举例将D3群的表示D5进化约化-ppt课件

1、 举 例 : 将 D 3 群 的 表 示 D 5 进 化 约 化 12 D3 E 3C2 2C3 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 0 -1 5 3 1 0 直接察看可得: 5 = 1 + 3 , a1 = a3 = 1 , a2 = 0 利用公式(7): ai = C hC i* ( C ) ( C ) / h - (7) a1 = ( 1 1 3 + 3 1 1 + 2 1 0 ) / 6 = ( 3 + 3 ) / 6 = 1 a2 = ( 1 1 3 + 3 (-1) 1 + 2 1 0 ) / 6 = ( 3 3 ) / 6 = 0 a3 = ( 1 2 3 + 3 0 1 +

2、 2 ( -1) 0 ) / 6 = 6 / 6 = 1 约 化 结 果 : D 5 = D 1 + D 3 * 13习题: 试分别利用(和不利用)约化系数公式 (7) 对 D2d 群的六维表示 D6 进展约化, 知该六维表示 D6 的特征标和群 D2d 不可约表示的特征标表如下: D2d E C2 2C2 2d 2iC4 D1 1 1 1 1 1 D2 1 1 -1 -1 1 D3 1 1 1 -1 -1 D4 1 1 -1 1 -1 D5 2 -2 0 0 0_ D6 6 2 2 2 0 *(六) 不可约表示特征标完全性定理 14 一, 关系式 对照(4)式 C hC i * (C) j

3、(C) = ij h - (4) i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn - (8) 其中 i (Cm) 和 i (Cn)为不可约表示特征标表中第 i 个不可约 表示 Cm 和 Cn 类的特征标 ( 证明从略 ) 二, 关系式含义的阐明 (8)式给出的是不可约表示特征标表中列与列之间的关系 三, 特征标矢量空间 i = C C ( hC / h )1/2 i ( C ) - (5) 由(5)式和(4)式可知, 类空间中r 个特征标矢量 i 彼此正交. 且已归一化, 以此为基矢, 构成特征标矢量空间 ( r 维 ). 四, 类特征标矢量 在特征标矢量空间中,

4、 定义类特征标矢量如下: ( Cm ) = i ( h m / h ) 1/2 i ( Cm ) i - (9) 其在基矢第i个特征标矢量 i上的分量为(hm /h)1/2 i (Cm) * 提问: (8) 式中的 hm 可以换成 hn 吗? 为什么? 15 答案: 可以, 由于只需 m = n 时 (8) 式才不等于零 五, 类特征标矢量的正交性 (1) 对应于群中的每一类有一个类特征标矢量, 共C个类, 那么有C个 类特征标矢量. (2) 由(8)所示的不可约表示特征标完全性定理可知, r 维特征标矢 量空间中的 C 个类特特征标矢量 彼此正交. ( * ( Cm ), ( Cn ) )

5、= mn - (10) 因此有 C r - (11) (3) 不可约表示数定理: 由 (6) 和 (11) 式可得 r = C - (12) 即, 群的不可约表示数等于类数, 故, 不可约表示特征标表总是方的. * (七) 与不可约表示特征标相关的公式的汇总和比较 16 不可约表示特征标的正交性定理 C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij 不可约表示特征标的完全性定理 j ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn 特征标矢量 ( 类矢量空间中 ) i = C C ( hC / h )1/2 i ( C ) 特征标矢量彼此正交 (

6、即不可约表示特征标的正交性关系 ) ( i , j ) = ij 类特征标矢量 ( 特征标矢量空间中 ) ( Cm ) = j ( h m / h ) 1/2 i ( Cm ) i 类特标矢量彼此正交 ( 即不可约表示特征标的完全性关系 ) ( * ( Cm ), ( Cn ) ) = mn 不可约表示数定理 r = C * 以D3 群为例讨论不可约表示特征标正交性和完全性定理 17 不可约表示特征标正交性定理 ( 特征标矢量正交 ) C hC / h i * ( C ) j ( C ) = ( i , j ) = ij D3 E 3C2 2C3 1 ( 1 1 1 ) 2 ( 1 1 1 )

7、 正交 3 ( 2 0 -1 ) 不可约表示特征标完全性定理 ( 类特征标矢量正交 ) i hm / h i * ( Cm ) i ( Cn ) = ( * ( Cm ), ( Cn ) ) = mn D3 E 3C2 2C3 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 0 -1 正交 * 18(八) 群论根底中的广义矢量空间 广义矢量空间 基 矢 实空间 x, y, z ( 迪卡尔坐标) 函数空间 函数( 如三角函数, 波函数) 群元空间 群元 R 表示矢量空间 表示矢量 V ( i, , ) = R R ( ni / h )1/2 Dr i ( R ) 类空间 类矢量 C = C0 ( R1

8、+ R2 + R3 + - + Rc ) 特征标矢量空间 特征标矢量 i = C C ( hC / h )1/2 i ( C ) *第一部分 群论根底第三章 群表示特征标实际 (2) (七) 不可约表示特征标表的计算 2 一, 正交法 (1) 将群分类, 并由此可确定类数 C. 再根据不可约表示数定理( r = C ), 可得不可约表示数 r 值. 从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ). (2) 由 (不可约表示维度定理 ( i ni2 = h ) 和不可约表示数定 理 ( r = C ) 可求得一切不可约表示的维度 ni , (3) 如此, 可确定不可约表示特征标表

9、的第一行 ( 都是“ 1 ) 和第一列( ni ) 例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 ) 分类: C1 C2 C3 ( r = C = 3 ) 由 i ni2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2 从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 * D3 E 3C2 2C3 3 D1 1 1 1 D2 1 a b D3 2 c d (3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数 正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm

10、 ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有 1 1 1 + 3 1 a + 2 1 b = 0 ( 第1, 2 行正交 ) 1 + 3 a + 2 b = 0 - (13) 对于一维(么正)表示, 只需一个矩阵元, 其模为1 提问: 其模可以大于或小于 1 吗? 为什么? 答案: 不可, 否那么不能满足群的封锁性 * 尝试法: 无妨取 “+1 或 “-1 ( 其正确性需经过下面的检验 ) 4 由 (13) 式可得 a = -1, b = 12, 利用完全性定理确定二维表示D3 的 c 和 d, 1) 1 1 + 1 a + 2

11、 c = 0 ( 第 1, 2 列正交 ) 1 + a + 2c = 0 , 那么 c = 0 2) 1 1 + 1 b + 2 d = 0 ( 第 1, 3 列正交 ) 1 + b + 2d = 0, 那么 d = -1 因此有 D3 E 3C2 2C3 D1 1 1 1 D2 1 -1 1 D3 2 0 -1 其结果满足正交性和完全性关系的要求, 是正确的. * 5二, 利用商群和母群的同态关系 当群元较多时, 因未知数较多, 直接利用正交法有困难. 有时 可利用商群 / H 和大群 的同态关系 G/ H ( H为不变子群 ) 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同态 ) 商群的不可约表示也

12、是大群的不可约表示 提问: 为什么? 答案: 群元数目添加, 表示的不可约性不会改动 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标 *例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表 D3 群 ( 大群 ) C2 群 ( 商群 E, D, F (不变子群 H ) E A, B, C C2 D3 E D F A B C C2 E C2 D1 1 1 1 D1 1 1 D2 1 1 -1 D2 1 -1 D3 2 a b (1) C2 群的不可约表示特征标表极易确定 提问：如何确定? ) (2) 由C2 群不可约表示D1 和 D2 的特征标可得D3 群不可约表示 D1

13、和 D2 的特征标 ( 留意两群间群元的对应关系 ) (3) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得 a = -1, b = 0 * 7 思索题: 普通说来, 不可约表示是独一确定的吗? 答案: 不是, 可作类似变换, 彼此等价 思索题: 不可约表示的特征标是独一确定的吗? 答案; 是, 矩阵类似变换特征标不变 习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可 约表示特征标表. 知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系 S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 ) S3 : 1C1, 3C2 , 2C3 ( h3 = 6 ) ( 注：要求不用尝试 * 三, 类和法 8 ( 类和法可弥补正交法的缺陷, 但仍需借助正交性定理 ) (1) 类和矢量: 在群元空间中定义如下类和矢量 ( 不归一化 ) Ci = R ( R Ci , Ci 为第 i 类 ) 类和矢量与类矢量的不同在于未经归一化 (2) 类和矢量定理: 1, Ci Cj = k Cijk Ck - (