高中数学组卷——数列高考题训练

1、高中数学组卷数列高考题训练一解答题(共15小题)1 .等差数列an中，a3+a4=4,a5+a7=6.(I) 求an的通项公式；(n)设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.2. 已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列，且an=bn+bn+i.(I) 求数列bn的通项公式；(岂+1)(n)令Cn="，求数列Cn的前n项和Tn.(bn+2)n3. 已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.3(I)求an的通项公式；(n)求bn的前n项和.4. 已知an是等比数列，前

2、n项和为Sn(nN)，且丄-丄=2，S6=63.aa2a3(1) 求an的通项公式；(2) 若对任意的nN*，bn是log2an和log2&+1的等差中项，求数列(-1)nb的前2n项和.5. 设数列an的前n项和为S,已知2S=3n+3.(I) 求an的通项公式；(n)若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn.6. 设等差数列an的公差为d，前n项和为S，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1,b2=2，q=d，Se=100.(1) 求数列an，bn的通项公式(2) 当d>1时，记Cn=，求数列Cn的前n项和Tn.7. Sn为数列an的前n项和，已知an&g

3、t;0，an2+2an=4S+3(I)求an的通项公式：(n)设bn=，求数列bn的前n项和.8. 已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn二一，求数列bn的前n项和Tn.9. 已知数列an是首项为正数的等差数列，数列:的前n项和为孤9田2n+l(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn=(an+1)?21，求数列bn的前n项和Tn.10. 已知数列an满足an+2=qan(q为实数，且1)，nN，ai=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列(1) 求q的值和an的通项公式；1Qg&

4、amp;(2) 设bn=宀，nN*，求数列bn的前n项和.a2rrl11. 设数列an的前n项和为s，nN*.已知印=1,a2=，a3=，且当n>2时，2 44Si+2+5Sn=8S+1+Si-1.(1) 求a4的值；(2) 证明:an+1-,an为等比数列；£(3) 求数列an的通项公式.12. 数列an满足：a+2a2+na=4-工-，nN+.2(1) 求a3的值；(2) 求数列an的前n项和Tn；T(3) 令b1=sn，bn=日+()an(n>2)，证明：数列bn的前n项和Sin23n满足Sn<2+2Inn.O2*13. 已知数列an的前n项和Sh,'

5、，nN.(1) 求数列an的通项公式；(2) 证明：对任意的n>1,都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列.14. 数列an满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，nN*.(I)证明：数列是等差数列；n(U)设bn=3n?7"，求数列bn的前n项和Sn.15. 设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1) 若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2) 若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2-咅，求数列-的前n项和Tn.一解答题(共15

6、小题)1.等差数列an中，出+&4=4,a5+a7=6.(I) 求an的通项公式；(n)设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.【解答】解：(I)设等差数列an的公差为d,-as+a4=4,a5+a7=6.2a1+5d=4*,2a1+10d=68二1(n)Vbn=an,bi=b2=b3=1,b4=b5=2,b6=b7=b8=3,b9=bio=4.故数列bn的前10项和Sio=3Xl+2X2+3X3+2X4=24.2. 已知数列an的前n项和Si=3n2+8n,bn是等差数列，且an=bn+bn+1.(I) 求数列bn的通项公式；(玉

7、+1)田")令Cn=、，求数列Cn的前n项和Tn.(bn+2)n【解答】解：(I)Sn=3n2+8n,n2时，an=Si-Sn-1=6n+5,n=1时，a1=S=11,an=6n+5;-an=bn+bn+1,-an-1=bn-1+bn,-anan-1=bn+1bn-1.2d=6,d=3,Iai=bi+b2, 11=2bi+3, b1=4, bn=4+3(n-1)=3n+1;(n)(备+1)曲=工：一(6n+6)n(6n+6).一3：叨Cn=(3n+3)n(3讨3”3n&+l)n3n(2X3)n(Gn+6)：=:：_6(n+1)?2n,3n3n Tn=62?2+3?22+(n+

8、1)?2n， 2Tn=62?22+3?23+n?2n+(n+1)?2n+1,-可得-Tn=62?2+22+23+2n-(n+1)?2n+1=12+6X1''-6(n+1)?2n+11-2=(-6n)?2n+1=-3n?2n+2, Tn=3n?2n+2.3. 已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(I)求an的通项公式；(U)求bn的前n项和.【解答】解：(I)：Onbn+1+bn+1=nbn.当n=1时，a1b2+b2=b1.Tb1=1,b2=, a=2,又an是公差为3的等差数列， a=3n-1,(儿)由(I)知:(3n-

9、1)bn+1+bn+1=nbn.即3bn+1=bn.即数列bn是以1为首项，以I为公比的等比数列，J1-()nbn的前n项和Sn二：=；(1-3n)=；-=-1Jl222'3n_1134已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*),且丄-丄丄,=63.aa2&3(1) 求an的通项公式；(2) 若对任意的nN*,bn是log2an和gari的等差中项，求数列(-1)nb-的前n2n项和.【解答】解：(1)设an的公比为q，则一-=，即1=al引<1引q上Q解得q=2或q=-1.若q=-1，则S6=0,与S6=63矛盾，不符合题意.二q=2,-=63,1-2a1=1.心=2

10、n-1(2)Vbn是log2an和lOg2an+1的等差中项，二bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)二门-書-bn+1bn=1.bn是以I为首项，以1为公差的等差数列.二设(-1)nbn2的前2n项和为Tn，则Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+(-b2nT2+t>2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.5. 设数列an的前n项和为S，已知2S=3n+3.(I)求an的通项公式；(U)若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn.【解答】解：(I)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故

11、印=3,当n>1时，2Sn-1=3n-1+3,此时，2an=2Sn-2Sn-i=3n-3n_1=2X3“，即an=3n_1,(U)因为anbn=log3an,所以bl=,3当n>1时，bn=31-n?log33n-1=(n-1)X31-n所以Ti=bi=，;3当n>1时，Tn=b1+b2+-+bn=+(1X3-1+2X3-2+-+(n-1)X31-n),3所以3Tn=1+(1X30+2X3-1+3X3-2+-+(n-1)X32-n)，(n-1)X两式相减得：2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n-(n-1)X31-n)=三+：；-3 31-3_131-n=136廿3，-1

12、，所以Tn=-，经检验，n=1时也适合,12必當综上可得Tn=-'.124x3"6. 设等差数列an的公差为d，前n项和为5，等比数列bn的公比为q，已知6=a1,b2=2，q=d,Se=100.(1)求数列an,bn的通项公式(2) 当d>1时，记Cn='，求数列Cn的前n项和Tn.%【解答】解：(1)设a1=a，由题意可得-10a+45d=1001ad=2，解得、I-一拒2,"a二9或*.2an=2n-1,bn=21;an='麗时,2=9当i(2n+79),bn=9?詹严;由(1)知an=2n-1,bn=2n1,(2)当d>1时,12

13、n(2n-1)?=3-：,qTLnnITn=1?-+3?+5?+7?+(2n-3)?+(2n-1):丿一丄Tn=2+n:.:f-Tn=62n+37. Sn为数列an的前n项和，已知an>0,an2+2an=4Sn+3(I)求an的通项公式：(U)设bn=，求数列bn的前n项和.anattH【解答】解：(I)由an2+2an=4Sn+3，可知an+i2+2an+i=4Sh+i+3两式相减得an+1-an+2(an+1-an)=4环+1,即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an),-a>0,an+1an=2,2Ta1+2a1=4ai+3,a1=-1

14、(舍)或a1=3,则an是首项为3,公差d=2的等差数列，an的通项公式an=3+2(n-1)=2n+1：(n)van=2n+1,二bn=一=(-一)数列bn的前n项和Tn=(-+-+-)=d-235572n+l2rr+3232n+38. 已知数列an是递增的等比数列，且a计a4=9,a2a3=8.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.【解答】解：(1)t数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.-a+a4=9,a1a4=a2a3=8.解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍)，解得q=2,即数列an的通项公式

15、an=2n-1;(2)菲'=2n-1,1-Qn+1Sn+l1"Si,%+lgl+r)dn=列bn的前n项和tLd.二十二9. 已知数列an是首项为正数的等差数列，数列:的前n项和为“述田2n+l（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（an+1）?21，求数列bn的前n项和Tn.【解答】解：（1）设等差数列an的首项为ai、公差为d,则ai>0,二an=ai+(n-1)d,an+i=ai+nd,令Cn=,"fl则c=1=11、aj+Cii-l)d(aj+nd)d吐+(nT)daj-Hnd,q+c2+31+cn丄丄-+-+_l-又.数列的前n项和为,®

16、;d二戈(2)由(1)知bn=(an+1)?2!：=(2n-1+1)?22n1=n?4n,二Tn=b1+b2+bn=1?41+2?42+n?4n, 4Tn=1?42+2?43+(n-1)?4n+n?4n+1,两式相减，得-3Tn=41+42+-+4n-n?4n+1=？4n+1-丄 T_:.?I1-1:二厂110. 已知数列an满足an+2=qan(q为实数，且1),nNa1=1或-1(舍)，d=2, an=1+2(n-1)=2n1;,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列(1)求q的值和an的通项公式;（2）设bn=J,nN*，求数列bn的前n项和.a2rrl【解答

17、】解：（1）：an+2=qan（q为实数，且q工1）,nN*,印=1,a2=2,a3=q,a5=q2,a4=2q,又a2+a3,a3+a4,d+a5成等差数列,22X3q=2+3q+q,即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1（舍），fn-122，口为奇数-$=2;护，n为偎数*（2）由（1）知bn1=J=,nN,a2rrl2nH2n_1记数列bn的前n项和为Tn,（n-1）?.,+n?,（n-1）?_+n?，则Tn=1+2?l+3?+4?亠+2222Tn=2+2+3?丄+4?+5?+222两式相减，得Tn=3+，-n?222232n_22n_1=3+1n?n?=4-n+2211"1

18、11. 设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知印=1,a2=,a3<,且当n>2时,£ni4S+2+5Sn=8S+什S-1.(1) 求a4的值；(2) 证明：an+1-an为等比数列;(3) 求数列an的通项公式.解得:自4）+5（1+）二8（1+亍【解答】（1）解：当n=2时，40+552=823+,即(2)证明:v4Sn+2+5Sn=8Sn+i+Sh-1(n2),二4S+24Sn+i+Sn-Sn-i=4Sn+i-4Sn(n>2),即4an+2+an=4an+i(n2),-:.I'-，-4an+2+an=4an+i丄.弘垃迈+1二码说广亦洛1二4%+1-

19、归-2盘田=23曲-弘1玄丄色4an+l_2an4arri-l_2an2（2a+l-a）2ard-l2数列-,.J是以.',.=i为首项，公比为的等比数列；WU-£（3）解：由（2）知，.'.是以一为首项，公比为1的等比数列,an+l2n2212rrlan+l-是以（丄厂5为首项,4为公差的等差数列,a_*1：'：1:-,即-.:(扑nj,'，数列an的通项公式是.：厂心丄I2.数列an满足：ai+2a2+na=4-，nN+.(I)(2)(3)求a3的值；求数列an的前n项和Tn；T令bi=ai,bn=H+（i+补+）an（n2）,证明：数列bn的前n

20、项和$n23n满足Sn<2+2Inn.【解答】解：(i)vai+22+n$=4-_,nN+.22+2ai=43=i,i+2a2=4_=2,22-1解得a2=,ai+2a2+nan=4,nN.2两式相减得nan=4-丄-21a1+2a2+(n1)anT=4,nN+.严(4哼宀，n>2,严2n_1则an=,n2,2n_1当n=1时，a1=1也满足,an=,n>1,2n_1则a3J_；24(2)van=,n1,数列an是公比qj,则数列$的前n项和Tn=.(3) bn=+(1+丄+=+)心，n23naiiat+a?1ibi=ai,b2=+(1+，)a2,b3=!(1+)a3,ai+

21、a9+f(,)=ln,+.;-1>0,即ln,>,k-1"+a_1iii二bn=+(1+-+')an,-:Sn=b+b2+bn=(1+】+)a+(1+】+)a2+(1+】+】)an23n23n23n=(1+丄+_+)(a1+a2+-+an)=(1+丄+_+丨)Tn23n23n=(1+丄+-+-)(221n)v2X(1+丄+-+),23n23n设f(x)=lnx+1,x>1,x则f(x)丄寺启>0.即f(乂)在(1,+x)上为增函数，f(1)=0，即f(x)>0,k2,且kN?时，：7丨一1n'亍“壬-Innn-1k-12X（1+1+）=2

22、+2X（+）<2+21nn,23n23n即Sn<2（1+lnn）=2+2lnn.213. 已知数列an的前n项和Sh=，nN*.(1) 求数列an的通项公式；(2) 证明：对任意的n>1,都存在mN*，使得ai,an,am成等比数列.【解答】(1)解：S=；，nN*.2当n>2时，an=SS-1=；，-""=3n2,(*)2当n=1时，a1=s/x丁1=1.因此当n=1时，(*)也成立.数列an的通项公式an=3n-2.(2)证明：对任意的n>1,假设都存在mN*，使得a，an,am成等比数列.则-.，(3n-2)2=1X(3m-2),化为m=3n2-4n+2,n>1,m=3n2-4n+2=：_-亠-1因此对