二次函数与直线、一元二次方程的关系

1、二次函数与直线、一元二次方程的关系一、二次函数与直线的关系(1)抛物线yax2bxc与y轴的交点是0,c；(2)抛物线yax2bxc与x轴的交点，因为x轴上的点的纵坐标都为0,所以令y0,代入得ax2bxc0,解这个一元二次方程得xb也24ac,所2a以抛物线与x轴的交点坐标是b旧4a*和b加4acQ2a2a(3)一次函数ykxbk0的图象与二次函数yax2bxca0的图象的交点的个数，由方程组ykx2b的解的数目确定：yaxbxc方程组有两组不同的解两函数图象有两个交点；方程组只有一组解两函数图象只有一个交点；方程组无解两函数图象没有交点。例1、已知：抛物线的解析式为yx22m1xm2m。(

2、1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线yx3m4的一个交点在y轴上，求m的值。变式1-1、在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数yx2k1x4的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且S0AB6。(1)求点A与点B的坐标；(2)求此二次函数的解析式；(3)如果点P在x轴上，且ABP是等腰三角形，求点P的坐标。二、二次函数与一元二次方程的关系方程ax2bxc0的两个实数根为xx2,与x轴的交点为A、B,如下表:判别式的情况000抛物线yax2bxc与x轴的父点有两个交点有一个交点无交点一次方程ax2bxc0的实根有两个不相等的实根x1、x2,AB|x1x2有两

3、个相等的实根为x2无实根例2、(2011?潍坊)已知一元二次方程ax2bxc0a0的两个实数根xx2满足x1x242和x1？x23,那么二次函数yaxbxca0的图象有可能是()。1LL变式2-1、(2011?呼和浩特)已知一元二次方程x2bx30的一根为3,在二次函数2xbx3的图象上有二点54,y21点,例3、如图所示，抛物线yx22m3与x轴交于A、B两则OB:OA3:1，则m=0变式3-1、设函数yx2k1x4k5的图象如图所示，它与x轴交于B两点，且线段OA与OB的长的比为1:4,则卜=例4、已知抛物线y2k,2.一1x4kx2k3。求:(1)k为何值时，抛物线与x轴相交于两点;(2

4、)k为何值时，抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧?、一，y3，则y1、丫2、y3的大小关系是6变式4-1、已知抛物线yx2mxm5。(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴都有两个不同的交点?(2)当m为何值时，抛物线与x轴的交点分别都在原点左侧？(3)当m为何值时，抛物线与x轴的交点分别在1,0两侧？例5、已知二次函数yax2bxc的图象经过点2,3,对称轴是直线x2,在x轴上截得的线段长为2而，求这个二次函数的解析式。变式5-1、已知二次函数yax2bxc的顶点为1,4,且抛物线在x轴上截得的线段长为4,求抛物线的解析式。变式5-2、如图，二次函数的图象经过点D0,7J3,且顶点C9的

5、横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PAPD最小，求出点P的坐标。例6、关于x的一元二次方程m21x22m2x10。(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；(2)点A1,1是抛物线ym21x22m2x1上的点，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。思考：21、函数yaxax3x1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值和交点坐标。2、已知抛物线yx2kx3k2(k为常数，且k0)。4(1)证

6、明：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON,且-,ONOM3求k的值。二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习21、在一次函数yaxbxc中，若a与c异号，则其图象与x轴的交点个数为一22、不论m为何实数，抛物线yxmxm2()。A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点D.在x轴下方3、若抛物线ykx22x1与x轴有两个交点，则k的取值范围是4、已知函数ykx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是5、如果一个二次函数的图象经过点A6,10,与x轴交于B、C两点，点B、C的横坐标分别为x1、x2，且x1x26,x1x25,求这个二次函数的解析式。6、已知关于x的方程x22m1xm220有两个不相等的实数根，试判断直线y2m3x4m7能否经过点A2,4，并说明理由。(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点D的坐标为m,0,矩形DEFG的面积为S,求