(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案

1、第七章线性变换1 .判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)2)3)4)在线性空间V中，A在线性空间V中，A在P3中，A(X1,X2,X3)在P3中，AiPzHs)，其中V是一固定的向量;其中V是一固定的向量；22(Xi,X2X3,X3).(2XiX2,X2X3,Xi).5)6)在PX中，af(x)f(x1)；在PX中，Af(x)f(x0),其中X0P是一固定的数;7)8)解把复数域上看作复数域上的线性空间,在P1)当2)当nnr_n中，AX=BXC其中B,CP0时，是;当0时,不是。0时，是;当0时,不是。An是两个固定的矩阵.(y1，y2,y3),有丫2?3y3)y2,x2y2x3

2、y3,x1y1)X3,Xi)(2y1y2,y2y3,y)3)不是.例如当(1,0,0),k2时，kA()(2,0,0),A(k)(4,0,0),A(k)kA()o4)是.因取(Xi,X2,X3),A()=A(x1y1,x2=(2xi2y1X2=(2XiX2,X2=A+A,A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1(2kx1=kA(kx2,kx2kx2,kx2)，kx3,kxi)kx3,kxi)故A是P3上的线性变换。5)是.因任取f(x)Px,g(x)u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x)=Au(x)=u(x再令v(x)kf(x)则A(kf(x)故A为Px上的线性变换。6)是.因任

3、取f(x)Px,g(x)Px,并令1)=f(x1)A(v(x)Px则.A(f(x)g(x)=f(xo)g(xo)A(f(x)g(x1)=Af(x)+A(g(x),v(x1)kf(x1)kA(f(x),A(g(x),A(kf(x)kf(X0)kA(f(x)。7)不是，仞如取a=1,k=I,贝UA(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵X,YPnn,则A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY,A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX,故A是Pnn上的线性变换。2 .在几何空间中，取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换，以B表

4、示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2,并检验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z),则有1)因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z),A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z),Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z),B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z),Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z),C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z),所以A4=B4=C4=E。2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(

5、z,x,y),BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),所以ABBA。3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z),B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z),所以a2b2=b2a2o3)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x),A2B2(a)=(-x,-y,z),所以(AB)2A2B2。.一一一一'一一一一一一一一3 .在Px中，Af(x)f(x),Bf(x)xf(x),证明：AB-BA=E。证任取f(x)Px,则有”',.“：”'(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)

6、=A(xf(x)-B(f(x)=f(x)xf(x)-xf(x)=f(x)所以AB-BA=Eo、一kkk14 .设A,B是线性变换，如果AB-BA=E,证明：AB-BA=kA(k>1)。证采用数学归纳法。当k=2时A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a,结论成立。归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。则当km1时，有Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=(m1)Am。即km1时结论成立.故对一切k1结论成立。5 .证

7、明：可逆变换是双射。证设A是可逆变换，它的逆变换为A1o若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾。其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令A1b=a即可。因此，A是一个双射。6 .设1,2，n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A1,A2,An线性无关。证因A(1,2,n)=(A1,A2,An)=(1,2,n)A,故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,An线性无关，故A可逆的充要条件是A1,A2,An线性无关.。7 .求下列线性变换在所指定基下的矩阵：1)第1题4)中变换A在基1=(1,

8、0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；2)o;1,2是平面上一直角坐标系人是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵；3)在空间Pxn中，设变换A为f(x)f(x1)f(x),1 .一试求A在基i=x(x1)(xI1)-(I=1,2,n-1)下的矩阵A;I!4) 六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsInbx,3=xeaxcosbx,4=xeaxsInbx,1 =1x2eaxcosbx,1=1eaxx2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空2 2间，求微分变换D在基i(i=1,2

9、,6)下的矩阵；1015)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是110,121求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；6)在P3中，A定义如下：A1(5,0,3)A2(0,1,6),A3(5,1,9)其中i(1,0,2)2(0,1,1)，3(3,1,0)求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;7)同上，求A在1,2,3下的矩阵。解1)1=(2,0,1)=21+3,A2=(-1,1,0)=-3=(0,1,0)=2，故在基3下的矩阵为2)取(1,0),2=(0,故A在基2

10、下的矩阵为又因为B1),则1211+22211+2A=21=0,B2=2,所以B在基2下的矩阵为B=,另夕卜，（AB）2=A(B2)=A所以AB在基2下的矩阵为AB=3）因为1,x,x(x1)2!x(x1)x(n(n1)!0,所以A0(x1)(x1)xx(n3)x(x1)x(n2)(n1)!(n1)!2）0101所以A在基0,1，,nl下的矩阵为A=104）因为Di=ai-b2,D2=bi-a2,6，D3=1+a3-b4，D4=2+b3+a4，D5=3+a5-b6,D6=4+b5+a6,所以D在给定基下的矩阵为ab1000ba010000ab10-D=0°00ba010000ab00

11、00ba15）因为（1,2，3）=（1，2,3）11（1，2,3尸（1，2，3）111011=（1，2，3）X,101故A在基1，2,3下的矩阵为1101B=XAX=1011011111100111211016)因为(1,2，3)=(1，2,1033)011210103所以A(1,2，3尸A(1，2,3)011210但已知A(1,2,3)=(1,2,3)0505故A(1,2,3)=(1,2,3)0113695053)011369J3777267772J777二(1，23)520207777772718247771037)因为(1,2,3)=(1,2,3)011210103所以A(1,2,3)=

12、(1,2,3)0112108.在P22中定义线性变换A1(X)=ab%A2(X)=Xcd(X)=求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。解因A1E11=aE11+CE12,AiEi2=aE12+CE22,a00dA1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,故人1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1=又因A2En=aEn+bE12,A2E12=cEn+dE12,aE21+bE22,A2cE21+dE22,00ac故A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A3a2acabbcabadb2bdac2cadcdbccdbdd29.设三维线性

13、空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为故人2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A2=又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22,A3E12=acEn+adE12+c2E21+cdE22，A3E21=abE11+b2E12+adE21+bdE22,A3E22=bcE11+bdE12+cdE21+d2E22,a11a12a13A=a21a22a23，a31a32a331）求A在基3,2,1下的矩阵;2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中且;解1）因A3=a333+a2322=a323a222a121=a313a212a11故A在基3,2,1下的矩阵为B3a33a

14、32a31a23a22a21a13a12a11a3i3一一一a21，2)因A1=a111+(k2)k2)+ka323A(k2)=ka121+a22(k_c,a23,3=a131+(k2)+a33k1,k2,3下的矩阵为B2a11a21ka31ka12a22ka323)因A(2)=(a11a12)(13)+(a21a222=a12(2)+(a22a12)2+a323，3=a13(2)+(a23a13)2+a33a11a123下的矩阵为B3a21a22a1110.设A是线性空间V上的线性变换,如果Aka31a321323ka33a11a12a12)2+(a31a32)3,a12a13a22a12a

15、320,但Ak=0,求证:a23a13°a33,A,Ak1(k>0)线性无关。证设有线性关系11l2AlkAk10,用Ak1作用于上式捐k1n11A=0（因A0对一切nk均成立）,又因为Ak10,所以li0，于是有12AI3A2lkAk10,再用Ak2作用之，得12Ak1=0.再由，可得12=0.同理，继续作用下去，便可得li121k0,即证,A,Ak1(I11.在n维线性空间中，设有线T4010是1证由上题知，,A,A2V的一组基。又因为A0A(A)=0+0A+1:>0)线性无关。、.,一一一n1变换A与向量使彳导A0010,An1线性无关，故,A21A0A2+0A2+

16、0An1，0,求证A在某组下的矩阵,A2,An1为线性空间A(An1)=0+0A+0A2+0An1,故A在这组基下的矩阵为0101。01012 .设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换Ko13 .A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。证设A在基1,2,n下的矩阵为A=(aij),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵，且n)X,则1,2,

17、L,n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X1AX，从而有AX=XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。若取12Xi，n则由AX1=X1A知a。=0（ij），即得dia22A=，ann再取01000010X2=00011 000由AX2=X2A，可得a11a22ann。故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。A在这组基下的矩阵为14 .设1,2,3，4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换10211213125522121）求A在基11224,23234,334,424下的矩阵;2）求A的核与值域；3）在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；4）在A的值域中选一组基，把它扩

18、充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵。解1）由题设，知(1,2,3,4)=(1,2,3,4)故A在基4下的矩阵为B=X1AX=2238343163103402103402)先求A1、广(0).设(0),它在3,4下的坐标为3,4下的坐标为(0,0,0,0,),则X1X2X3X4因rank(A)=2,故由X12x3X4X12x2X33x4可求得基础解系为X1=(2,fl,0),X2=(1,2,0,1)右令1=(1,2,2=(1,2,3,4)X2,则1,2即为A1(0)的一组基,所以1_.,、A(0)=L(1,2)。再求A的值域AV。因为A3=21A43=1rank(A)=2,故A1，A2，A4

19、的秩也为2,且A，A2线性无关，故A1，A2可组成AV的基，从而AV=L(A1,A4)由2)知1,2是A1.(0)的一组基，且知2是V的一组基，又(1,2，a1，a2)=(2，3，故A在基B=59214)由2)知A1=易知A1,A(A1,A2,C=3，4)=(1,A2下的矩阵为232124,V的一组基,4下的矩阵为23212321232005920015 .给定P3的两组基i(1,0,1)i(121)2(2,1,0)2(2,2,1)3(1,1,1)3(2,1,1)定义线性变换A:Ai=i(i=1,2,3),1）写出由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵;2）写出在基1,2,3下的矩阵；3）写出

20、在基1,2,3下的矩阵。3工解1)由(1,2,3)=(1,2,3)X,引入P的一组基e=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),则(1,2,3)=(e1,e2,备)011=(e1,e2,e3)A,所以12(1,2,3)=(el,e2,e3)2211211=(ee2,e3)B=(e,e2,e3)AB,1故由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵为2)因X=A1B=1121101121011323212323252A(1,2,3)=(1,2,3尸(1,2,3)3322I3125i2故A在基1,2,3下的矩阵为-Ao3-23-25-24)因A(1,2,3)=A(故A在基1,2,16

21、.证明12n个排列。证设有线性变换AA(1，2，n)1,2,3)X=(1,3下的矩阵仍为11与i2使=(1，2，n)2,3)X,X.oi1相似，其中(i1,i2,in)是1,2,n的一=(1,n)D1，则A(i1,i2,in尸(i1,i2,in)二(i1,i2,in)D2，于是D1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵，故nn17.如果A可逆，证明AB与BA相似。证因A可逆，故A1存在，从而A1(AB)A=(A1A)BA=BA，所以AB与BA相似。18.如果A与B相似，C与D相似,证明:证由已知，可设B=X1AX,D=Y相似。相似。19.求复数域上线性变换空间阵为：的线性变换的特征值与特征

22、向量.已知A在一组基下的矩1)A=02)A=5)A=6)A=解1)设A在给定基3)A=2下的矩阵为A,7)A=4)A=A的特征多项式为2-5-14=(7)(2),故A的特征值为7,-2。先求属于特征值=7的特征向量。解方程组4x15x14x205x20-，一，1,它的基础解系为，10),其中1=1+2°因此A的属于特征值7的全部特征向量为k1(k再解方程组5x14x2012,它的基础解系为5x14x20,因此A的属于特征值-2的全部特征响向量为k2(k0),其中2=41-52)设A在给定基1,2下的矩阵为A,且当0x1故A的特征值为1=2=0。解方程组0x10a=0时，有A=0,所以

23、EA=00x2010-,它的基础解系为，因此A0x2001的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1=1,2=2,故A以V的任一非零向H1为其特征向量。当a0时,2+a2=(ai)(ai）,故A的特征值为1=ai,当1=ai时，方程组aix1ax1ax2aix20,一，的基础解系为0,故A的属于特征值ai的全部特征向量为ki（k0）,其中1=-i当2=-ai时，方程组aix1ax2ax1aix20,的基础解系为0,故A的属于特征值-ai的全部特征向量为k2（k0),其中2=i1+3）设A在给定基4下的矩阵为A,因为=(2)2),故特征值为1=2=32,42。2时，相应特征方程组的基础解系为111

24、1000,X21,X30001,故A其中X1的属于特征值2的全部特征向量为k11+k22+k33（k1*2*3不全为零）,征向量为4)设A2时，特征方程组的基础解系为4(k在给定基X41一,故A的属于特征值1-2的全部特0),其中4=1-1,2,故A的特征值为1=2,3下的矩阵为A,2=1+£,31-3。4=(2)(1.3)(1、3),当1=2时，方程组3x16x23x30x12x2x30的基础解系为x12x23x3021,故A的属于特征值20的全部特征向量为k1(k0),其中1=21-2。(4.3)x16x23x303当=1+J3时，方程组x1(1J3)x2x30的基础解系为1，故

25、Ax12x2(2.3)x302.3的属于特征值1+，3的全部特征向量为k2(k0),其中2=31-2+(2J3)3。(4,3)x16x23x303当=1-J3时，方程组x1(1V3)x2x30的基础解系为1，故Ax12x2(23)x302.3的属于特征值1J3的全部特征向量为k3(k0),其中3=31-2+(213)3。5）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A,因01EA=010=(1)2(1),10故A的特征值为11,31。231,方程组13的基础解系为x1x30100,1，故A的属于特征值110的全部特征向量为k11k22仕1*2不全为零），其中1当31时，方程组x1x302x20的基础解系

26、为x1x3010,故A的属于特征值-1的全部特征向量为k3（k0）,其中36）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A,因21EA=23(214)=(V14i)(V14i),13故A的特征值为10,2v'T4i,3*4i。10时，方程组2x2x302x13x30的基础解系为x13x2031,故A的属于特征值0的全2部特征向量为k1(k0),其中131223当2v14i时，该特征方程组的基础解系为6.14i23.14i10，故A的属于特征值J14i(2314i)2103的全部特征向量为k2(k0),其中2(6V14i)1V14i时，该特征方程组的基础解系为6.14i2314i10,故A的属于特

27、征值V14i的全部特征向量为k3*0),其中3(614i)1(23,14i)21037)设A在给定基1,2,3下的矩阵为A,因00=(1)2(2),2故A的特征值为121,32。31,该特征方程组的基础解系为6,故A的属于特征值1的全部特征20向量为k1(k0),其中131622032,该特征方程组的基础解系为0,故A的属于特征值-2的全部特征向量为k2(k0),其中23?在可以化成对角形的情况下，写20.在上题中，哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形出相应的基变换的过度矩阵T,并验算T1ATo解已知线形变换A在某一组基下为对角形的充要条件是有题中1）6）可以化成对角形，而7）不能.下面分

28、别求过渡矩阵n个线形无关的特征向量，故上To1）因为（1,2)2）,所以过渡矩阵T=5T1AT=912)当aT1AT=3）因为（T1AT=4）因为（0时，已是对角型0时,有（1,2)2)T=_2_22,过渡矩阵T=12124)=(3)=(5)因为(1,2,3)=(aiai3,4）3)1，、一,过渡矩阵1T=T=1c102020011011T1AT0100100101n1100101-0-22614i2314i3614i6）因为（1,2,3）（1,2,3）123J国2101036.14i即过渡矩阵为T=12314i2106,14i23,14i10000且T1AT0.14i000.14i21.在P

29、xn(n>1)中，求微分变换D的特征多项式,并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。x2解取Pxn的一组基1,x,2010.0001.0D=,000.1000.0xn1,则D在此基下的矩阵为(n1)!10.001.0从而ED000.1000.故D的特征值是0(n重)，且D的属于特征值0的特征向量只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D在任一组基下的矩阵都不可能是对角形。14222.设A=034,求Ak解：因为EA0034(1)(5)(5),43故A的特征值为11,25,5,且A的属于特征值1的一个特征向量为X2(2,1,2),A的属于特征值-5的一X

30、i(1,0,0),A的属于特征值5的一个特征向量为个特征向量为X3(1,2,1)。100于是只要记T=(X1,X2,X3)050B,005100且Bk05k0k00(5)k于是AkTBkT1121100k01205k0k02100(5)015251251523.设1,2125k11(1)k1=05k114(1)k025k11(1)k15k14(1)k125k11(1)k15K14(1)k3,4是四维线性空间V的一个基，线性变换A在这组基下的矩阵为52433132。195。32221031171)求A的基112234,221323,33，44下的矩阵;2)求A的特征值与特征向量;3)求一可逆矩阵

31、T,使T1AT成对角形。解1）由已知得（1,2,3,4)故求得A在基2,3,4下的矩阵为B=X1AX2）A的特征多项式为f(所以A的特征值为的属于特征值的属于特征值2(2)(0,1。0的全部特征向量为k11入的全部特征向量为k321k223,其中0()X(1,2,3,4)X,01)，,其中k1,k2不全为零，且k30，341223+64°A的属于特征值1的全部特征向量为k44淇中k40,且4312324°3）因为2131(1,2,3,4)(1,2,3,4),一10012143031210所求可逆阵为T=，且T1AT10110162421624.1)设2是线性变换A的两个不同

32、特征值,1,2是分别属于为对角矩阵。的特征向量，证明:2不是A的特征向量;2)证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换。证1)由题设知A(1)11,A(2)若i2是A的特征向量，则存在0使A(12)=(12)=12,A(12)=1122=12,即(1)1(2)20。2,这是不可能的。再由1,2的线性无关性，知120,即1故12不是A的特征向量。2)设V的一组基为1,2,，n,则它也是A的n个线性无关的特征向量，故存在特征彳1,2,，n,使A(i)ii(i1,2,.,n)。由1)即知12nk。由已知，又有A()k(V),即证A是数乘变换。25.设V是复

33、数域上的n维线性空间，A,B是V上的线性变换，且AB=BA.,证明：1)如过°是A的一个特征值，那么V0是B的不变子空间;2)A,B至少有一个公共的特征向量。证1)设V0,则A0,于是由题设知A(B)=B(A)=B(0)0(B),故BV0,即证V0是B的不变子空间。3)由1)知V0是B的不变子空间，若记B|V0=B0,则B0也是复数域上线性空间V0的一个线性变换，它必有特征值0,使BqB=0B(BV0MB0),显然也有A(B)=0B,故B即为A与B的公共特征向量。26.设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换A在基1,2,.,n下的矩阵是一若当块。证明:1)中包含1的A-子空间只有V

34、自身;2)中任一非零A-子空间都包含3）证1）由题设，知不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。A(n)=(1，2,.n)n1设W为A-子空间，且1W,则AW,进而有A11WA2W，A22WA3W，故W=Ln1W,1,2,.,n=Vo2）设W为任一非零的A-子空间，对任一非零向量W,有111A2A2nAn同理可得1(12132)+232(n2W,，1n从而nW,即证V中任一非零的A-子空间W都包含no3）设W1,W2是任意两个非平凡的A-子空间，则由2）知nW1且nW2,是nW1W2，故V不能分解成两个非平凡的A-子空间的直和。27.求下列矩阵的最小多项式:0011)0101003113311

35、3解1）设A001010,因为A2-E=0,所以21是A的零化多项式，但1002A-E0,A+E0,故A的最小多项式为mA（）1。4.242）因为f（）EA4,所以A的最小多项式为，2,3，4之一,代入计算可得A的最小多项式为mA(二补充题参考解答1 .设A,B是线性变换，A2=A,B2=B证明：1) 如果(A+B)2=A+B那么AB=0;2) 如果，AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB.证1)因为A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B由(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,故A+B=A+AB+BA+B,即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA=A2

36、B-B2A=A2B+ABA=A(AB+BA)=A0=0所以AB=0.2)因为A2=A,B2=B,AB=BA所以(A+B-AB)2=(A+B-AB)(A+B-AB)=A2+BA-ABA+AB+B2-AB2-A2B-BAB+ABAB=A+AB-AAB+AB+B-AB-AB-ABB+AABB=A+AB-AB+AB+B-AB-AB-AB+AB=A+B-AB。2 .设V是数域P上维线性空间，证明：由V的全体变换组成的线性空间是n2维的。证因Eii,LEin,E21,L,E2n,L,Em,LEnn是Pnn的一组基，pnn是n2维的。V的全体线性变换与pnn同构，故V的全体线性变换组成的线性空间是n2维的。

37、3 .设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：21)在Px中有一次数n的多项式f(x)，使f(A)0;2)如果f(A)0,g(A)0,那么d(A)0,这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.；3) A可逆的充分必要条件是：有一常数项不为零的多项式“*)使£(勺0。证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n2维的，所以n2+1个线一2一2(性变换A,A,、，A,E,一定线性相关，即存在一组不全为零的数an2,an21，L,ai,a0使n2n21.an2a+an21A+LaA+a0E=0,n2n21令f(x)an2xan21xLax%,22且ai(i0,1

38、,2,L,n2)不全为零，(f(x)n2。这就是说，在Px中存在一次数n2的多项式f(x)>f(A)0。即证。2)由题设知d(x)u(x)f(x)v(x)g(x)因为f(A)0,g(A)0,所以d(A)u(A)f(A)v(A)g(A)=0。23)必要性.由1)知，在Px中存在一次数n的多项式f(x)，使f(A)0。即22a”2A+a”21A+La1A+a0E=0)22右a00,则f(x)an2xan21xLa1xa0即为所求。若a00,因a(i0,1,2,n2)不全为零，令aj是不为零的系数中下标最小的那一个，则22an2a+an21a+La1A+a0E=0，因A可逆，故存在A1,(A1

39、)j(Aj)1也存在，用(Aj)1右乘等式两边n2jn2i1付a”2A+a”21A+aje=02n2j1令f(x)an2x+an21x+aj0),即f(x)为所求。充分性.设有一常数项不为零的多项式n2n21f(X)an2xan21x即amAmam1Am1所以amAmam1Ami千尾1Am1寸(amAa。又A(amAm1a。故A可逆。Laxa。(a。aAa°E0,aAa°E,a1E)AE,aE)E,0)使f(A)0,4.设A是线性空间V上的可逆线性变换。1)证明：A的特征值一定不为0;112)证明：如果是的A特征值，那么一是A1的特征值。证1)设可逆线性变换A对应的矢I阵是

40、A,则矩阵A可逆,A的特征多项式f()为f()n(七a22ann)n1(1)nA,A可逆，故A0。又因为A的特征值是的全部根，其积为A0,故A的特征值一定不为0。2)设是的A特征值，那么存在非零向量，使得11”A，用A1作用之，得(A1),于是A1一,即一是A1的特征值。5 .设A是线性空间V上的线性变换，证明；A的行列式为零的充要条件是A以零作为一个特征值。证:设线性变换A矩阵为A,则A的特征值之积为A。必要性，设A0,则A的特征值至少有一个为零，即一另为一个特征值。充分性，设A有一个特征值。,那么A0。6 .设A是一个n阶下三角矩阵，证明：1)如果ahajj(ij，i，j1,2n),那么A

41、相似于一对角矩阵；2)如果a11a22o，而至少有一力.annai0j0O(iojo），那么A不与对角矩阵相似。证：1）因为A的多项式特征是f()=EA(a11)(a22)(ann),又因aiiajj(ij,i,j1,2n),故A似于对角矩阵。故A有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化,2）假定A=a”1与对角矩阵B=相似,aioja*则它们有相同的特征值n,因为A的特征多项式f()=nan所以1a11由于B=a11=a11E是数量矩阵，它只能与自身相似，故a不可能与a11对角矩阵相似。7.证明：对任n复系数矩阵1A,存在可逆矩阵T,使TAT证:存在一组基S1,sr,使与矩阵A相应的线性变换A在该基下的矩阵成若尔当标准形J,111112若过度矩阵为P,则P1APJJiJ2si,则由新基到旧基重排基向量的次序,使之成为一