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文档简介
1、换元定积分换元定积分定理定理 假假设设(1 1))(xf在在,ba上上连连续续;(2 2)函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数;(3 3)当)当t在区间在区间, 上变化时,上变化时,)(tx 的值的值在在,ba上变化,且上变化,且a )( 、b )( , 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、换元公式一、换元公式应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:(1)求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后,不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数,而而只只要要把把新新
2、变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.(2)用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量量t时时,积积分分限限也也相相应应的的改改变变.例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例2 2 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023s
3、insinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例4 4 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20coss
4、inln21221 tt.4 例例 5 5 当当)(xf在在,aa 上上连连续续,且且有有 )(xf为为偶偶函函数数,则则 aaadxxfdxxf0)(2)(; )(xf为为奇奇函函数数,则则 aadxxf0)(.证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为偶函数,则为偶函数,则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数,则为奇函数,则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积几个特殊积分、定积
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