十四-分类讨论和数形结合

1、分类讨论与数形结合格致中学王国伟七宝中学李广学许多数学问题的解决，常常遇到多种情况，需要对各种情形加以分类解决，然后综合得解，这就是分类讨论，分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想方法。数形结合应用广泛，不仅在选择题和填空题中显示出来它的优越性，而且在解决一些抽象问题中常常起到事半功倍的效果，它体现在两个方面，一是以形助数，二是以数助形。一、数形结合与分类讨论的数学思想在填空题中的应用例1如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是;(2006年上海市高考(理科)第10题)解析:此

2、题是有关立体几何中的分类讨论.在正方体中除棱与表面垂直外，还有对角线与相应的对角面垂直。在第1类中每个表面均有四条棱与之垂直，而正方体中共有6个表面，因此这类中满足条件的个数为4父6=24个；第2类中每个对角面均有2条对角线与之垂直，而正方体中共有6个对角面，这类中满足条件的个数为2父6=12个。满足条件的个数共有36个。例2若曲线y2=x+1与直线y=kx+b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是。(2006年上海市高考(理科)第11题)2仅+1X0解析:化简方程y2=x+1得：y2=/，回出此方程对应曲线，如图所-X+1X<0示。直线y=kx+b含有参数k、b,先应对k进行讨论，显然

3、，k#0时，不论b取何值，两图形总有交点，不符题意。而当k=0时，此时直线为平行于x轴的直线，要使两图象无交点，只需截距b满足条件-1<b<1即可。综上所述，可得结论：k=0,1<b<1。二、数形结合与分类讨论的数学思想在选择题中的应用例3已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a#1)的图象关于直线一一一.一1y=x对称，记g(x)=f(x)f(x)+2f(2)1。若y=g(x)在区间i-,2上是增函数,2则实数a的取值范围是()(2006年天津市高考(理科)第10题)A)2,)B)(0,1)U(1,2)C)1,1jD).%.22解析:在指、对数函数中

4、，当底数a为变量时，要研究函数性质，应对底数进行分类讨论。在本题中，由题知：f(x)=logax,则g(x)=(logax)2+(loga21)logax,若令2t=logax,则g(x)可化为关于t的二次函数：h(t)=t+(loga2TX,当a>1时，此时对数函数单调递增，即tW110ga1,10ga2l要使此函数在区间i-,21上是增函数，则_a2a.|21log,24,2上是增函数，则对称轴2对称轴2-<-1oga2,化简得：1oga21显然矛盾；当0<a<1时，此时对数函数单调递减，即tw俨ga2,1oga1L要使此函数在区间1-1oga21ci1之-1oga

5、2,解得：a<-,221_即实数a的取值范围为.0，5j，选D。例4关于X的方程(x21)2-x2-1+k=0,给出下列四个命题:存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根;其中假命题的个数是（）（2006年湖北省高考（理科）第10题）A) 0B) 1C)D)3解析:但先将此题作一变化，即设t=x2-1,则原方程可变为k=t2+t,即k为t的函数。分别作出t=,21的图像（如图1）及k=t2十t（t至0）的图像（如图2）,当k<0时，由图2可知t有一个大于1的实根，又

6、由图1可知，此时有俩个x与之对应，即当k：二0时，方程恰有2个不同的实数根；1同样当k=0时，万程恰有5个不同的实数根；当0<k<时，方程有8个不同的实数根；1当卜=时，方程有4个不同的实数根。4三、数形结合与分类讨论的数学思想在解答题中的应用例5已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1,1）,反比例函数f(x)=f1(x)+f2(x)。y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,求函数f（x）的表达式;（2）证明：当a>3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解。（2004年上海市高考（理科）第20题）解析:此题第1小题由待定系数法可求得.28

7、,f（x）=x,则第2小题所研究的方程为2828r8228x=a,即：一=-x+a+-,此时方程的xaxa8-228解的个数即可看成是函数f2(x)=与函数f3(x)=x+a+的图像的交点个数，在同xa一直角坐标系中作出两个函数的图像，由图形可知：f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一8个父点。'；a>3,/.f3(2)f2(2)=a2+-8>0,f2(x)与f3x的图象在第-象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解。因此可得方程f(x)=f(a)有三个实数解。专项训练一、填空题：1、若关于x的方程ax=x+a没有正根，则实数a的取值范围是2、如果关于x的方程3

8、4x2=kx+1有两个不同的实根，则实数k取值范围是。3、已知zwc,A=,zi|之四,B=z|z3+z+3=10,则zA是zB的条件。4、函数y=f(x)的图像与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a,b】上的面积，已知函数y=sinnx在匹上的面积为2(nwN),则函数1nJny=sin(3xn)+1在的面积为x21,5、对于函数f(x)=lg,(xWR,x¥0)。甲、乙、丙、丁四个同学分别给出了如下|x|结论:甲说：此函数的图象关于y轴对称；乙说：此函数在(0,十无)上是增函数;丙说：此函数的值域是lg2,y)；丁说：(-刃,-1)与(0,1)是此函数的单

9、调递减区间。你认为其中表达正确的同学是。.,_一冗、.6、不等式logaxASin4x(aA0且a*1)对任息x=(0,一)都成立，则a的取值范围为、选择题:7、若方程f(x)=lgx有且只有两个实数解，则f(x)可以是()A)sinxB)sinxC)一sinxD)-sinx函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示，则A)大于0;B)小于0;C)等于0;D)以上结论都有可能。9、若动点P的横坐标为x,纵坐标为y使lgy、lgx、1gy；x成公差不为零的等差数歹U,则点P的轨迹所表示的图形是(),(a>0,a#1施(0,2】上有解，则此方程在匚2,0)上的实数解x10、若方程s

10、in4nx=arx的个数为()A)2个；B)不止2个，但必定为有限个；C)可能有无数个；D)0个。三、解答题：211、已知集合A=x|x+3x-4>0,B=x|ax-1>0,右AnB,求实数a的取值范围。12、祖的I原理的推论：夹在两条平行直线之间的两个平面封闭图形被平行于这两条直线的任意直线所截，如果截得的两条线段长度之比为常数k,那么这两个平面图形的面积之比为k。(1)试利用此推论证明：由函数y=2x2,y=2(x1)2,y=2的图像及x轴围成的图形(如图)的面积S等于长、宽分别为1、2的矩形的面积。(2)选择一个可以求出面积的平面图形，利用上述推论证22明椭圆t+与=1的面积

11、是nab。ab13、已知n)是首项为-5,公差为的等差数列，£n44一、，一,7.1.是首项为一，公差为一的等差数列，u=1i,v=1+i,zn=anu+bnv(nwN)。44(1)求数列也、1的通项公式；(2)证明：复平面上:Zn:'对应的点均在同一条直线上，并求出这条直线的方程;(3)是否存在nWN,使Zn满足zn-3i+|zn+3i=8;若存在，求出所有满足条件的复数Zn,若不存在，说明理由。14、已知函数y=j2+x+j2x。求函数f(X)的定义域和值域;(2)2(x)-41+f(x)(a为实数)，求F(x)的最大值g(a)；(3)若m2+2pm+2<g(a)对所有的实数a及pw-2,2恒成立，求实数m的取值范围。专项训练填空题:0,11211一2,2、必要非充分2it+35、甲、丙、丁6、一江一51选择题:C8解答题:10、D11、12、(2)(1)S=2;取半径等于b的圆x22,2y=b,设直线l：y=m(b<m<b),l与圆截得的弦长为2db2-m2,与椭圆截得的弦长A长