专题—求参数取值范围一般方法

1、专题一一求参数取值范围一般方法概念与用法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出fx.、，则afx.；若afX恒成立，只须求出fX则afXmn,转化为函数求最值。例1、已知函数fxlgxa2,若对任意x2,X恒有fx0,试确定a的取值范围。解：根据题意得：xa21在x2,上恒成立，x即：ax23x在x2,

2、上恒成立）2fxx3x,JUfxx-当x2时，fxmax2所以a2例2.已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+、乐工恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(xR),另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<50-a+5要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,.5a4a+5>3即j5a4>a+2a20上

3、式等价于5a40或a解得25a405a4(a2)24 a<8.5说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。二，变主换元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数）,而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例3.对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范分析：在不等式中出现了两个字母：x及P关键在于该把哪个字母看成是一个变量

4、，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2,2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。解：不等式即（x1）p+x22x+1>0,设f（p）=（x1）p+x22x+1，则昨）在2,2上恒大于0,最有：f(2)f(2)0即x24x30解得:x210-x<1或x>3.例4、若不等式2x1mx21对满足|m2的所有m都成立，求x的取值范围解：设fmmx212x1,对满足m2的m,fm0恒成立，_2f202x12x10解得.aJZx1f202x212x1022二,利用二次函数根的分布例5.设f(x)=x22ax+2，当x1,+)时,都有f(x)a恒成立，求a的取值范

5、围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1,+)时恒大于0的问解：设F(x)=f(x)a=x22ax+2a.i)当=4(a1)(a+2)<0时,即2<a<1时,对一切x1,+)F(x)0恒成立;ii)当=4下充要条件：(a1)(a+2)0时由图可得以得3a2;(aaay1)(a2)0301,ox0f(1)0即-f1,综合可得a的取值范围为3,1四，利用集合与几何之间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nfa,ga,则fam且gan,不等式的解即为实数a的取值范

6、围。例6、当x113时)1Mx1恒成立)求实数a的3取值范围。解:Q1logaX1(1)当a1时，1Xa,则问题转化为a/a311二,3,a11a33aa3(2)当0a1时，ax'则问题转化为a/3131a,1a综上所得：0a1或a3五，几何中的求参要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数kf3从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。例7、(双参数且已知其中一个参数的范围)给定抛物线C:y24x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A,B两点.若FBAF,若4,9,求l在y轴上截得m的范围。解：(略解)设直线l方程为：yk(x1)mk,X21(1Xi)y2y1由y2k2y14riy1y2(1)y12yy2y1916三,当.所求m169y1y2(*左)2,由韦达定理代入整理得:1k430f3,44,3由由AF彳#(x21,y2)(1xi,yi)小练一下1.已知函数f(x)axJ4xx2,x(0,4时f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。2 .已知不等式(x1)m2x1对x0,3恒成立，求实数m的取值范围。3 .已知不等式(x1)m2x1对m0,3恒成立,求实数x的取值范围。4 .已知不等式x22ax20对xR恒成立，求实数a的取值范