1.2高斯公式ppt课件

1、高等数学第十二章第六节第六节 高斯高斯(Gauss)(Gauss)公式公式一、问题的提出一、问题的提出二、二、Gauss Gauss 公式公式三、三、Gauss Gauss 公式的简单应用公式的简单应用四、小结与思考判断题四、小结与思考判断题高等数学第十二章一、问题的提出一、问题的提出 格林公式表达了平面区域上二重积分与格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上三重积分与区域公式，它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积

2、分之间的关系。边界曲面上曲面积分之间的关系。高等数学第十二章二、高斯公式二、高斯公式 (Gauss (Gauss formula)formula) 设设空空间间闭闭区区域域 由由分分片片光光滑滑的的闭闭曲曲面面围围成成, , 函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( -高斯公式高斯公式高等数学第十二章证：证：设闭区域设闭区域 在在xoy面上的投影区域为面上的投影区域为xyD. . xyzo 由由1 , ,2 和和3 三部分组成三部分组成, ,),(1:1yxz

3、z ),(2:2yxzz .取取外外侧侧柱柱面面上上的的一一部部分分，轴轴的的准准线线母母线线平平行行于于的的边边界界曲曲线线为为是是以以zDxy 1 2 3 xyD取下侧取下侧取上侧取上侧高等数学第十二章根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR高等数学第十二章,),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRy

4、xzyxR dxdyzyxR),(于于是是. 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR高等数学第十二章,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式合并以上三式得：合并以上三式得：高等数学第十二章Gauss公式的实质：公式的实质： 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知：由两类曲面积分之间的关系知：高等数学

5、第十二章三、高斯公式的简单应用三、高斯公式的简单应用解：解：, 0,)(yxRQxzyP xozy113高等数学第十二章, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得) 201030)sin(dzzrrdrdxozy113高等数学第十二章使用使用GuassGuass公式时应注意验证条件公式时应注意验证条件: :2. .取取闭闭曲曲面面的的外外侧侧； ., . 3上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在 RQP是封闭曲面；是封闭曲面； .高等数学第十二章例例 2 2 计算曲面积分计算曲面积分 dSzyx)co

6、scoscos( , ,其中为其中为 锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面 0 z及及)0( hhz 之间的部分的下侧之间的部分的下侧, , cos,cos,cos 是在是在),(zyx处处 的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. . xyzoh dxdyzdzdxydydzx222等等同同于于高等数学第十二章xyDxyzoh 1 解：解： 空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补补充充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构构成成封封闭闭曲曲面面，1 .1 围围成成空空间间区区域域,上上使使

7、用用高高斯斯公公式式在在 11)()()coscoscos(222dSdSdSzyx 高等数学第十二章 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其其中中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)( xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .214h 高等数学第十二章 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 高等数学第十二章.1)(I 322

8、222223222的的外外侧侧面面为为椭椭球球，其其中中求求例例 czbyaxzyxzdxdyydzdxxdydz23222)(zyxxP 解：解：(不能直接用高斯公式不能直接用高斯公式) 令令23222)(zyxyQ 23222)(zyxzR .,22221取取内内侧侧：内内作作小小球球面面在在 zyx 11RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzI0 zRyQxP高等数学第十二章 1310zdxdyydzdxxdydzdxdydz )3(113 dxdydz 123222)()(zyxzdxdyydzdxxdydzdxdydzzRyQxP 434333 11RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzI高等数学第十二章四、小结四、小结2、应用的条件、应用的条件3、高斯公式的实质、高斯公式的实质1、高斯公式、高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)