高数辅导之专题五：间断点_第1页
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1、专题五基础知识如果f（X）在点Xo处有下列三种情况之一，则点Xo是f（X）的一个间断点：（1）在点Xo处，f（X）没有定义（2）limf（x）不存在XX0（3）虽然limf（x）存在，但limf（x）f（x0）XXoXXo简单地说，不连续的点即为间断点。间断点的分类：（1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等）。（2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。例题1.X1o是函数yarctan的X间断点。解：y1arctan在xX从而Xo是函数y1arctan的间断点，且X11limarctanlimarctanX

2、ox22Xox1arctan的跳跃间断点。Xo处没有定义，故xo是y2.Xo是函数12X1彳的2X1间断点。解：y12X2Xxo处没有定义，故xo是y12X1T的间断点，且2X12X1limxo12X112112xlim1lim1x0x02x112x1011012x1从而x0是函数yT的跳跃间断点。2x12x3.函数f(x)的可去间断点为x(x解：f(x)2xe1在xx(x1)0和1处没有定义，故0和1是f(x)e2x1x(x1)的间断点，且是仅有的两个间断点(因为f(x)是一个初等函数,f(x)在它的定义域内都是连续的)面分别0和1的间断点类型:2xex(x2xx(x1)limx0x12xe

3、1limx1x(x1)limx12xlimx1x1(e21)从而x0是函数f(x)e2x1x(x1)的可去间断点,x1是第二类间断点。4.函数f(x)X|1x|In|x|的可去间断点为解：f(x)X|1x|In|x|在x0和1处没有定义，故0和1是f(x)|1xx|断点，且是仅有的两个间断点。下面分别0和1的间断点类型:Xxm0ln|x|xm0xln|x|In|x|1xim0xT2X叫(x)limXIn|x|limInxx|1x|x11xInxlimx11x1limx111limxIn|x|limInxx1|1x|x1x1limx1Inxx14x(1lim-x11从而x0是函数f(x)x|1x

4、|In|x|的可去间断点,x1是跳跃间断点。5.讨论函数f(x)limnx(x2n2n"x卫的定义域、连续性,1若有间断点，指出其分类。解:f(x)limCnx2nJ1limnx(x2nx2n1)21limxn(1f)limn分三种情形说明:(1)当0x21时,f(x)(10)(2)当x21时,f(x)(3)当1时,f(x)(1台）亦即x,x0,xf(x)x,0,x故定义域为1.讨论函数2.讨论函数3.f(x)x,xf(x)f(x)limnx(12)lim(x2)n11为仅有的两个（跳跃）间断点，在其它点处连续。习题2x(x1)(x2)limarctan(ln1厂戶，则在（的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。xn）的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。)内f(x)是A.C.初等函数处处有极限的

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