第2章地理空间数学基础

1、徐斌徐斌长安大学长安大学古代树枝地图古代树枝地图 公元前公元前1500年树枝和年树枝和贝壳制作的航海图贝壳制作的航海图新石器时代的壁画地图新石器时代的壁画地图 七世纪中叶的亚洲（唐朝）七世纪中叶的亚洲（唐朝） 古代上海地图古代上海地图 刻在石头上的地图刻在石头上的地图 椭球体名称椭球体名称年代年代长半轴（米）长半轴（米）短半轴（米）短半轴（米）扁率扁率白塞尔白塞尔(Bessel)1841637739763560791：299.15克拉克克拉克(Clarke)1880637824963565151：293.5克拉克克拉克(Clarke)1866637820663565841：295.0海福特海福

2、特(Hayford)1910637838863569121：297克拉索夫斯基克拉索夫斯基1940637824563568631：298.3IUGG1967637816063567751：298.25埃维尔斯特埃维尔斯特(Everest)1830637727663560751：300.8各种地球椭球体模型 空间坐标系球面坐标系平面坐标系天文地理坐标系大地地理坐标系空间直角坐标系高斯平面直角坐标系地方独立平面直角坐标系参心空间直角坐标系地心地固空间直角坐标系 基本参数： 球面坐标系统，主要包括一个地球椭球和一个大地基准面。大地基准面规定了地球椭球与大地体的位置关系 平面坐标系统，除了包含与之对应

3、的球面坐标系统的基本参数外，还必须指定一个投影规则，即球面坐标与平面坐标之间的映射关系。地球的经线和纬线 （1）天文地理坐标系 模型：大地体 坐标原点：地心（地球质量中心） 天文纬度：测站垂线方向与地球平均赤道面的交角，以表示。 天文经度：首天文子午面与测站天文子午面的夹角，以表示。 （2）大地地理坐标系 模型：地球椭球 坐标原点：地球椭球中心 大地地理坐标也简称大地坐标。 大地纬度：以B表示，注意地面点的投影 大地经度：以L表示 （3）空间直角坐标系 参心空间直角坐标系： 模型：地球椭球（参考椭球） 坐标原点：参考椭球中心（参心） 由于观测范围的限制，不同的国家或地区要求确定的参考椭球面与局

4、部大地水准面最密合。 由于参考椭球不是唯一的，参心空间直角坐标系也不是唯一的。 地心地固空间直角坐标系 模型：大地体 坐标原点：地球质心 （1）高斯平面直角坐标系 （2）地方独立平面直角坐标系高程基准是推算国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据，包括一个水准基面和 一个永久性水准原点。水准基面： 大地水准面，也是重力等位面，平均海面。地面点的高程 相关概念： 水位高程，水位标高 井口高程 水位埋深2.我国主要高程基准水准原点1985国家高程基准，72.2604米黄海海面1952-1979年平均海水面为0米),(),(21fyfx地图投影变形的图解示例（摩尔维特投影等积伪圆柱投影）地图投影变

5、形 几何透视法：各种几何投影1、将各带的坐标纵、将各带的坐标纵轴西移轴西移500公里。公里。 Y=y+500000m2、加上投影带号。、加上投影带号。 Y通通=n*1000000+Y横轴墨卡托投影-（UTM）UTM投影是一种横割圆柱割圆柱等角投影，圆柱面在84N和84S处与椭球体相割，它与高斯克吕格投影十分相似，也采用在地球表面按经度每6分带。其带号是自西经180由西向东每隔6一个编号。美国编制世界各地军用地图和地球资源卫星像片所采用的全球横轴墨卡托投影（UTM）是横轴墨卡托投影的一种变型。高斯投影的中央经线长度比等于1，UTM投影规定中央经线长度比为0.9996。在6带内最大长度变形不超过0

6、.04%。 UTM是国际比较通用的地图投影，主要用于全球自84N-80S之间地区的制图。兰勃特等角投影 兰勃特等角投影在双标准纬线下是一“正轴等角割圆锥投影”，由德国数学家兰勃特（J. H. Lambert）在1772年拟定。设想用一个正圆锥割于球面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰勃特投影平面。兰勃特等角投影后纬线为同心圆弧，经线为同心圆半径。墨卡托(Mercator)投影是它的一个特例。兰勃特投影采用双标准纬线相割，与采用单标准纬线相切比较，其投影变形小而均匀。我国主要类型地图所采用的地图投影系统 1）我国基本比例尺地形图（1：100万、1：50万、1

7、：25万、1：10万、1：5万、1：2.5万、1：1万、1：5000）除1：100万外均采用高斯-克吕格投影为地理基础； 2）我国1：100万地形图采用了Lambert投影，其分幅原则与国际地理学会规定的全球统一使用的国际百万分之一地图投影保持一致； 3）我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影； 4）Lambert投影中，地球表面上两点间的最短距离表现为近于直线，这有利于地理信息系统中的空间分析和信息量度的正确实施。2.3 空间坐标转换 空间坐标转换是把空间数据从一种空间参考系映射到另一种空间参考系中。 空间转换有时也称投影变换

8、。投影变换是地图制图的理论基础，主要用来解决换带计算、地图转绘、图层叠加、数据集成等问题。 一是投影的转换，就是说在完成地理坐标值转换的同时，必须完成空间参考框架信息（包括参考椭球、大地基准面以及投影规则）的精确转换。此时，坐标转换的基本要求就是必须获取两种空间参考系的投影信息。二是单纯坐标值的变换，只需要把空间数据的坐标值从一种空间参考系映射到另一种空间参考系中，转换后的空间参考系信息直接采用目标空间参考系信息。 2.3.2空间直角坐标的转换 对于图2.14所示的两个三维空间直角坐标,可以采用7参数坐标转换模型 (式2.4) 实现O-X1Y1Z1到O-X2Y2Z2的变换。 7参数：其中X、

9、Y 、 Z为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数，x 、 y 、 z分别表示绕X轴、Y轴、Z轴旋转的角度，m为尺度变化参数。 具体区域的7参数需要到当地测绘部门查询或者根据已知坐标点进行求解，获取有一定的难度。2.3.3投影解析转换投影解析转换 1.同一地理坐标基准下的坐标变换（1）直接转换：此时，如果参与转换得空间参考系的投影公式存在严密或近似的解析关系式，就可以建立两坐标系的解析关系式。应用建立的解析关系式，直接计算出当前空间参考系下的空间坐标(x，y，z)在另一种空间参考系中的坐标值(X，Y，Z)。（2）间接转换：对于多数投影系统，很难精确推求出它们之间的这种解析关系式。此时，就需要采用间

10、接变换，即先使用坐标反算公式，将由一种投影的平面坐标换算为球面大地坐标：(x，y)（B，L），然后再使用坐标正算公式把求得的球面大地坐标代入另一种投影的坐标公式中，计算出该投影下的平面坐标：（B，L）(X，Y)，从而实现两种投影坐标间的变换(x，y)(X，Y)。例如：研究区域恰好横跨两个高斯克吕格投影带，则应将两个投影带坐标统一到同一个投影带上才能实现图幅的拼接，这时就需用采用间接变换法2.3.3投影解析转换投影解析转换2.不同地理坐标基准下的坐标变换地理坐标基准的不同，使得两种空间参考系的投影解析式之间很难建立直接的解析关系。所以，此时坐标变换一般要涉及两个内容：一是地理坐标基准的变换；二是

11、坐标值的变换。实现整个坐标转换的基本过程为（以WGS 84坐标和1980西安坐标的转换为例）：（1）（B，L）84转换为（X,Y,Z）84，即空间大地坐标到空间直角坐标的转换；（2）（X,Y,Z）84转换为（X,Y,Z）80，坐标基准的转换，即参考椭球转换。该过程可以通过2.3.2所叙述的七参数或简化三参数法实现；（3）（X,Y,Z）80转换为（B,L）80，把空间直角坐标到空间大地坐标的转换；（4）（B,L）80转换为（x,y）80，通过高斯克吕格投影公式计算出高斯平面坐标值。不同地理坐标基准下的坐标变换，最大难点在于第2步涉及转换参数。由于各地的重力值等各种因素的影响，不同地理坐标基准之间

12、很难确定一套适合全区域且精度较好的转换参数。通行的做法是：在工作区内找三个以上的已知点，利用最小二乘配置法求解七参数。若多选几个已知点，通过平差的方法可以获得较好的精度。2.3.4数值拟合转换 如果无法获取参与坐标转换的空间参考的投影信息，可以采用下面叙述的单纯数值变换的方法实现坐标变换。1.多项式拟合变换 根据两种投影在变换区内的已知坐标的若干同名控制点，采用插值法，或有限差分法、有限元法、待定系数最小二乘法，实现两种投影坐标之间的变换。 应用：变形纠正，图形图像的配准 控制点个数:(n+1)*(n+2)/2实际上，通常选择理论控制点数量的2到3倍2.4 空间尺度 所谓尺度，在概念上是指研究

13、者选择观察（测）世界的窗口。 在测绘学、地图制图学和地理学中通常把尺度表述为比例尺，在数学、机械学、电子学、光学、通讯工程等学科中又往往把尺度表述为某种测量工具（measuring tool）或滤波器（filter），在航空摄影、遥感技术中尺度则往往相应于空间分辨率（spectral resolution）。 进行空间分析时，从获取信息到数据处理、分析往往会涉及到四种尺度问题，即观测尺度、比例尺、分辨率、操作尺度，如图2.15所示，并且这些尺度之间是紧密相关的。 2.4.1 观测尺度观测尺度 是指研究的区域大小或空间范围。 认识或观察地理空间观察及其变化时一般需要更大的范围，即大尺度（地理尺度

14、）研究覆盖范围较大区域，如一个国家、亚太地区，而研究城市分布及其扩展可用中尺度或小尺度。2.4.3 分辨率 图像分辨率简单说来是成像细节分辨能力的一种度量，也是图像中目标细微程度的指标，它表示景物信息的详细程度。 对图像光谱细节的分辨能力表达用光谱分辨率(（spectral resolution）；对把同一目标的序列图像成像的时间隔称为时间分辨率(temporal resolution)；而把图像目标的空间细节在图像中可分辨的最小尺寸称为图像的空间分辨率(spatial resolution )。 2.5 地理格网 地理格网标准地理格网标准GBT 12409-2009 地理格地理格网网2.5.

15、3 国家基本比例尺地形图标准 我国把1:1万、l:2.5万、1:5万、1:10万、1:25万、1:50万、1:100万7种比例尺作为国家基本地图的比例尺系列。1.地形图的分幅地图有两种分幅形式：矩形分幅和经纬线分幅。我国的基本比例尺地形图是以经纬线分幅制作的。表表2.5 地形图的经纬差、行列数及图幅数2、地形图的编号（1）1:100万地形图的编号该种地形图的编号为全球统一分幅编号。行数：由赤道起向南北两极每隔纬差4为一行行，直到南北88（南北纬88至南北两极地区，采用极方位投影单独成图），将南北半球各划分为22 行行 ，分别用拉丁字母A、B、C、DV表示。列数：从经度180 起向东每隔6 为一列列，绕地球一周共有60列列，分别以数字1、2、3、460表示。由于南北两半球的经度相同，规定在南半球的图号前加一个S，北半球的图号前不加任何符号。一般来讲，把列数的字母写在前，行数的数字写在后。例如北京所在的一幅百万分之一地图的编号为J50（如图2.17所示）