函数的极值与最大

1、 4.5 函数的极值与最大 (小) 值一、极 值二、最大值和最小值OxyOxyOxy一、极值ab)(xfy 1x2x3x4x5x6x0 x0 x性质性质4.4.)(,)(00的的极极值值点点不不是是则则一一致致点点的的左左右右邻邻域域内内单单调调性性在在若若xfxxxf;)(,)(00的的极极大大值值点点是是则则右右邻邻域域内内单单减减的的左左邻邻域域内内单单增增在在若若xfxxxf,)(0点连续点连续在在设设xxf;)(,)(00的的极极小小值值点点是是则则右右邻邻域域内内单单增增的的左左邻邻域域内内单单减减在在若若xfxxxfxyOxyOxyOxyO0 x0 x ( (是极值点情形是极值点

2、情形) )0 x0 x ( (不是极值点情形不是极值点情形) )性质性质4.5,)(0点连续点连续在在设设xxf)0)(0)(,),(00 xfxfxxx时时 的极小（大）值点；的极小（大）值点；是是则则)(0 xfx.)(,),(),()(00000的的极极值值点点不不是是则则内内保保号号在在若若xfxxxxxxf )0)(0)(,),(00 xfxfxxx时时若若 .,)(判别它是否为极值点判别它是否为极值点可以可以利用二阶导数的符号也利用二阶导数的符号也的驻点处的驻点处在在xf性质性质4.6,0)(0 xf设设;)(,0)(00的的极极小小值值点点为为则则若若xfxxf ;)(,0)(0

3、0的的极极大大值值点点为为则则若若xfxxf .)(,0)(00需需要要进进一一步步判判别别的的极极值值点点还还是是否否为为那那么么若若xfxxf 证明证明, ),(00 xxx, ),(00 xxx ,0)(0 xf若若,3 . 3知道知道则由性质则由性质使得使得的某一邻域的某一邻域存在存在, ),()(0000 xxxOx0)()(0 xfxf0)()(0 xfxf,5 . 4知知道道从从而而由由性性质质,)(0的的极极小小值值点点为为xfx,类似地可证类似地可证,0)(0时时当当 xf.)(,0)(00的极大值点的极大值点为为时时xfxxf ,043点的情形点的情形在在和和由由 xxyx

4、y.)(,)(0需需要要进进一一步步判判别别的的极极值值点点也也可可能能不不是是的的极极值值点点可可能能是是xfxfxxyO3xy xyO4xy 例例1求下列函数的极值：求下列函数的极值：解解,018)1( y,8)1(11123223 yxxxxy处取得极大值处取得极大值在在因此因此.113)5(3 xxy;ln)4(xy ;23)3(32xxy ;e)2(2xxy ;11232)1(23 xxxy,0 y令令, )2)(1(6 xxy易知易知)1(612 xy且且得得驻驻点点,2,121 xx018)2( y.19)2(2 yx处处取取得得极极小小值值在在,0 y令令,e )21(2xxy

5、 易知易知)2(xxy2e )1(4 ,21 x得驻点得驻点0e221 y且且.e2121 y处取得极大值处取得极大值在在因此因此21e2 xxyx且且和和驻驻点点不不可可导导点点内内有有在在定定义义域域因因此此,10),(232132 xxxxy, ), 1( x)1(231 xy易易知知)3(, )1 , 0( x, )0,( x,0)0(02332 yxxxy点点取取得得极极小小值值在在因因此此,0 y;单减单减y,0 y;单增单增y,0 y.单减单减y. 1)1(1 yx点点取取得得极极大大值值在在，的定义域为的定义域为),0(ln)4( x. 0)1(1ln yxxy点点取取得得极极

6、小小值值在在因因此此 ), 1(,1)1, 0(,1)ln(xxxxx.1为为其其不不可可导导点点且且 x)1(1)1()5(32 xxy, 2)0(01133 yxxxy点取得极小值点取得极小值在在因此因此且且,01)1(32 xy令令,2032 xx和和得得,20,1),(1133213 xxxxxy和和驻点驻点有不可导点有不可导点内内在定义域在定义域因此因此x)0 ,( )2, 1()1, 0(01)(xf )(xf 0极大值极大值极小值极小值2), 2( 无极值无极值单减单减单增单增单增单增单减单减0.2)2(2,1 yxx点取得极大值点取得极大值在在点不取极值点不取极值在在OxyOx

7、yOxy二、最大值和最小值.,)(,)(在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值存存在在则则为为零零的的点点并并且且至至多多有有有有限限个个导导数数处处可可导导除除个个别别点点外外处处上上连连续续在在若若函函数数baxfbaxfbaabab 最大值与最小值的存在条件最大值与最小值的存在条件的的方方法法：和和最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求mMbaxf,)(,),(,)(,内内可可导导在在上上连连续续在在设设另另外外babaxf,),()()(）或或极极小小值值（内内的的所所有有极极大大值值在在就就是是先先求求出出或或最最小小值值求求最最大大值值baxfmM, )()(bfaf和和再求再

8、求.大大者者（或或最最小小者者）最最后后取取出出这这些些值值中中的的最最, )()(,),()(00或或极极小小值值极极大大值值是是且且内内有有唯唯一一驻驻点点在在若若xfxbaxf在在一定是一定是那么那么)()(,0 xfxf.)()(,)(）中中的的最最小小者者（或或最最大大者者和和定定是是）一一上上的的最最小小值值（或或最最大大值值在在这这时时bfafbaxf,）上的最大值（或最小值上的最大值（或最小值ba例例2求下列函数的最大值和最小值：求下列函数的最大值和最小值：解解, )1)(1(3332 xxxy. 2, 1,23)3(32 xxxy; 2, 0e)2( xxyx;2 , 2,3

9、)1(3 xxxy)1(xy6 ,0 y令令,2)2(, 2)2( yy另另外外, 1, 121 xx得两个驻点得两个驻点06)1(, 06)1( yy且且.2)1(,2)1(是是极极小小值值是是极极大大值值因因此此 yy,2)2()1( yy因因此此最最大大值值是是.2)2()1( yy最最小小值值是是比较它们的大小，比较它们的大小，0e1)1( y,0 y令令,e )1(xxy 求求一一阶阶导导数数和和二二阶阶导导数数)2(.,e1)1(从从而而是是最最大大值值是是极极大大值值因因此此 y;e )2(xxy 且且内内的的唯唯一一驻驻点点在在得得,1)2, 0(e xxyx,e2)2(, 0

10、)0(2 yy另另外外.0)0(20e yxyx上上的的最最小小值值为为，在在因因此此,10)2, 1(232132 xxxxy和唯一驻点和唯一驻点内有不可导点内有不可导点在在因此因此. 0)0(,5)1(212332 yyxxy最最小小值值是是上上的的最最大大值值是是，在在因因此此2231 xy求一阶导数求一阶导数)3(,5)1( y另另外外)1(23131xx .1)1(,0)0(是是极极大大值值是是极极小小值值且且 yy,0443)2(3 y例例3.1 , 0, 122 xxx证证明明证明证明1 , 0,12)(2 xxxfx考虑函数考虑函数2ln)0( f,)1 , 0()(10)(必

11、必有有一一个个零零点点内内在在上上的的连连续续性性可可知知，在在由由xfxf ,22ln2)(xxfx 且且上上处处处处二二阶阶可可导导，在在由由于于,10)(xf;2)2(ln2)(2 xxf,0 22ln2)1( f0 又由于又由于2)2(ln2)(2 xxf1)2(ln22 )1 , 0(, 0 x,1, 0)(上上严严格格单单减减在在xf ,)1 , 0(12)(2内有唯一驻点内有唯一驻点在在从而从而 xxfx1 , 0, 122 xxx,1 , 0时时因因此此 x,且在驻点处取得极大值且在驻点处取得极大值0)1()0( ff这时最小值是这时最小值是,值值从而在驻点处取得最大从而在驻点

12、处取得最大0)( xf即即例例4解解.)(3)(2)(1.0)(, ),(, )()(,0)(,)(00轴有两个交点轴有两个交点与与）何时）何时（轴有惟一交点；轴有惟一交点；与与）何时）何时（轴无交点；轴无交点；与与）何时）何时（试确定试确定使得使得且有唯一的且有唯一的上满足上满足在在设设xxfyxxfyxxfyxfbaxbfafxfbaxf ，上满足的条件可知上满足的条件可知在在由由,)(baxf且且最最大大值值为为上上的的最最小小值值为为在在, )(, )(,)(0afxfbaxf)()()(0 xfbfaf 因此因此上是下凸的上是下凸的在在并且注意到并且注意到,)(baxf,0)(0)(

13、)1(0时时或或当当 afxf.)(轴无交点轴无交点与与 xxfy ,)(0)(0)()2(0时时或或当当bfafxf .)(轴有唯一交点轴有唯一交点与与 xxfy ,)(0)()3(0时时当当xfbf .)(轴有两个交点轴有两个交点与与 xxfy 例例5解解.,0dd)(,)()(22本时的边际成本本时的边际成本求厂商达到最小平均成求厂商达到最小平均成设设平均成本函数为平均成本函数为的二阶可微函数的二阶可微函数是是为产量为产量设厂商的总成本函数设厂商的总成本函数 qACqqCACqqqCC2)()(ddqqCqCqqAC qqCqCq)()(1)(1ACMCq ,0dd22 qAC由于由于，

14、有零点有零点否则否则存在唯一驻点存在唯一驻点因此因此 221ddqACqAC，取取得得极极小小值值处处在在ACq1因此是最小值，因此是最小值，.ACMC 这时边际成本这时边际成本例例6.,0dd)(,)(, )(, )(, )()(22要要条条件件厂厂商商获获得得最最大大利利润润的的必必试试确确定定满满足足且且厂厂商商的的利利润润函函数数数数的的二二阶阶可可微微函函都都是是求求函函数数为为其其需需为为产产量量设设厂厂商商的的总总成成本本函函数数 qLqLLqqPqCqPPqqCC解解)(qRR 厂商的收益函数为厂商的收益函数为)(qPq )(qLL 利利润润函函数数)()(qCqR ,)(得得的极值只能在驻点处取的极值只能在驻点处取则则qL,)(0dd122qqLqL至至少少有有一一个个驻驻点点知知道道且