专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法

1、专题训练（八）解直角三角形常见的七种方法?方法一已知两边解直角三角形1 .在4ABC中，ZC=90,a,b,c分别为/A,ZB,/C的对边，根据下面的条件解直角三角形.(1)b=/6,c=2叵(2)a=4,b=42 .如图8-ZT-1,已知AD为BAC的角平分线，且AD=2,AC=,Z0=90,求BC的长及AB的长.图8ZT13 .在4ABC中，ZC=90,a,b,c分别为/A,ZB,/C的对边，根据下列条件解直角三角形.(1) ZA=60,a=6;(2) ZA=30,b=103.4 .已知：如图8-ZT-2,在RtABC中，Z0=90,AC=-3,D为BC边上一点，且BD=2AD,/ADC=

2、60,求ABC的周长.（结果保留根号）图8ZT2?方法三已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形35 .2018自贡改编如图8-ZT-3,在4ABC中，CHLAB于点H,BC=12,tanA=4,/B=30;求AC和AB的长.图8ZT3，一46 .如图8-ZT-4,在4ABC中，/ACB=90,sinA=g,BC=8,D是AB的中点,过点B作直线CD的垂线，垂足为E.求线段CD的长；(2)求cos/DBE的值.7 .如图8-ZT-5,在4ABC中，ZA=30,ZB=45,AC=25.求AB的长.图8ZT58 .如图8-ZT-6,在4ABC中，CD是边AB上的中线，/B是锐角，且sinB=*，t

3、anA=2，AC=3V5.求/B的度数及AB的长;(2)求tan/CDB的值.图8ZT6?方法五“参数法”解直角三角形9 .2018马鞍山一模如图8-ZT-7,在4ABD中，ACXBD于点C,照=3,E是ABCD2的中点，tanD=2,CE=1,求sin/ECB的值和AD的长.10 .2018当涂县六校联考如图8-ZT-8,在四边形ABCD中，AC,BD是它的对角线，相交于点O,ZABC=ZADC=90,/BCD是锐角，BD=BC.求证：sinZBCD=BDACB图8ZT8?方法七等比代换法”解直角三角形11 .如图8ZT9所示，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点1B,A

4、,与反比例函数的图象父于点C,D,CEx轴于点E,tan/ABO=2，OB=4,OE=2.求该反比例函数的表达式;(2)求直线AB对应的函数表达式.图8-ZT-9教师详解详析1.解：(1)在RtABC中，由勾股定理,得a=*2_b2=86=串.tanB=b=J3,，/B=60,a.2A=90-ZB=30.(2) .在ABC中，Z0=90,a=4,b=4f3,c=0a2+b2=8.a41一sinA=_=_=_,，/A=30,c82./B=90-ZA=60.2 .解：1.AD=2,AC=V3,ZC=90,，cos/CAD=器=坐，/CAD=30。AD为BAC的角平分线， ./BAC=2/CAD=6

5、0, .BC=ACtan/BAC=V3xtan60=/又我=3.ABC是直角三角形， .AB=qBC2+AC2=,9+3=2事.3 .解：(1)/B=90-ZA=9060=30.a66八slnA=,.c=-=r=45.c，sln60炎y2slnB=b,c一一1b=4j3Xsin30=4y3X-=2艰.(2)/B=90-ZA=9030=60aa.tanA=-,ba=10串xtan30=10y/3x*=10.-sinA=?-c=s4.解：在RtAADC中,/ACsin/ADC=T77,ADAD=ACsinZADCsin60=2,BD=2AD=4.tanZADC=ACDCDC=ACtanZADCta

6、n60=1,BC=BD+DC=5.在RtAABC中，AB=4aC2+BC2=2中,.ABC的周长=AB+BC+AC=25+5+6.5.解：在RtBCH中，BC=12,/B=30,8=浪=6,BH=、BC2-CH2=673.在RtAACH中，tanA=3=CH4AH.AH=8,AC=,AH2+CH2=10,.AB=AH+BH=8+6卡.6.解：(1)在ABC中，./ACB=90,.BC4一.SlnA=7H=.又.BC=8,AB=10.AB51D是AB的中点，CD=2AB=5.(2)在RtABC中，AB=10,BC=8,AC=AB2BC2=6.D是AB的中点，BD=5,SbBDC=及ADC,24T

7、.SaBDC=1SABC,即1CDBE=1JaCBC,氏:6822222X524,BE524在RtBDE中，cos/DBE=-=BD5257 .解：过点C作CDLAB于点D, ./ADC=ZBDC=90. ./B=45, ./BCD=ZB=45,.CD=BD. ./A=30,AC=2V3, .CD=#，BD=CD=3.由勾股定理，得ad=Mac2cd2=3,.AB=AD+BD=3+答：AB的长是3+事.8 .解：（1）如图，过点C作CEXAB于点E.设CE=x.CE1在RtACE中，.tanA=-=-,AE2AE=2x,AC=x2+(2x)2=5x,5x=3515,解得x=3,CE=3,AE=

8、6.在RtBCE中，.sinB=：22,./B=45,.BCE为等腰直角三角形，.BE=CE=3,.-.AB=AE+BE=9.(2);CD是边AB上的中线，1-BD=AB=4.5,DE=BDBE=4.5-3=1.5,.tan/CDE=de=15=2，即tan/CDB的值为2.9 .解：,.ACXBD, ./ACB=ZACD=90.E是AB的中点，CE=1,BE=CE=1,AB=2CE=2,B=ZECB.BC3CD=2, 设BC=3x,贝UCD=2x.在RtAACD中，tanD=2,ACCD=2,AC=4x.在RtAACB中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=5x,sin/ECB=sinB=空

9、=4AB5.,2由AB=2,得x=-,5 .AD=aC2+CD2=7(4x)2+(2x)2=2亚x=2正*：4-55510 .证明：如图，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E,延长CB与DA交于点F. .ZABC=ZADC=90, .ZADC+ZABC=180,ZFBA=ZFDC, ./BCD+ZBAD=180,/EAB=ZBCD./F=ZF,ZFBA=ZFDC,FBAAFDCFB_FAFD=FC5,FBFDFA=FC-F=ZF, AFBDAFAC,/.ZFDB=ZBCA. /BED=ZABC=90, .BEDAABC,BDBE/=sinZEAB=sinZBCD,AOAo即sinZBCD=-AC11.解：(1)/OB=4,OE=2, EB=OB+OE=6.tanZABOAO1CE-.OB-2-EB 1-CE=3,AO=2, A(0,2),B(4,0),C(-2,3).设