专题一二阶常微分方程解法

1、二阶微分方程:d2ydx2P(x呼dxQ(x)yf(x),f(x)f(x)0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)ypyqy0,其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;2、求出()式的两个根r1,r23、根据口，2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:r1,r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p24q0)(1xr?xyceC2e两个相等实根(p24q0)y(c1c2x)er1x一对共轲复根(p24q0)r1i,r2iE-4qp22'2yex(Cicosxc2sinx)二阶常系

2、数非齐次线性微分方程ypyqyf(x),p,q为常数f(x)expm(x)型，为常数；f(x)exP|(x)cosxPn(x)sinx型二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是(1)ypyqyf(x)其中p,q是常数。方程(1)的通解为对应的齐次方程ypyqy0的通解y和方程(1)的一个特解y*之和。即yYy*.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解y的方法。y的方法。卜面我们只介绍当方程(1)中的f(x)为如下两种常见形式时求其特解一、f(x)exPm(x)型由于方程(1)右端函数f(x)是指数函数ex与m次多项式Pm(x)的乘

3、积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程(i)的特解应为yexQ(x)(Q(x)是某个次数待定的多项式)yexQ(x)exQ(x)yex2Q(x)2Q(x)Q(x)代入方程(i),得exQ(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)exPm(x)x消去e,得Q(x)(2讨论1°、如果不是特征方程2即pq由于Pm(x)是一个2P)Q(x)(pq)Q(x)Pm(x)2rprq0的根。om次的多项式，欲使(3)的两端恒等，那未、(乂)必为一个m次多项式，设为Qm(x)b0xmbixm1bmix%将之代入(3),比较恒等式两端x的同次哥的系数，就得到以b0,b1,bm

4、1,bm为未知数的m1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m1个待定的系数，并得到特解yexQm(x)一22°、如果是特征方程rprq0的单根。2即pq0,但2p0欲使(3)式的两端恒等，那么Q(x)必是一个m次多项式。因此，可令Q(x)xQm(x)并且用同样的方法来确定Q(x)的系数b0,b1,bm1,bm。c一23、如果是特征方程rprq0的二重根。2即pq。，且2p0。欲使(3)式的两端恒等，那么Q(x)必是一个m次多项式2因此，可令Q(x)xQm(x)并且用同样的方法来确定Q(x)的系数b0,b1,bm1,bm。综上所述，我们有结论如果f(x)exPm(x),则方程(1

5、)的特解形式为yxkQm(x)ex其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，k的取值应满足条件0不是特征方程的根k1是特征方程的单根2是特征方程的二重根例1求y5y6yxe2x的通解。2解特征方程为r5r60特征根为2,23齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x因为2是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为yx(b0xb1)e2xy*2b0x2(2b02b1)xb1e2x_22xy*4b0x2(8b04b1)x2b04b1e将上述三式代入原方程，得(2b0x2b0b1)e2xxe2x比较恒等式两端的系数，得2b012b0b10解得b02,bi1y*x(1x1)e2x因此2所以方程的通解为2x3x

6、i12xyc1efex(-x1)e二、f(x)exP|(x)cosxPn(x)sinx型由于方程(1)右端函数为exP1(x)cosxPn(x)sinx,这种形式得到非齐次方程的特解y的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论yxkexMkx'cosxRm2)(x)sinx其中，M)(x)、，)(x)是两个m次多项式,mmaxl,n,0若i不是特征方程的根k曰1若i是特征方程的根例2求方程yyxcos2x的通解。解特征方程r210特征根齐次方程的通解为YC1cosxC2sinx这里0,2m1,由于i2i不是特征方程的根，所以设方程的特解为(axb)cos2x(cxd)sin2x代入原方程,(3ax3b4C)cos2x(3Cx3d4a