专题三角形的五心汇总

1、专题：三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍，其难度较大，望量力而行三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍.三角形的五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心.1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外.2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）.三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径.内切

2、圆半径r的计算：1S设二角形面积为S,并记p=2（a+t+c）,则r=p.1特别的，在直角二角形中，有r=2（a+b-c）.3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1：2.4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心.斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个垂心组5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心（旁切圆圆心）.每个三角形都有三个旁切圆.A类例题例1证明重心定理。

3、1证法1如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G,连接EF,显然EF=2BC,由三角形相似可得GB=2GE,GC=2GF.又设AD、BE交于G',同理可证G'B=2G'E,G'A=2G'D,即G、G都是BE上从B至JE的三分之二处的点,故G'、G重合.即三条中线AD、BE、CF相交于一点G.因为EF=1BC,HI=1BC,证法2设BE、CF交于G,BG、CG中点为H、I.连EF、FH、HI、IE,所以EFHI为平行四边形.所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF.同证法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共点.即定理证毕.链接

4、证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O,则有OA=OB=OC,故O也在AC的中垂线上,因为O到三顶点的距离相等，故点O是ABC外接圆的圆心.因而称为外心.内心定理的证明：如图，设/A、/C的平分线相交于I、过I作IDBC,IEXAC,IFXAB,则有IE=IF=ID.因此I也在/C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点.上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.例2证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。证明如图，AD、BE、CF为AABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成A'B'C',显然AD为

5、B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证.链接（1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZ-BXCY=1.ZBXCYA（2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（方3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段

6、的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）：1的两条线段，这点叫n边形的重心.请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。情景再现1 .设G为AABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和GBC的面积相等.2 .三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.B类例题例3过等1ABC底边BC上一点P引PM/CA交AB于M;弓IPN/BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在ABC外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析分析点M和N的性质，即能得到解题思路。证明由已

7、知可得MP'=MP=MB,NP'=NP=NC,故点M是P'BP的外心，点N是APPC的外心.于是有ZBP'P=1ZBMP/BAC,22ZPP'C=1-ZPNC/BAC.22:./BP'C=ZBP'P+/P'PC=ZBAC.从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在ABC外接圆上.链接本题可以引出更多结论，例如P'P平分/BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等.例4AD,BE,CF是AABC的三条中线，P是任意一点证明：在APAD,APBE,APCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

8、（第26届莫斯科数学奥林匹克）证明设G为AABC重心，直线PG与AB,BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线，垂足为A',C',D',E',F'.易证AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC',.EE'=DD+FF'.有S1PGE=&PGD+SaPGF.两边各扩大3倍，有Sapbe=Spad+Sapcf.H3,H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置（1992,全国高中联赛）证明连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为R.由AA2A3A4知A2Hl

9、sinA2A3Hl=2RA2Hl=2Rcos/A3A2A4；由AAiA3A4得AiH2=2Rcos/A3A1A4.但/A3A2A4=/A3A1A4,故A2Hi=AiH2.易证A2H1/A1A2,于是，A2H1=A1H2,故得H1H2=A2A1.设HiAi与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，Hi,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点，Q点就不难确定了.

10、例5设A1A2A3A4为。内接四边形，Hi,H2,H3,H4依次为AA2A3A4,AA3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心.求证：Hi,%,链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的外心到三顶点的距离相等；(3)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(8)三角

11、形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再现3 .在AABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以AAPS,ABQP,ACSQ的外心为顶点的三角形与ABC相似.(B-波拉索洛夫中学数学奥林匹克).其逆亦真.4 .如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似C类例题H为ABC的垂心，D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆心的。H交直线EF,FD,DE于A1,Bi,B2,Ci,C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题)分析只须证明AA1=BB1=CC1BPW.证明设BC=a,C

12、A=b,AB=c,ABC外接圆半径为R,OH的半径为r.连HAi,AH交EF于M.AA,2=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2),又AM2-HM2=(2aHi)2-(AH-2AHi)2AH-AH1-AH2=AH2-AB-AH2=cosA-bc-AH1CC1=2(a2+b2+c2)-4R2+r2.,而AHsinABH=2RAH2=4R2cos2A,a=2RsinAa2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a222AA12=r2+ca-2bc-bc-(4R2-a2)1=2(a2+b2+c2)-4R2+r221同理，BBi=(a2+b2+c2)-4R2

13、+r2,2故有AA1=BB1=CC1.例7已知。O内接ABC,0Q切AB,AC于E,F且与0O内切.试证：EF中点P是AABC之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)证明如图，显然EF中点P、圆心Q,.QK-AQ=MQ-QN,MQQNQK=AQ(2Rr)r.=sinr/sinBC中点K都在/BAC平分线上.易知(2Rr).rAQ=由RtAepq知PQ=sinr.PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R.PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是AABC这内心.说明在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.例8在直角三角形中，求证：

14、r+ra+rb+%=2p.式中r,Q,必分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径，p表示半周.州大学中学数学竞赛习题)证明设RtABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).11-p(p-c)=2(a+b+c)-2(a+b-c)1=4(a+b)2-c21.=2a"11(p-a)(p-b)=,(-a+b+c)-2(a-b+c)1 1=41c2-(a-b)2=2ab. p(p-c)=(p-a)(p-b).(T观察图形，可得%=AF-AC=p-b,rb=BG-BCpa,rc=CK=p.而r=2(a+b-c)=p-c. -r+ra+rb+rc=(p-c)+

15、(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例9M是AABC边AB上的任意一点.j,上，r分别是AAMC,BMC,ABC内切圆的半径，qnq2,q分别是上述三角形在/ACB内r1上r部的外切圆半径.证明-=.(IMO-12)qq2q证明对任意4A'B'C',由正弦定理可知5，.A'od=oa'-sin2.B'sin2=AB'-JsinA'O'B'.A'sin2=AB'O'E=A'B'ODO'E亦即有qi,A'.B'sinsin

16、2q2sinA'B'2A'B'coscos22sinA'B'2A'tg万tgA=tg-tgB'CMAtgCNBBtga例10锐角ABC中，O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d«,垂心到三边距离和为d.+A+Btg77tgt=22求证：1-d垂+2,d外=3.d重.证明设ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B,C.易知d外=OOi+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,.2d外=2(cosA+cosB+cosC).(T.AHi=sinB-AB=sinB-(2sinC)=

17、2sinB-sinC,同样可得BH2-CH3.3d重=AABC三条高的和=2-(sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB)BH=2,sinBCH.HHi=cosC-BH=2-cosB-cosC.同样可得HH2,HH3.d垂=HHi+HH2+HH3=2(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)欲证结论，观察、，须证(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB.即可.说明本题用了三角法情景再现5 .设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC,CD=

18、DE,EF=FA.试证：AD,BE,CF三条对角线交于一点；AB+BC+CD+DE+EF+FA上AK+BE+CF.（1991,国家教委数学试验班招生试题）6 .4ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点，E是4ACD的重心.证明OE，CD.（加拿大数学奥林匹克训练题）7 .AABC中/C=30°,O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI，DE,OI=DE.（1988,中国数学奥林匹克集训题）习题171 .在ABC中，/A是钝角，H是垂心，且AH=BC,则cos/BHC=（）A.22B.2J2C.D.22 .如果一个三角形的面积与周长都被一条

19、直线平分，则此直线一定通过三角形的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心（1996年全国初中联赛）3 .（1997年安徽省初中数学竞赛）若0。<<90。，那么，以sin,cos,tancot为三边的三角形有内切圆、外接圆的半径之和是（）Asn4c竺b.空舞C.2sincosD.22sincos4 .ABC中，/A=45,BC=a,高BE、CF交于点H,则AH=（）A.2aB.22aC.aD.种5,下面三个命题中：设H为ABC的高AD上一点，/BHC+/BAC=180,贝U点H是AABC的垂心;设G为AABC的中线AD上一点，且Saagb=S；abgc,则点G是ABC的重心；设E是AB

20、C的外角/BAK的角平分线与ABC的外接圆OO的交点,ED是OO的直径,I在线段AD上，且DI=DB,贝II是ABC的内心.正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个6. 设AABC的/A=60,求证：ABC的外心O、内心I、垂心H及点B、C五点在同一个圆上.7. 已知P是口ABCD内的一点，。为AC与BD的交点，M、N分别为PB、PC中点，Q为AN与DM的交点.求证：P、Q、O三点在一条直线上；PQ=2OQ.8. I为ABC之内心，射线AI,BI,CI交ABC外接圆于A',B',C'.则AA'+BB'+CC'>ABC周长.（19

21、82,澳大利亚数学奥林匹克）9. 丁的三边分别等于T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（1989,捷克数学奥林匹克）10. I为ABC的内心.取AIBC,AICA,IAB的外心O1,O2,O3.求证：0102ch与ABC有公共的外心.（1988,美国数学奥林匹克）11. AD为AABC内角平分线.取AABC,ABD,ADC的外心0,。1,。2.则OO1O2是等腰三角形.12. AABC中/C<90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是4CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.（IM0-7）本节“情景再现”解答1 .证明如图，连GA,因

22、为M、N分别为AB、CA的中点，所以AAMG的面积=AGBM的面积，GAN的面积=AGNC的面积，即四边形GMAN和AGBC的面积相等.2 .证明如图，O为AABC的外心，H为垂心，连CO交AABC外接圆于D,连DA、DB,贝IDAXAC,BDXBC,又AHBC,BHXAC,所以DA/BH,BD/AH,从而四边形DAHB为平行四边形。又显然DB=2OM,所以AH=2OM.同理可证BH=2ON,CH=2OK.证毕.3 .提示：设Oi,O2,O3是AAPS,ABQP,CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3s后再由外心性质可知/POiS=2/A,/QO2A2/B,/SO3Q=2/C.PO1S+/Q

23、O2P+/SO3Q=360°.从而又知/OiPO2+ZO2QO3+ZO3SOi=360°将O2QO3绕着。3点旋转到KSO3,易判断KSO卢O2PO1,1.同时可得OiO2O3AOiKO3.zO2OiO3=/KOiO3=22O201K1_1_、1,=2(/O2O1S+ZSOiK)=2(/O2O1S+/POQ2)=2ZPO1S=ZA;同理有/O1O2O3=/B.故4。10203sAABC.4 .提示：将ABC简记为,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为'.G为重心，连DE至H,使EH=DE,连HC,HF,则'就是AHCF.(1)a2,b2,c2成等差数列

24、“'.若ABC为正三角形，易证'.不妨设a>b>c,有1c222CF=v2a2bc,2将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得BE=v2c22a2b2,ad=1.2b22c222,.3.33CF=a,BE=b,AD=c.222故有，.CF:BE:AD=31b：c=a:b:c.222(2)a2,b2,c2成等差数列.当中a上b上c时,CF2=()2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有一SCF23=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+d=2b2.a45.证明连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是AACE的三条内角平分线,再

25、由ARDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高，I是它的垂心，利用ErdOB+DI+FI学2(IP+IQ+IS).不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.BI+DI+FI上IA+IE+IC.aAB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.不等式有:a>(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心6 .提示：设AM为高亦为中线，取AC中点F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G,G必为ABC重心.连GE,MF,MF交DC于K.易证：111DG:GK

26、=DC:()DC=2:1.323.DG:GK=DE:EFGE/MF.-.OD±AB,MF/AB,.-.OD±MFOD，GE.但OG±DEG又是ODE之垂心.易证OE±CD.+2(/BAC-60°)=12BAC=ZBAI=ZBEI.7 .提示：辅助线如图所示，作/DAO平分线交BC于K.易证AIDAAIBAEIB,/AID=/AIB=ZEIB.利用内心张角公式，有，一。1一。ZAIB=90巧/。=105,。,一。1一一。1_./DIE=360-105X3=45.；/AKB=30+夕/DAO=30二(BAC-/BAO)=30.AK/IE.由等腰AO

27、D可知DO±AK,，DO±IE,即DF是DIE的一条高.同理EO是ADIE之垂心，OI，DE.由/DIE=/IDO,易知OI=DE.习题17解答1 .B;2.A;3.A;4.C;5.选B,只有（3）是对的；6 .略；7.略；8.略；9.略；10.略；11.略；12.H的轨迹是一条线段.补充：第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等1ABC底边BC上一点P引PM/CA交AB于M;引PN/BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P

28、9;点在ABC外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：由已知可得MP'=MP=MB,NP'=NP=NC,故点M是AP'BP的外心，点N是P'PC的外b.有/1/1,c/BPP=ZBMP=ZBAC,PPP'C=1ZPNC=1/BAC.22./BP'C=ZBP'P+/P'PC=ZBAC.从而，P'点与A,B,C共圆、即P'在ABC外接圆上.由于P'P平分/BP'C,显然还有P'B:P'C=BP:PC.例2.在AABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S,证明以APS,ABQP,C

29、SQ的外心为顶点的三角形与ABC相似.（B-波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：设O1,O2,O3MAAPS,ABQP,CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3s后再由外心性质可知POiS=2/A,/QO2P=2/B,SO3Q=2/C.，/PO1S+/QO2P+/SO3Q=360°,从而又知/O1PO2+/O2QO3+/O3SOi=360°将AO2QO3绕着O3点旋转到KSO3,易判断KSOiAO2POi,同时可得O1O2O3仁O1KO3.1-一/O2O1O3-/KO1O3/O2O1K21=(ZO2O1S+ZSO1K)21，、=(ZO2O1S+ZPO1O2)21一=/PO1S

30、=/A;2同理有/O1O2O3=/B.故4。10203sAABC.、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心,掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题例3.AD,BE,CF是ABC的三条中线，P是任意一点,证明：在PAD,APBE,APCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和（第26届莫斯科数学奥林匹克）分析：设G为AABC重心，直线PG与AB,BC相交,从A,C,D,E,F分别易证AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC作该直线的垂线，垂足为A',C.EE'=DD'+FF有SPGE=

31、SPGD+S*PGF.两边各扩大3倍，有S&PBE=SPAd+SPCF.例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似分析：将ABC简记为,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为'.G为重心，连DE至JH,使EH=DE,连HC,HF,则'就是4HCF.(1)a2,b2,c2成等差数列N若ABC为正三角形，易证不妨设a>b>c,有Of2a22b2c2心J2c22a2b2AD=12P_2ca22将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得CF=*a,BE=b,AD=c.虫b：3c,3.CF:BE:AD=a:2ab:c故有.

32、(2)a2,b2,c2成等差数列.CF23a243a2=4CF2=2a2+b2-c2二、垂心a2+c2=2b2.三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例5.设AiA2A3A4为。0内接四边形，HnH2,H3,H4依次为A2A3A4,A3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心.求证：也，H2,H3,H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置（1992,全国高中联赛）分析：连接A2H1,AiH2,H1H2,记圆半径(区)2.a据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的为R.由A2A3A4知A2H1=2RA2Hi=2R

33、cos/A3A2A4；sinA2A3Hl由AAiA3A4得AiH2=2RcosZA3A1A4.但/A3A2A4=/A3A1A4,故A2H1=AiH2.易证A2H1/A1A2,于是，A2H1A1H2,故得H1H2A2A1.设国Ai与H2A2的交点为M,故H1H2与A心关于M点成中心对称.同理，H2H3与人2A3,H3H4与人3A4,H4Hl与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点，Q点就不难确定了.例6.H为AABC的垂心，D,

34、E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆心的。H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,C1,C2.求证：aa1=aa2=bb1=bb2=cc1=cc2.（1989,加拿大数学奥林匹克训练题）分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a,CA=b,AB=c,AABC#接圆半径为R,OH的半径为r.连HA1,AH交EF于M.AA12=AM2+AiM2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2),又AM2-HM2=(AHi)2-(AH-AHi)2AH-AHi-AH2=AH2-AB-AH2=cosA-bc-AH2,而AHsinABH=2RAH2=4R2cos2A,a=2Rsin

35、Aa2=4R2sin2A.-.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2aA；="22ca2bc-bc-(4R2-a2)1=(a2+b2+c2)-4R2+r2.2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4R2+r2,221CC1=(a2+b2+c2)-4R2+r2.2四、内心故有AA1=BB1=CC1.三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I为AABC的内心，射线AI交AABC外接圆于A',则有A'I=A'B=A'C.换言之，点A必是旧C之外心（内心的等量关系之逆同样有用）.例7.ABCD为圆内

36、接凸四边形，取DAB,AABC,ABCD,CDA的内心Oi,Q,O3,O4.求证：O1O2O3O4为矩形.（1986,中国数学奥林匹克集训题）证明见中等数学1992;4例8.已知。O内接ABC,0Q切AB,AC于E,F且与0O内切.试证：EF中点P是ABC之内心.（B-波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当ABKAC,怎样证明呢?如图，显然EF中点P、圆心Q,.QK-AQ=MQ-QN,MQQNQK=AQ(2Rr)r=sinr/sinrBC中点K都在/BAC平芬线上.易知AQ=sin(2Rr).由RtAepq知P

37、Q=sinr.PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R.PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是AABC这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切例9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径，p表示半周.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：设RtAABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).-p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c)22一(a+b)

38、2-c241一ab；2(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c)2211=_c2-(a-b)2=_ab.42-p(p-c)=(p-a)(p-b).观察图形，可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.H1，、而r=(a+b-c)2=p-c:r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例10.M是AABC边AB上的任意一点.n,七，r分别是AMC,ABMC,AABC内切圆的半径，qnq2,q分别是上述三角形在/ACB内一一一r1七r部的外切圆半径.证明：=一.qq2q(IMO-12)分析：对任意A&

39、#39;B'C,由正弦定理可知OD=OAA'sin2=A'B.B'sin2sinA'O'B'A'sin2=A'BA'B'sin-sin22A'B'sin2O'E=ABA'B'coscos22A'B'sin2ODO'EA'B'tgltg?.亦即有rir2ACMACNBBq2一=tgtgtgtg一2A.Btgtg=22q六、众心共圆这有两种情况：（i）同一点却是不同三角形的不同的心;例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=B

40、C,CD=DE,（2）同一图形出现了同一三角形的几个心.EF=FA.试证：（1）AD,BE,CF三条对角线交于一点；AB+BC+CD+DE+EF+FA上AK+BE+CF.（1991,国家教委数学试验班招生试题）分析：连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是ACE的三条内角平分线，I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.再由ARDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有:.BI+DI+FI学2(IP+IQ+E5dos不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.BI+DI+FI上IA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+

41、EF+FA=2(BI+DI+FI)>(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心例12.ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点，EAACD的重心.证明OE，CD.（加拿大数学奥林匹克训练题）分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G,G必为ABC重心.连GE,MF,MF交DC于K.易证：111DG:GK=DC:()DC=2:1.323.DG:GK=DE:EFGE/MF.-.OD±AB,MF/AB,.-.OD±MFOD，GE.但OG±DEG又是ODE之垂心.易证OE±

42、CD.例13.AABC中/C=30°,O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上白EE点使得AD=BE=AB.求证：OI±DE,OI=DE.（1988,中国数学奥林匹克集训题）分析：辅助线如图所示，作/DAO平分线交BC于K.易证AIDAAIBAEIB,Adb-nCZAID=ZAIB=ZEIB.利用内心张角公式，有/AIB=90°+1/C=105°,2./DIE=360°-105°X3=45°KB=30-1/DAO2=30+1(/BAC-/BAO)2=30°+_(/BAC-60°)1一=ZBAC=ZBA

43、I=ZBEI.2.AK/IE.由等腰AOD可知DO±AK,.DO±IE,即DF是DIE的一条高.同理EO是ADIE之垂心，OI±DE.由/DIE=/IDO,易知OI=DE.例14.锐角ABC中，O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d直，垂心到三边距离和为d电求证：1-d+2-d/=3"d野分析：这里用三角法.设ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B,C.易知d外=OOi+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,.2d外=2(cosA+cosB+cosC).AH1=sinB-AB=sinB(2sinC)=2

44、sinB-sinC,同样可得BH2-CH3.，3d=AABC三条高的和=2(sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB)BH=2,sinBCH.HH1=cosC-BH=2-cosB-cosC.同样可得HH2,HH3.d垂=HHi+HH2+HH3=2(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)欲证结论，观察、，须证(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB.BPM.练习题1. I为AABC之内心，射线AI,BI,CI交AABC外接圆于AB',

45、C'.则AA'+BB'+CC'>ABC周长.（1982,澳大利亚数学奥林匹克）2. 丁的三边分别等于T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（1989,捷克数学奥林匹克）3. I为AABC的内心.取AIBC,ICA,IAB的外心Oi,O2,O3.求证：O1O2O3与AABC有公共白外心.（1988,美国数学奥林匹克）4. AD为ABC内角平分线.取AABC,ABD,AADC的外心O,O1,O2.则OO1O2是等腰三角形.5. AABC中/C<90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是ACPQ的垂心.当M是A

46、B上动点时，求H的轨迹.（IMO-7）6. AABC的边BC=1（AB+AC）,取AB,AC中点M,N,G为重心，I为内心.试证：过A,M,N三点的圆与直线GI相切.（第27届莫斯2科数学奥林匹克）7. 锐角ABC的垂心关于三边的对称点分别是也，匕,H3.已知：也，H2,H3,求作ABC.（第7届莫斯科数学奥林匹克）8. 已知ABC的三个旁心为Ii,£I3.求证：I1I2I3是锐角三角形.9. AB,AC切。于B,C,过OA与BC的交点M任作。O的弦EF.求证：（1）AAEF与ABC有公共的内心；（2）AEF与ABC有一个旁心重合.三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小