高中数学(2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用)示范教案新人教A版必修5

1、2.5等比数列的前n项和2.5.1等比数列前n项和公式的推导与应用从容说课师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的|等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得ananAanAan_2=q'再由分式性质，得Sn7二q,整理得Sn二aiFq(q=1)|Sn-a*1-q教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间|教学重点1.等比数列前n项和公式的推导；2. 等比数列前n项和公式的应用|教学难点等比数

2、列前n项和公式的推导|教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1. 了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2. 探索并掌握等比数列前n项和公式；3. 用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；4. 体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想二、过程与方法1. 采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2. 发挥学生的主体作用，作好探究性活动三、情感态度与价值观1. 通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2. 在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3. 通

3、过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言丨师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求I师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算丨生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+26

4、3-F师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下课件展示：1+2+22+263=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和|现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=1+2+22+23+263,式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=1+2+2"+23+263.2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=264-.264-1这个数很大，超过了1.84

5、X1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识|推进新课合作探究师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+qn=?师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察|生观察、独立思考、合作交流、自主探究师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？.2nn+1.牛q+q+q+q|生每一项就成了它

6、后面相邻的一项丨师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+qW那么qS=q+q2+qn+qn+1|要想得到S,只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=1-qn|师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值丨n生如果qz1,则有S二口一I1-q师当然，我们还要考虑一下如果q=1问题是什么样的结果丨生如果q=1，那么S=n|师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a+a3+an=？教师精讲师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法我们将这种方法简

7、称为“错位相减法”.师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法如果记Sn=a计a2+a3+&那么qS=aq+a2q+a3q+anl、要想得到S,只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=ai-anQ.师再次提醒学生注意q的取值|如果qz1,则有Sn=a1_anq|1-q师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：1112n1女口果记Sn=a1+a1q+ag+ag一、那E么qS=aq+a1q2+a1qn-1+a1qn'要想得到Sn,只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=a1-a1qn|如果qz1,则有sn=a1（17）|1-q师上述推导过程，只是形式上的不

8、同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果qz1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比qzi时，我们才能用上述公式师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q=1问题是什么样的结果呢？生独立思考、合作交流生如果q=1,S=na|师完全正确|如果q=1,那么Sn=na.正确吗？怎么解释？生正确.q=1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的

9、任一项的n倍|师对了，这就是认清了问题的本质丨师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：合作探究思路一：根据等比数列的定义，我们有:a2a3a4an一Ma1a2a3a*再由合比定理，则得皂a3乩二1並二q'a1+a2+a3十+an4即SnP=q!Snan从而就有（1-q）Sn=a1-aSi（以下从略）思路二：由Sn=a1+a2+a3+得S=ai+ag+a2q+an-1q=a1+q(a1+a?+an-1)=a1+q(Sn-anj从而得(1-q)Sn=a1-anQn(以下从略j师探究中我们们应该发现，S-Snj=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视

10、在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？生S-Sn-1=an,n>L师n>对的，请同学们今后多多关注这个关系式:综合上面的探究过程，我们得出：na1,q=1,Sn=<a(1_qn)naq=1,aanqq式1例题剖析【例题1】求下列等比数列的前111(1),；2481rai=27,a9=,qvU.243合作探究师生共同分析：8项的和:由(1)所给条件，可得a1由(2)所给条件，需要从1q=2,求n=8时的和，直接用公式即可1中获取求和的条件，才能进一步求243a9=aiq8，所以由条件可得q8=-a9=-，再由qv0,可得q=_a124327-，将所得的值代入3公式就可以了|

11、生写出解答:(1)1-，所以当2“8时,S8*255由a1=27,a?-a9a1124327又由qv0,可得q-13丄(1S8”24327)16401-()【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？于是当n=8时,81师师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知S=30000求n的问题|生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算|解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列an，其中ai=5000,q=1+10%=1.1,S厂于是得到5°°°（1-1.1）=30000'1-1.1整理得1.1n_'.fi,两边取对数，得n丨斛，1Ig1尽用计算器算得n二型6心-0-5（年Llg1.10.041答：大约5年可以使总销售量达到30000台|练习：教材第66页，练习第1、2、3题|课堂小结本节学习了如下内容：1. 等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法“.2. 等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能