等差等比数列的性质及综合应用学习教案

1、会计学1等差等比数列的性质及综合等差等比数列的性质及综合(zngh)应用应用第一页，共40页。 掌握等差、等比数列的基本性质：如（）“成对”和或积相等问题；（）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决(jiju)有关问题.如分组求和技巧、整体运算.第1页/共40页第二页，共40页。1.在等差数列an与等比数列bn中，下列(xili)结论正确的是( )CA.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5 当m+n=p+q时，等差数列(dn ch sh li)中

2、有am+an=ap+aq,等比数列中有bmbn=bpbq.第2页/共40页第三页，共40页。2.已知等比数列(dn b sh li)an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（ ）CA.2 B.4 C.8 D.16 因为(yn wi)a3a11=a72=4a7，因为(yn wi)a70，所以a7=4，所以b7=4. 因为(yn wi)bn为等差数列，所以b5+b9=2b7=8，故选C.第3页/共40页第四页，共40页。3.命题:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列; 命题 :若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0),则

3、数列an是等差数列(dn ch sh li); 命题 ：若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列(dn ch sh li)，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有( )AA.0个 B.1个 C.2个 D.3个第4页/共40页第五页，共40页。 由命题得，a1=a+b,当n时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比,数列则 =a即 =a,所以只有(zhyu)当b=-1且a0时，此数列才是等比数列. 由命题得,a1=a+b+c,当n时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若an是等差数列，则a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有(zhyu)当c=0时，数列

4、an才是等差数列. 由命题得，a1=a-1,当n时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然an是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有(zhyu)当a-10，即a时，数列an才又是等比数列.21aa(1)a aab第5页/共40页第六页，共40页。4.(1)等差数列(dn ch sh li)的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 ； (2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 .186023 (1)由等差数列(dn ch sh li)性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列(dn ch sh li)，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2

5、n，解得S3n=18.(2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，解得S3n=60 .23第6页/共40页第七页，共40页。5.已知数列an、bn分别(fnbi)为等差、等比数列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，则一定有a2 b2，a5 b5（填“”“0，b30，又b1b3，a2= = =|b2|，故a2b2；同理，a5=2a3-a1 =2b3-b1 ，b5= ，所以b5-a5= -(2b3-b1)= = 0,即b5a5.132aa132bb1 3bb231bb231bb22331112bb bbb2311()bbb第

6、7页/共40页第八页，共40页。(方法二)通项与函数关系(gun x).因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，bn=a1qn-1= qn为关于n的类指数函数.当d0，如图1；当db2，a50d0，则lgan是等差数列.(5)在等差数列an中，当项数为偶数(u sh)2n时;S偶-S奇= ;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)an(这里的an即为中间项);S奇 S偶=n (n-1).am+an=ap+aqndannaa第10页/共40页第十一页，共40页。(6)若等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn,且 =f(n),则 = = =f(2n-1).(7)

7、“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有 之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有 之和.(8)如果两个(lin )等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.nnABnnab(21)(21)nnnanb2121nnAB非负项非正项第11页/共40页第十二页，共40页。2.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时，则有 ,特别地，当m+n=2p时，则有aman=ap2.(2)若an是等比数列，则kan成等比数列；若an、bn成等比数列，则anbn、 成等比数列;若an是等比数列,且公比(n b)q-1,

8、则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是 数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是常数数列0,它不是等比数列.aman=apaqnnab等比第12页/共40页第十三页，共40页。(3)若a10,q1,则an为 数列；若a11,则an为 数列;若a10,0q1,则an为递减数列；若a10,0q1，则an为递增数列；若q0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),则当n1时,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( )A. n(2n-1) B. (n+1)2C. n2 D. (n-1)2 (1)因为(yn wi)1+8+15=2，且n成等差

9、数列，则1+15=28，故8= .于是tan(2+14)=tan28=tan = .23433C第16页/共40页第十七页，共40页。(2)因为(yn wi)a5a2n-5=22n(n3),且an成等比数列,则a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1，（可直接计算）则S=log2a2n-1+log2a3+log2a1,所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1) =log2(22n)n,所以2S=2nn，所以 S=n2.第17页/共40页第十八页，共40页。 本题是等差、等

10、比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据(gnj)等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.第18页/共40页第十九页，共40页。 (2010湖北省模拟)设数列(shli)an、bn都是正项等比数列(shli)，Sn、Tn分别为数列(shli)lgan与lgbn的前n项和,且 = ,则logb5a5= .nnST21nn 由题知， = = = =logb5a5 logb5a5= .99ST129129lg()lg()a aab bb9595lglgab5

11、5lglgab919919第19页/共40页第二十页，共40页。例2 (1)等差数列(dn ch sh li)an中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比数列an中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.第20页/共40页第二十一页，共40页。 (1)将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分别记为b1,b2,b3,b50,可知bn成等差数列(dn ch sh li).此数列的公差d= = .a99+a100=b50=b5+45d=a+ 45=9b-8a.105105bb5ab5ab5ab5a

12、b第21页/共40页第二十二页，共40页。(2)(方法(fngf)一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8. 得， =q48=8 q16=2.又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43=a14q166=a14q6q160=(a14q6)(q16)10=1210=1024.4541461aqaq第22页/共40页第二十三页，共40页。(方法二)由性质可知(k zh)，依次项的积为等比数列，设公比为q,T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16

13、=8,所以T4=T1q3=1q3=8 q=2,所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024. 巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算(j sun)中非常重要.如（）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.第23页/共40页第二十四页，共40页。例3 已知等比数列xn的各项为不等于的正数，数列yn满足ynlogxna=2(a0,a1)，设y3=18,y6=12. (1)求数列yn的前多少项和最大,最大值为多少? (2)试判断(pndun)是否存在自然数M，使当nM时，xn1恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，请说明理由； (3)令an=logxnxn+1（n

14、13,nN*），试判断(pndun)数列an的增减性？第24页/共40页第二十五页，共40页。 (1)由已知得，yn=2logaxn.设等比数列xn的公比(n b)为q(q)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga =2logaq,得yn为等差数列，设公差为d.因为y3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n. yk+10 yk0所以前11项与前12项和为最大,其和为132.1nnxx设前k项和为最大,则11k12,y12=0,nnxx1第25页/共40页第二十六页，共40页。(2)xn=a12-n,nN*.若xn1，则a12-n1

15、.当a1时，n12，显然不成立；当0a12,所以存在M=12,13,14,当nM时，xn1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)= .因为an+1-an= - = ,又n13,所以an+113时，数列an为递减数列.1112nn1011nn1112nn1(11)(12)nn 本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力.第26页/共40页第二十七页，共40页。 在数列an中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0). (1)设bn=an+1-an(nN*),证明：bn是等比数

16、列(dn b sh li)； (2)求数列an的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.第27页/共40页第二十八页，共40页。 (1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2), 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2.又b1=a2-a1=1,q0，所以bn是首项为1,公比(n b)为q的等比数列.第28页/共40页第二十九页，共40页。(2)由(1)知，a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n).将以上各式相加,得an-a1=1+q+qn-2(n2).

17、1+ (q1) n (q=1).上式对n=1显然(xinrn)成立.所以(suy)当n2时, an=111nqq第29页/共40页第三十页，共40页。(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1.由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8,由q0，得q3-1=1-q6, 整理(zhngl)得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=- .另一方面,an-an+3= = (q3-1),an+6-an= = (1-q6).由可得an-an+3=an+6-an(nN*).所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.23211n

18、nqqq11nqq151nnqqq11nqq第30页/共40页第三十一页，共40页。(2009江苏卷)设an是公比为q的等比数列(dn b sh li)，|q|1，令bn=an+1(n=1,2,).若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，则6q= .-9第31页/共40页第三十二页，共40页。 因为数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，又an=bn+1，所以数列an有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中,且必有正项、负项；又|q|1，所以q-1,因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(kN*)正负相间，且|ak|，|ak+1|，|ak+2

19、|,|ak+3|单调递增，故等比数列四项只能为-24,36,-54,81.此时(c sh)，公比为q=- ，6q=-9.32第32页/共40页第三十三页，共40页。学例1 (2009安徽卷)已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示(biosh)an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )BA. 21 B. 20C. 19 D. 18第33页/共40页第三十四页，共40页。 由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35. 由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33. 则由-得d=-2，所以(suy)an=a4+(n-4)(-2)=41-2n. an0 an+1 20.5,又nN*,故n=20.令第34页/共40页第三十五页，共40页。 (2009江西卷)各项均为正数的数列an,a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有 = . (1)当a= ,b= 时，求通项an; (2)证明:对任意a,存在与a有关的常数(chngsh)，使得对于每个正整数n,都有 an.学例2(1)(1)mnmnaaaa(1)(1)pqpqaaaa12451第35页/共40页第三