,若x2y.齐=2，则x3y的最小值是解法一：待定系数法xy_丄

7、I,；“x，.:：02I九丿2=x+2y兰x+2y£待定系数法，令r:吩九3，解得V故X3八号，当且仅当W时取得解法二：x3y2=x3y._yx2y-xy=-1x3-2y-、xy：2,-13-21j.xy7129i令2._132_1=0，即=6时，x6，当且仅当x二弄弓时取得解法三：三角换元设a=.x,b=y，原问题转化为a2ab2b2=2，求a23b2的最小值令a=rcosv，b=rsinr，三0,，r.0，a23b2=r2晅12故问题又转化为已知22222rcosrsin?-3r2sinvcosv-2，求r2的最小值于是右二coc討仁:阮注冷3sin宀6因八_0，-，故务即_2r

8、评注：这里又遇到a2+(J3bj的结构，故可三角换元设a=rcos日，b=sin日，10月1日:3每日征解有相同的处理方法。好题速递259题已知ABC中，CP1"CACBCP=；|7bi，点Q是线段AB上一点，且cQi_cp=2，贝yCQ的取值范围是.解：根据CcACB,Cp=：忌“，可知A,B,C在以AB为直径，以AB中点P为圆心的圆上。又cq|_cp=1，且CP=1，根据投影的几何意义为点Q在PC的中垂线上，又点Q在AB上，故点Q就是线段PC的中垂线与线段AB的交点又CQ=PQ，故问题转化为当点C在以AB为直径的圆上运动时，求PQ的取值范围显然当Q与B重合时，PQmax=1,C与

9、B接近重合时，PQmin1好题速递#题在正方体ABCD_A'B'C'D'中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP和AC'所成的角为45的点P有个.解：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，规定当顶点与B的连线与直线AC'所成的角大于等于45时为一类，小于45时为一类。显然AB,B'B,CB与AC'所成角的正切值为2，故大于45A'B,DB与AC'所成角的为90，大于45D'B与AC'所成角的为60，大于45C'B与AC'所成角的正切值为，小于452当点P从B'运动到C

10、'时，角度从大于45变化到小于45，定经过一个点满足45；依此类推，当点P在B'C',CC',D'C'上运动时，都经历过角度从小于45到大于45的变化，故满足条件的点共有3个。点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点）角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。好题速递261题在JABC中，D是边AC上一点，AB二AC=6,AD=4，若.：ABC的外心O恰在线段BD上，贝UBC=-I|H2H解：设AOABT-，ADW-.AB1-，AC3因为ABC是等腰三角形，故2

11、2，|1一，即5故有AO/AB55再对上式两边同时与AB作数量积，有5ABIaclab，得如三故由余弦定理得BC2二AB2AC2-2A氏ACcosA=54即BC=3.6点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO在AB,aC方向的分量一样，即系数一致求出。其次还是向量与外心合作的老套路点积转边长。好题速递#题已知平面和相交形成的四个二面角中的其中一个为60，则在空间中过某定点P与这两个平面所成的线面角均为30的直线I有条.解：设平面:-和平面卜过点P的法线（垂直于平面的直线）分别为m,n，则m,n=60；而直线I与两个平面所成的线面角均为30可转化为直线I与法线m,n所成的角均为60由“鸡爪定

12、理”可知，直线I与法线m,n所成角为60的直线有3条。点评：平面的法向量是平面方向的代表。-0JI-9“鸡爪定理”：如图，若直线m,n所成角为则与直线m,n所成角相同的直线|一定在直线m,n的角平分面上，且该角的取值范围是，二和，二其中f与亍就是直线1正好为直线m,n的两条角平|_22IL22分线时，尹是垂直时取得。好题速递263题已知向量a,b满足2a3b=1，则ab最大值为。解法1：（方程构造法）构造方程（2a+3b）-（2a-3b）2=24ab则ab一计呛一F，当且仅当2a=3b，且4时，上式等号成立.解法2：（不等式法）对于条件2a3b=1，则有4a29b212ab二1,222又因（2

13、a3b）>0,则有4a+9b>12ab，则12a112ab,因此ab最大值为24rt1解法3：（极化恒等式法）设2a=OA,3b=OB，取AB的中点为M,OM=丄，对2于也OAB，因NBOA可以变化，当NBOA趋向于0度时，MB趋1向于0,而OM=，则22a3b=OAOb=OM-忒丄0J,44因此ab最大值为丄24好题速递264题已知过点A0,1，且斜率为2k的直线I与圆C：（x2）十（y3）2=1相交于M,N两占八、M(xi,yi),N(x2,y2),则AMAN二.解法1：（普通方法）设直线I与圆的交点为AM=(为$-1),AN=区，丫2-1),2o由直线y=kx+1与圆(x2)

14、+(y3)222=1联立得1kx-4(1k)x7=0,74(1k)因此有x-|x22,x-ix22,1+k21+k226k4k21k22y1y2二k%卷kx1x2亠1二212k4k12，1k2yy2=k(X1X2)2=因此可得AMAN二曲2y2-（y2）12212k4k16k4k2'1+k2_7221k21k2解法2:（极化恒等式）如图所示，取MN的中点为G，则CG_MN,2MN22由极化恒等式可得AMAAGAG-MG41=72222=AC-CG-(MC-CG)222二AC-MCAC1=8-1=7点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。其本质就是圆的切割线定理。好题速递

15、265题22已知代B为双曲线-21上经过原点的一条动弦,164的一个动点，则的最大值为M为圆22C:X(y-2)=1上解法1：（普通方法）设Mx0,y0,满足=12Xi设A",B(_Xi,-yi)，满足i64=1MA=(Xi-Xo,yi-yo),MB=(-为-x0,-yo),因此MAMB=Xo2_片2y02_%2=Xq2y。2_(x；y2)2x215=)yo小(存tan-OPBtanOPA4yo2，=143-151674因此MAMB的最大值为1+4（y0hax号（X>min2解法2：（借助于极化恒等式）如图所示，0为代B的中点,由极化恒等式可得mAMB=MO'22-OA

16、,2min22而M0(2+1)2=9，0Ami2因此MAMB的最大值为MOmaX-OA2min=9-42=-7好题速递266题在平面直角坐标系xOy中，A,B是x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点）为y轴上一个定点，若以AB为直径的圆与圆x2y-22=1相外切，且ZAPB的大小为定值，则0P二.解：设以AB为直径的圆的圆心为t,0，半径为r，则可设At-r,0,Btr,0由两圆相外切得t2+4=（r+1$t+rtr而tanopb=ot，tan冲二乔tan/APB=tantOPBZOPA严tan_OPB-tan_OPA2rOP2rOP2,222OPt-rOP2r-3因为.APB是定值，所以tan

17、ZAPB为常数，所以OP=$3好题速递267题已知等比数列為？的公比q1,其前n项和为Sn,若S4=2$1,则S6的最小值为.解法1:从等比数列的基本量入手a1(1q4)2a1(1q2)由S4=2S21得1_q1，得<_q42q2-1iqaia1q6176q2-1q4q21q4q21所以S621-qpq2_1)q2q2-13令q2_1二t，则S6二t：3_2.33当且仅当q2=冷31时取得等号。解法2:从等比数列的性质入手因为等比数列有性质：(S4-S22=S2-S4)1将S4=2S21代入，得Ss=3S23S2又因为S4=2S21得a3a4=aia21，即S2q2-1=1，因为q1,所

18、以S20所以Ss=3S23_2.33，当且仅当S23时取得等号。S23好题速递268题已知LO:x2y2=4，点M4,0，过原点的直线(不与x轴重合)与Lo交于a,b两点,则.ABM的外接圆的面积的最小值为R的最小值，即求sin.ABM的最AB解:KM=2R，要求外接圆的面积的最小值，即求大值设A2cos二,2sin：i,B-2cos：,2sintMA=2cos：-4,2sin：；-i,MB=-2cos：-4,2sin二mAmmO2AB2_4故cos.ABM-12122.20_16cos：.2016cos:-.400_256cos2:-5故sin.ABM4<-_5所以2R-AB455，所

19、以R5,s_25二sin.ABM42'4由极化恒等式知=16_4=125好题速递269题已知数列（anXbn的前n项和分别为Sn,Tn，记CnranTn，gSbn，若。仆=2015,T2015二2014，则数列心？的前2015项和为.2015解：当n=1时，g=aib1=0弔当n_2时，Cn二SnSnTn-Tn-TndTn-Tn二S.叽一SnTnc'c2'cJI'c-S1T1'S2T2-S1T1厂&丁3-S2T211'S2015T2015-S2014T2014=S2015T2015=2014好题速递270题钝角ABC中，2sinC1sin

20、2A=sin2Csin2B，贝sinA_B：=解：由2sinC-1sin2A=sin2C-sin2B得2sin2AsinC=sin2Asin2C-sin2Bsin2Asin2C-sin2Ba2c2-b故sinA2sinAsinCi2二cosB=sinB2ac2,Ji,n故AB或AB=-：22由于ABC为钝角三角形，故Ji2，A-B二二，所以sinA-Bi；=1好题速递271题在lABC中，若tanAtanB=tanBtanC亠tanCtanA，贝VcosC的最小值为解：常规思路“切化弦”sinAsinBsinBsinCsinAsinCsinCsinAsinB=+=.+.-cosAcosBcos

21、BcosCcosAcosCcosCcosAcosBcosCsinCsinAcosBsinBcosAcosAcosB2、sinCsinAsinBcosC2c222ab=r2=a2b2=3c2abc2ab2.22一a+b-ccosC2aba2b23ab2>-_3好题速递272题在平面直角坐标系中，设AB,C是圆x2y2-1上相异的三点，若存在正实数，使得oC=OA+pOB，贝y人2+(卩3丫的取值范围是解：设A为，,BX2,y2,CXo,y°，则x：yj=1，x；y；=1，运y=1于是由OC='OAOB得x0,y0=X1,r'ix2,y2故=公，两式平方相加得1=.

22、2匸_22止如2%y2,yo=比幼1_，2_，l.2即xyy又X|X2亠丫2=OAOB=cosv丨-1,1】AI=0故222_1,，22-2叨'-_1即-11，画出可行域如图，目标函数2心二-32视为可行域内的点到0,3的距离00-2的平方，所以的最小值为d所以<心二32_2好题速递273题若对于满足-1锁<3的一切实数t,不等式x2-(t2-3)x*t2(t-3)0恒成立，则x的取值范围为.解：原不等式化为(x_t2)x_(t-3).0t2_(t_3)_t3=(t一1)23一丄0,2 4x:：:t_3或x,2X：t-3min=4或xtmax=9点评：本题常规的解法应该是将

23、t视为主元，将x视为系数去解，但这个关于t的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。这个题目的解法也可以处理浙江省2012年高考题。(2012浙江理17)设a-R，若x0时，均有(a_1)X_1(X2_ax_1)_0,则a-.本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。解：将(a-1)x-1(x2-ax-1)_0视为关于a的二次不等式，即整理为xaT：|xa-：；：x2-1<0当=x丄=x=2xxx+11当0：x乞2时，_X一，贝yx-XX，所以x-1xx曲乞x1maxx-Jmin当x_2时,乞x1，则xSxIX丿mi

24、n综上，a=-2好题速递274题2y2xOy中，椭圆笃2=1ab0被ab围于由4条直线x=a,y=<b所围成的矩形ABCD内，任取如图，在平面直角坐标系椭圆上一点P,若0P二mOAnOB(m、nR),则m2n2.解：设P(x,y)，由OPmOAnOB=(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am_an,bm+bn)ACx=a(mn)斗2、，|y=b(mn)Z=m_na:(m-n)2y=m+nA(mn)22y222二1mnb2好题速递275题若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足： XM、二WM; 对于X的任意子集A、B,当AM且BM时，有AUBM; 对于X的任

25、意子集A、B,当AM且BWM时，有AQBWM;则称M是集合X的一个“M集合类”例如：M二._,b,c,b,c,a,b,c是集合X二a,b,c的一个“M集合类”已知集合X=a,b,c，则所有含b,c的“M集合类”的个数为.解：X二a,b,c的子集有8个，为：.一,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c.M中必含.一、b,c、a,b,c，另5个元素a,b,c,a,b,a,c再分配。注意到a,bnb,c=b,a,cQb,c=c,a,bQa,c=a,故若a,b在M中，则b也在M中，若a,c在M中，则c也在M中，若a,b与a,c在M中，则a也必在M中故对这5个元素在M中的搭配情况进行分类： 5个

26、都不取，即M0=-,b,c,a,b,c,1个； 从a、b、c中各取一个充入M0，有3个； 从a,bb>a,cc>bc中各取一个充入m。，有3个； 从a,bba>a,bbc>a,cca>a,cbc中各取一个充入m。，有4个； 把a,ba,cabc充入M0,有1个；故共有12个好题速递276题设a,b是非零向量，且=1,30=2，贝Ua2b的最大值是解法一：（代数角度运算）令a-b=u,ab鳥，则a壯心2题目简化为u=1,V=2，求的最大值<22u-v22uv144cos二.9,，故4形，即AB=1,4T44a_b=1,a_3b解法二：（几何角度）画出AC=2，

27、问题变为MBC的两边分别为=2的几何图1和2,求中线AM的长度的最大值。2AM<AB，AC=3（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角BMCA形时取得等号），故am-4解法三：（坐标角度）将.ABC画成如图形状，则点B在以A为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM的最大值。本题还可以建系设点做，设A0,0，C2,0，Bcostsinr,2则AM2Dcost9444即AM<|点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。（须凌峰供题）在BA90，以AB为一

28、边向溯C外作等边JABD，若好题速递277题IZBCD=2ACD,AD=，AB：._AC，贝U-J=解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。如图，延长DA与BC交于ET+I则AE=xAByAC，且xy=14IIiAD二mAE二mxABmyAC故-m二设AB=2，AC=a，ZACD=3，1 2则ta心齐，诙3_2tan2r=11_2、3a2："J3-aa22.3a2tan3t1-tan2vv-122 3a1a,3a22.3aaa23a£a'3即a2=4,a=2即.ABC是等腰直角三角形，故.ACE=135,.AEC=15AEAC所以_!=_,sin135&

29、amp;sin15*76-血'故AE=2(J3+1)故小訥=4二口3AE点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定ABC是等腰直角三角形。好题速递278题（须凌峰供题）已知2CA-CBi.CA-2CB=0，贝U解法一：代数方法22由2CACBLCA2CB=0得2CA2CB5CALcB=0故CACB/CA22CB25解法二：几何方法CA+CBCB-CA_=1212r|1CACB2CACB22CACB-2CACB9CA2CB2_5_122-：CACB1=AD5由2CA_CBLCA_2CB=0可以画出如右

30、图的.：CDE的重心，所以连结CG交AB于H，贝UH是AB的中点，即其中两条中线垂直，即AE_BD，且AB为-CDE的中位线。注意到点G恰好是QDETTICACB=2CHCaCb；Ch*AB-"AH又因为.ABG为直角三角形,，所以1故GHAB=AH2又G是.CDE的重心，所以国=-，AB为ACDE的中位线，所以3CFCH窃=3好题速递279题（赖尚毅供题）正方体棱长为1，M,P,Q为棱AAi,CD,BC的中点，则三棱锥M-0PQ的体积Vm_d1p=解法一：等体积转换如图1，BDi/PQ，故SPQD1=S-pqbi,故VmJD1PQ=Vm_b1pq再如图2，取AD的四等分点N，贝yM

31、N/B1Q故Smqb1=Snqb1,DfCruVm_b1pq=Vp_mbq=Vp_nb2=Vbpnqrc解法二：作面的延伸本方法的初衷就是利用两个三棱锥的体积成比例，求出容易求的三棱锥体积，从而利用比例进行转化。注意到三棱锥Di_MPQ与三棱锥DMPQ是共底面MPQ的，所以它们的体积之比就是Di到MPQ的距离与D到MPQ的距离之比（比：H2）。如图，作QP与AG的延长线交于G,连结MG交DDi于HVDiJMPQ:VDJMPQ-H1:H2-D1H：HD易得GD二丄AD，故，故DiH:HD=5:12MA3而VdJMPQ2248所以VdiJMPQ548好题速递280题22已知椭圆C:2-1a2和圆O

32、:x12122y2=a2，椭圆C的左右焦点分别为RE，过a4椭圆上一点P和原点0作直线PO交圆0于M,N两点，若PF1PF6，则PMPN二.解：先处理焦点三角形，设歸=m,'PF2=n，mn=6则mn=2a4c2=m2n2-2mncoF1PF2222解得cosF1PF2=4a4c一12=b故PO=4(PR+PF2)=-(m+nJ12332又PMPN=(R-OP'(R+OP)=R2-OP因为POPF1PF2，a2-21 (2i2mncosF1PF2=42a.-26263所以PM|PN二R2OP2二a24；-a2-2=6好题速递281题(2012杭州一模)设对任意实数x0，y0若不

33、等式x,xy空a(x-2y)恒成立,则实数a的最小值为解法一：a1'yx、xy_,x_x2yx则gt1'*'1+2t2令1t=m,m212m-1112m色-42'6-4m2、64.62故a的最小值为旦Z4解法二：待定系数法11xxy=x(kx)y_x-Y(k丿2kxly二k'2xy2k<1:丄=1:222k已知2P是双曲线-168=1右支上一点，F,F2分别是双曲线的左、右焦点，0为坐标原若左=2,则与题中所给不等式x<a(x2y)相比对，待定系数可得解得"旦，故x矶x2y2 4/f故a的最小值为旦Z4好题速递282题ON(1)2知

34、PN是三MPF2的角平分线解：由PN=卩上%+PM又P<f2n=0,故延长F2N交PM于K，则的角平分线又是高线，故APF2K是等腰三角形，PK=PF2=2因为pf2Ft.=2，故PFi=10，故FiK=12注意到N还是F2K的中点，所以ON是.：F1F2K的中位线，所以ON=2'FK=6好题速递283题an2an一1设32，乳活，bn二解：这种特殊的递推关系，一旦没有思路，先做几项找找规律就是最好的办法。-1,nN*，则015=26算出a1=2&二一,a3=-,川，t1=3,b?=7,怎=15,(l|35找规律发现bj=3=22-1,6=7=23-1,b3=15=24-

35、1,111an2an-1所以严格证明时就能想到办法，去证bn1n-是等比数列an1-2an1bn11bn123点，当萨笃时，离心率e的取值范围是，故bn2n，得bn=2"-1，4015=22015-1点评：一般数列题中不常见的特殊递推关系或这为了应景而求有2015这样大数据出现时,题目往往有规律，例如周期数列或者能观察猜测出数列通项。由特殊到一般，完成题目。好题速递284题已知梯形ABCD,AB=2DC，且Al.AC，双曲线过解：以线段AB的中垂线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CD_y轴设Ap,0,C2，h,EXo，y。二3c门；二，即“护是x，y是关于z的二次方程八“駅

36、o的两个位于b,11上的实数根设双曲线方程为2x-2a牙=1，则由点C,E在双曲线上，得b4a2忙b22c-c2=1=1(2)由(1)得h2b2H-1代入(2)得2=2-1整理得e2因为2_3，故7_e2_10,7_e_1034好题速递285题已知圆心角为120°的扇形AOB半径为1,C为AB中点.点D,E分别在半径OA,OB上若CD2+CE2+DE2=，贝UOD+OE的取值范围是2OD=x,OE=y.利用余弦定理，得2.+1x;2一解：设2DC=xEC=y2+1y;rl222DE=x+y+xy.代入CD2+CE2+DE2=-得2x22y2一xyxy冷=0问题又转化为常见的代数问题：

37、已知x,y0,1,2x2y2-1_6的取值范围。解法一:设xy=t，则xy=2t232|'2211IA=t-4-t2_t_卜0£36厂-t22t2丄1Z03362 2111t+t2t>03 361解法二：由2x2y2xyxy_=o化简得3xy=2(xy)2_(Xy)-丄23;°”4(xy)21故0込2(xy)2-(xy)-24(xy)24解得宁"八于好题速递286题若关于x的方程x2ax1F=0（其中a,b.R）有实数根，则a2b2的最小值x2.x为.解：本题思路是转换主元，将关于x的方程x24，ax-b=0看成关于a,b的直线方x2IX丿程x-aF

38、-.-lx2+=0，于是目标a2b2视为直线上的点a,b到原点的距离平方xx原点到直线的最短距离的平方d2t2-2t21f1当且仅当x"时，a-b2的最小值为4点评：同学们，你们还记得之前做过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几道题目放在一起，发现它们的门道。好题速递287题设数列:a1为等差数列，数列'bn?为等比数列，若內：,bi:b2，且b=afi=1,2,3,则数列in/的公比为.解：bib3=aia3b?a2aia3=4a2,又ai+a3=2a2故a1,a3是方程x2_2a2X亠a；=0或x2_2a2X_a2=0的根，显然第一个方程的解是ai二a2二a3不

39、符合，舍去，故a1,a32a2十2.一2a22又由b|:bj=a1:a2=a1-a2又a2.a1，故a1a20=-a2.0a1a2：0综上可得a1=1a2,a3=1亠a2二詈里|=1卿2$=322a2好题速递288题r1已知二次不等式ax22xb0的解集为x|x=-一，且ab，I.aj为2.2则匕的最小值ab解:显然a>0且.；：二4-4ab二0，1故b，又ab，故a1b，aa2Ja1aa_22好题速递289题已知关于x的方程x22alog2x22i、a2-3=0有唯一解，则实数a的值为.解：这个方程显然直接解方程比较困难，因此越复杂的函数与方程越要从它的结构和性质入手来处理，我们可以发

40、现这个函数fx=x22alog2x2亠a2-3是偶函数，故零点必关于原点对称。又由题意知函数的零点唯一，故必有且仅有f0=0解得a=1或a-3注意有两解的情况要引起重视，往往需要检验。经检验，当a=-3时，fx的零点不唯一，故a=1好题速递#题若函数fx=aX20x14a.O对任意实数t,在闭区间t1,t亠1上总存在两实数为必，使得f(xi)_f(X2牡8成立，则实数a的最小值为.解：式子f(xi)_f(X2)兰8描述的是函数f(x)在区间i-1,t+1上的“身高”而由t的任意性可知，题目只与函数的“形状”有关，与位置无关。与f(x)=ax2+20x+14(a>0)“相似”的标准二次函数

41、是g(x)=ax2又因为函数在长度为2的区间内的“身高”恒大于等于8，故只需“最矮”时大于等于8即可。由二次函数图象，显然可以发现当区间关于对称轴对称时，图象“最矮”故只需g1-g0：8，即a_8好题速递291题已知等差数列春的通项公式为an=2n，公比为q的等比数列?满足g_a.nN*恒成立，且b4心4，则公比q的取值范围是.解：由b4=a4=8得bn=8qn_4从结构分析，等比数列:bn是指数型函数上孤立的点，等差数列是一次型函数上孤立的点已知指数函数图象与一次函数图象至少在n=4时有一个交点如果只有这一个交点，那么指数函数其他点都在一次函数上方；如果指数函数与直线有两个交点，那么n=3或

42、5的点，指数函数图象必须在直线上方故只需满足b3a3，即8q"-6得q.口Xa48q>10X3好题速递292题已知圆O为单位圆，代B为圆上两点，以AB为边作正方形ABCD，贝UOD的取值范围是.解：本题我们使用转化的思想来解决。在圆O上固定一点A，点B在圆O上运动，点D满足AD_AB,且AD=AB。故点B绕点A旋转一后即得点D2故把圆0绕点A旋转訂得到圆O'即为点D的轨迹，如图所显然OD2EOD<OD1，即卩OD二示。好题速递293题在等差数列為'中,a2=5,a6=21,I-Snm円”15任意n.N*恒成立，则实数m的取值范围是.11解：an=4n-3,

43、Sn=1亠54n-3+1)1+18n114nT因为14n11+4n5+8n118n914n1故fn为单调递减数列，从而,1fnmax=f1=5945由条件得估身，解得m町好题速递294题已知函数fx=X3_3axxG0,1，若关于x的不等式fx4的解集为空集，则实数a二.解：问题转化为X3_3ax|兰1对X壬（0,1y恒成立，求实数a的值.解法一：绝对值函数分类讨论可以，略解法二：参变分离法x3-3ax),44x3x3<3a<31X_13令gX二4=X2-一在X“0,1上单调递增，故gXmax=匸，x4x431X令hx4=x2丄=x2丄丄一3(这里也可以用导数去求)x4x8x8x4

44、当且仅当X=1时取得等号，故hXmin-44直线y=3ax被线段AB、CD控制着无法“动弹”，故应该有f1=1-3aJ,aJ点评：本题虽然是三次函数，可能不太适合目前的高考，但将三次函数改为二次函数就是常见的绝对值问题了。处理绝对值问题，最基本的是分段函数藕断丝连分类讨论处理，但如果求的字母系数a为1次，便于参变分离的话，法二的参变分离也是好方法。法三利用了几何图象特征，特别是在注意到a为定值时，让看似运动的图象固定下来，不失为做选择填空小题的捷径。好题速递295题已知数列:an满足an"nd-anNn_3,n.N*，它的前n项和为Sn.若S9=6,S15,则3的值为.解：anan_

45、1-an_2,an1an-anJ，两式相加得an1=-an_2，即an3=_an,an=為所以这个数列是周期数列，Fo=&-So=6-5=1点评：本题其实是周期函数改编而成的周期数列。判断抽象函数是周期函数的口诀是“同号周期”，还可以有下列几个常见的形式。(1) an=an±ankn-k恒成立，则为T=6k的周期数列；(2) an=O,an=an*anknk恒成立，则为T=6k的周期数列；(3) ank=2恒成立，则为T=4k的周期数列；an+1(4) 若anp二ap_n且an.q=aq_npqn,p,q,nN*，则为T=2p-q的周期数列；(即两条对称轴就有无数条对称轴，就是周期函数)(5) 若an-pap_n=m且anqaq_n=mp-qn,p,q,nN*，则为T=2p-q的周期数列以上这些结论不要求记忆，大家可以结合周期函数的角度，自行推导一下，加深印象。当然这类递推关系式，考试时如果想法就