天津津英中学九年级上册期中试卷检测题

1、天津津英中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1 .“父母恩深重，恩怜无歇时"，每年5月的第二个星期日即为母亲行，节日前夕巴蜀中学 学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最 多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评"或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基 础上降价25% ,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨2 "%

2、 ,购买数量和原计划一样："美团"网 29上的购买价格比原有价格下降了二m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在20两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了 £"% ,求出m的值.2【答案】（1）120； （2） 20.【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x8047680,解出即可；解法二：根据单价=总价+数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花 店的最高标价：（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为。个礼盒，表示在“大众点评"5网上的购买实际消费总额：1

3、20。（1-25%）,在“美团”网上的购买实际消费9总额：皿120（1-25%）-元m（l+15m%）：根据"在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了 "m%列方程解出即可.2试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x80W7680 , X4120 ；解法二：768080+0.8=96+0.8= 120 （元）.答：每个礼盒在花店的最高标价是120元：（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：59120x0.8。（ 1 - 25% ） （ 1+ - /n% ） +a120x0.8 （ 1 - 25% ） - -

4、m （ l+15m% ） =120x0.8。（22015591 - 25%） x2 （ 1+ m%），即 72q （ 1+ 二 m% ） +a （ 72 - m ） （ l+15m% ） =144a （ 1+ 2220m% ） z 整理得：0 . 0675m2 - 1.35m=0 , m2 - 20m=0,解得：mi=0 （舍），）2=20 .2答：m的值是20 .点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团实际消费总额是解题关键.2.已知关于x的一元二次方程用一片+。-2?）x+1 =。有两个不相等的实数根.（1）求实数m的取值范围：（2）若原方程的两个实数根

5、分别为内，占，且满足%|+同=2%-15,求？的值.【答案】（1） 7V且加工0； （2） m =- 4【解析】【分析】 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：.A = （1-7）-422>0且m2 w 0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到内+人=也二，2居=加上机V,且团工0,则 nr - nr4可判断王<0, X, <0,所以一玉一X, =2%占15, 一_" =-一5,然后解方程求 出m即可得到满足条件的m的值.【详解】（1）因为方程m2/+（1-2砌犬+1=。有两个不相等的实数根，. = （1一27）一4/>

6、0,解得？:又因为是一元二次方程，所以加2工0，.7。0.，机的取值范围是m v !且? w 0 .42？ （2）,.,为，占为原方程的两个实数根，%+居=2=，占心 =一 广 . nrI2, ？< 一且团工0，%+八=；<0, Mx, =7>0, .e.%, <0, 招 <0.4- nr- 厂: +冈=- 15, -xx -x2 = 2xrv2-15,2ni -12 y11* -s = - - 15, /. 15广27 1 = 0,解胃于I = ， ?）= 一二，nrnr357<1且m力0.町=1不合题意，舍去，435【点睛】此题主要考查一元一次方程的定义

7、和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式 是解题的关键.3.已知关于x的一元二次方程（x-3） （x-4） - m2=0.（1）求证：对任意实数m,方程总有2个不相等的,实数根：（2）若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.【答案】（1）证明见解析；（2） m的值为士&,方程的另一个根是5.【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式=b?-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：*.* （x - 3） （x - 4） - m2=0,Ax2 - 7x+12 - m2=0,.*.= （

8、-7） 2-4 （12- m2） =l+4m2,Vm2>0,.'.>0,，对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根：（2）解,方程的一个根是2,，4 - 14+12 - m2=0,解得 m=±®原方程为x? - 7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值为土6，方程的另一个根是5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关 系是关键.当二b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：当:b?-4ac=0时，方程有两个相等的实数根：当=b?-4acV0时，方程没有实数根.4.如图，在平而直角坐标系中，正方

9、形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正 半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程X? - 7x+12=0的两个根（OA>OB）.（1）求点D的坐标.（2）求直线BC的解析式.（3）在直线BC上是否存在点P,使 PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐 标：若不存在，说明理由.（3）详见解析试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、0B的长度，过点D作DE_Ly于点E,根据正方 形的性质可得AD=AB, Z DAB=90°,然后求出N ABO=N DAE,然后利用“角角边"证明 DAE 和 ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA, AE=OB,

10、再求出0E,然后写出点 D的坐标即可：（2）过点C作CMJ_x轴于点M,同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （HO, k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时， PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时， PCD为等腰三角形，然后求解即可.试题解析：（1） x2 - 7x+12=0,解得 xi=3, xz=4»OA>OB, .0A=4, 0B=3,过D作DE_Ly于点E,正方形ABCD, AD=AB, Z DAB=90%Z DAE+Z OAB=90%Z ABO+Z OAB=90%Z ABO=Z

11、DAE,DEJLAE,/. Z AED=90°=Z AOB, / DE±AEZ AED=90°=Z AOB.: & DAE合 4 ABO (AAS),/. DE=OA=4f AE=0B=3,/. OE=7, D (4, 7):(2)过点C作CM_Lx轴于点M,同上可证得 BCM2 ABO,，CM=0B=3, BM=0A=4f,0M=7,AC (7, 3), 设直线BC的解析式为y=kx+b (HO, k、b为常数)，7左十6二3代入 B (3, 0) , C (7, 3)得，I 3fc+d = 0AV -解得4 ,b = 439(3)存在.点P与点B重合时

12、，Pi (3, 0),考点：1、解一元二次方程：2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质：4、一次函 数5.在等腰三角形248c中，三边分别为。、b、c,其中a=4,若6c是关于x的方程x?- (2k+l) x+4 (k - 1) =0的两个实数根，求8c的周长.2【答案】ABC的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将 k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出ABC的周长：当a=4为底 边长时，由根的判别式=()可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a可得出此种情况不

13、存在.综上即可得出结论.【详解】当。=4为腰长时，将x=4代入原方程，得：舒一4（2攵+ 1） + 4攵- J =0解得=3当 = 3时，原方程为*-6乂+8=0, 2解得：Xi=2, Xz=4,:.此时48C的周长为4+4+2 = 10：当。=4 为底长时， = - （2k+l） F-4X1X4 （k- L ） = （2k-3） 2=0,23 解得：k= ,2，b+c=2k+l=4.b+c=4=Q,此时,边长为a，b, c的三条线段不能围成三角形.，ABC的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三 角形的三边关系，分a为腰长及底边长两

14、种情况考虑是解题的关键.二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6.如图，直线/： y=-3x+3与x轴，y轴分别相交于4 8两点，抛物线y= - x2+2x+b经 过点B.（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点例在第一象限内，连接AM、BM,设点M 的横坐标为m,的面积为S,求S与m的函数表达式，并求出S的最大值：（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点写出点”的坐标；将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线上当直线/'与直线八"重合时停止旋转，在 旋转过程中，直线/'与线段8”交于点C,设点8, /VT到直线厂的

15、距离分别为由，dz,当 di+dz最大时，求直线旋转的角度（即N8AC的度数）.I /c y oc25【答案】（1） y = -x2+2x + 3i （2） S= m- + 二，：（3） 2（2）88AT(H：45。【解析】【分析】(1)利用直线/的解析式求出B点坐标，再把8点坐标代入二次函数解析式即可求出b的 值.(2)设M的坐标为(m, -m2+2m+3),然后根据面积关系将的面积进行转化.(3)由(2)可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值.2可将求d1+dz最大值转化为求AC的最小值.【详解】(1)令 x=0 代入 y= - 3x+3,/y=3>AB (0, 3),把 B

16、 (0, 3)代入 y= - x?+2x+b 并解得：b=3, 二次函数解析式为:y= - K+2x+3.(2)令 y=0 代入 y=-x2+2x+3,A0= - x2+2x+3,Ax= - 1 或3, .抛物线与X轴的交点横坐标为-1和3, 在抛物线上，且在第一象限内，0VmV3,令 y=0 代入 y= - 3x+3,，x=l,.A的坐标为(1, 0),由题意知：M的坐标为(m, -m2+2m+3) > e5 = 5 四边形 OAMB - S«aob = SaOBm+SaoaM - SaaoB= xmx3+xlx (-m2+2m+3) xlx32221 ,5252 28525

17、当m=二时，S取得最大值二.2857（3）由（2）可知：M'的坐标为（彳，-）.设直线r为直线I旋转任意角度的一条线段，过点M，作直线11匕过点B作BFJ_k于点根据题意知：di+dz=BF,此时只要求出BF的最大值即可,VZBFMZ=9O°, ,.点F在以BIVT为直径的圆上， 设直线AIW与该圆相交于点H, 点C在线段BIVT上，.F在优弧5M ' 上， ,.当F与M，重合时，BF可取得最大值，此时BMk,57VA (1, 0) , B (0, 3) , M'(二，-), 24,由勾股定理可求得：AB=Jid，M，A=避E, 44过点M，作MZG，AB于点

18、G,设 BG=x,A由勾股定理可得:MZB2 - BG2=M;A2- AG85 16I OS(V10 -X)5M8BG J?cosZMzBG= , ZMZBG= 45°BM' 2XVZM#BG=ZCBA= 45°AZBAC=45°.【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次 函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键.7.在平面直角坐标系中，点（,均）与（/少）（，。0）称为一对泛对称点. 若点（1,2）,（3,。）是一对泛对称点，求。的值；（2）若尸，。是第一象限的一对泛对称点，过点。作小_Lx轴于点A，过

19、点。作 Q8_L），轴于点4,线段24, QB交于点C,连接A8, PQ ,判断直线A3与尸。的位 置关系，并说明理由：（3）抛物线y = a/+以+。（。0）交丁轴于点。，过点。作x轴的平行线交此抛物线 于点M （不与点。重合），过点"的直线'=。丫 +"与此抛物线交于另一点N.对于 任意满足条件的实数，是否都存在M, N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理 由，并对所有的泛对称点M（Xm，）：w），探究当加时/的取值范围： 若不是，请说明理由.2【答案】（1）-： （2）ABPQ,见解析；（3）对于任意满足条件的实数b,都存在M, N是一对泛对称点的情形，此时对

20、于所有的泛对称点M(xm, y”)，N(xn, y4当yM>yN时,xm的取值范围是xmVI且xmHO【解析】【分析】(1)利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.(2)设P, Q两点的坐标分别为P (p,tq) , Q (q,tp)，根据题干条件得到A (p,0) , B< O,tp) , C (p,tp)的坐标,利用二元一次方程组证出kkz,所以ABPQ.(3)由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标：然后利用二次函数与一元二次方 程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】(1)解：因为点(1, 2) , (3, a)是一对泛对称点，设 3t=22解得t=-32所以 a=

21、txl=-3(2)解：设P, Q两点的坐标分别为P(P,tq) , Q (q,tp),其中。<pq, t>0.因为PA_Lx轴于点A, QB_Ly轴于点B,线段PA, QB交于点C,所以点A, B, C的坐标分别为:A (pQ) , B (O,tp) , C (P/tp) 设直线AB, PQ的解析式分别为：y=kix + bi, y=kzx+b2，其中kik2Ho. 分别将点A (pz0) , B (O,tp)代入y=k1x+bi,得Pk+b =tp > =tp分别将点 P(p,tq) , Q (q,tp)代入 y=kzx + b2,得 *pk、+ =tpk、=TV/ / 解

22、得qk? +b2=tp b2 =tp + tp所以 ki=l<2.所以ABPQ(3)解：因为抛物线y=ax? + bx+c (a<0)交y轴于点D,所以点D的坐标为(0,c).因为DMx轴，所以点M的坐标为(xm,c),又因为点M在抛物线y=ax2+bx+c (a<0)上.可得 axM2+bxM+c=c, BP xm (axw+b) =0.解得xM=0或xm= . a因为点M不与点D重合,即xmHO，也即b/0,所以点M的坐标为(- 2,c) a因为直线丫=2* + 0!经过点M,将点 M ( zc)代入直线 y=ax + m 可得，a- ( ) +m = c. aa化简得m

23、 = b + c所以直线解析式为：y=ax+b+c.因为抛物线y=ax?+bx+c与直线y=ax+b+c交于另一点N, 由 ax2+bx+c=ax+b+c,可得 ax?+ (b a) xb=0.因为= (b a) 2+4ab= (a + b) 2,解得 X1=-2, X2=l.l!|J Xm= , Xn = 1,且 一 一也即 a + brO. aa所以点N的坐标为(l,a + b+c)要使M (-zc)与N (l,a + b+c)是一对泛对称点， a则需 c=t xl 且 a + b+c=tx (). a也即 a + b+c= ( ) -c a也即(a + b) a = (a + b) -c

24、.因为a + b/O,所以当a = -c时，M, N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b,都存在M, N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为(一 一a),点N的坐标为(1力). ab所以M, N两点都在函数y= (b/0)的图象上.x因为aVO,所以当b>0时，点M, N都在第一象限，此时y随X的增大而减小，所以当yM>yN时，0Vxm<1：当b<0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足yM>yN，此时XM<0.综上，对于任意满足条件的实数b,都存在M, N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M (xm，Ym) 9 N (xn/Yn) &

25、gt;当yM>yN时，xm的取值范围是xm<1 I L xm*O.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二 次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.8.如图1,在平面直角坐标系中，。为原点，抛物线），=。储+法+。经过4 & C三 点，且其对称轴为X = l,其中点点3（3,0）.图（1）求抛物线的解析式：（2）如图（1）,点。是直线C3上方抛物线上的动点，当四边形OCX8的面积取最大 值时，求点。的坐标；如图（2）,连接C4,在抛物线上有一点M,满足=请直接写出点2M的横坐标.【答案】 ）,

26、=一冬/+手工+ 5 （2）竽;26-1或氐2【解析】【分析】（1）根据点。（0,6）,点3（3,0）,利用待定系数法，可得函数解析式：（2）先求出直线BC的解析式，当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最 远，此时4BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值，求出b的值代入原式即可得到答案：根据题干条件抛物线上有一点M,满足ZMCB = -ZACO,通过利用待定系数法利用 2方程组求出直线BE的解析式，可得答案.【详解】解：（1）由题意得：'-± = 1< 2a0 = 9a + 3b + y/3解得a二-巫,=毡33（2）设直线BC的解析式为y=kx+J3直线

27、BC过点B （3, 0）,，0=3k+/故直线BC解析式为y=三x+.3设直线m解析式为，=一事工+ ，且直线m直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时4BCD取最大值，故四 边形DCAB有最大值.令3X + b = 一旦2+友+ G333也-30 + 31-3。当 = （-3监）2 - 4 X 6 X （3 - 36）=0 时直线m与抛物线有唯一交点3 代入原式可求得：x =-图（3）过D作DPy轴交CB于点P, ADCB而积=aDPC而积+aDPB而枳,（3 5 存在，点M的横坐标为2JJ-1或JJ+2解题提示：如图3符合条件的直线有两条：CM和CM?（分别在CB

28、的上方和下方）在 RSACO 中，NACO=30。，在 R3C0B 中，NCBO=30°,，NBCMfNBCM2=15° BCE 中，ZBCE=ZBEC2=15°/. BC = BE=26则 E（3 + 2JJ，0）设直线CE解析式为：y = kx +小 0 = （3 + 26）女+6解之得：k=JJ 2 直线 CE 解析式为：），= （JJ-2）x + JJ褥2 2>/J 瓜y =x +x +，3：.y33y = （y/3-2）x + y/3解得：xi=O> X2=2>/3 1/ 在 RtAOCF 中，NCBO=30°, ZBCF=1

29、5°，在 RtACOF 中，ZCFO=45°aoc=of=73AF（73 > 0）.直线CF的解析式为y=-x+x/3V3 , 2730y =-r +x+yJ3AV 33y = -x + y/3解之得：W=0 （舍去），4=#+2即点M的横坐标为：2>/5-1或g+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上 点的坐标特征和二次函数的性质：会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形 性质是解题关键.9.如图，已知抛物），=0?+以+。（4工0）经过点4,8,与）'轴负半轴交于点C,且OC = OB,其中4

30、点坐标为（3,0）,对称轴/为直线x = 1.2求抛物线的解析式：在x轴上方有一点尸，连接24后满足N/A8 = NC4B,记"BC的而积为S,求 当S = 10.5时点尸的坐标在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线5c上下平移，平移后的S = 10.5时点P的坐标：直线y = x+，与抛物线交于C',8'两点（U在8'的左侧），若以点 C',8',P为顶点的三角形是直角三角形，求出，的值.【解析】【分析】（1）确定点A的坐标，再进行待定系数法即可得出结论：（2）确定直线AP的解析式，用?表示点P的坐标，由而枳关系求S和机的函数关系

31、式 即可求解；（3）先确定点P的坐标，当N8/C” = 90'，利用根与系数的关系确定B'C"的中点E的 坐标，利用8'C' = 2PE建立方程求解，当NPC"8" = 90时，确定点G的坐标，进而求 出直线C"G的解析式，得出点C"的坐标即可得出结论.【详解】（1）V OC = OB,且 8 点坐标为（3,0）,。点坐标为（。，-3）.设抛物线解析式为y = a（x - ；尸+ k .八 25,10 =a+ ka =将3、C两点坐标代入得'，解得1.-3 = -a + kk = -48抛物线解析式为），

32、=?*_1）2_= = 2%2_!工_3. 22822（2）如图1,设AP与）'轴交于点C'.V ZPAB = ZCAB, OA = OA, ZAOC = ZAOC = 90°,，A4OC g AAOC',OC = OC' = 3,:.C'（0,3）.A A(-2,0), 3 ，直线AP解析式为y = X+3,.8(3,0), C(0,-3),，直线8c解析式为)，=r3,31:.PF =一工 + 3 一 (工-3) = x + 6 ,2213:.Sysc = OBxPF = x + 9 ,3VS = 10.5,，二x + 9 = 10.5,

33、4x = 2.此时。点的坐标为(2,6).（3）如图2,由3X1-2 3 - 4.2 TX X1-2 3-2= =得P(6/2),当NC'P3'=90。时，取8c的中点E，连接。石.则 B'C' = 2P七，即 Bl'? = 4PE2 .设8'（西，凹）,。'（占）.由，得 /一31一(2/ + 6) = 0,I 2 1公 y = -x -x-3 22y = x + t，* += 3, 2占=一(2/ + 6),3 3点叼”，B'C' =(-2)2+(>',->'2)2 =2(x1-x2y =2

34、 (x +x2)2 -4x,x2 = 16/+ 66 ,PE2 =(6-)2 +(12-r)2 =t2 -2U + , 2220 A116/ + 66 = 4(r-21r + -),解得：，= 19或6 (舍去)，当NPC"8" = 90。时，延长C”产交8C于，交x轴于G.则 ZBHG = 90。, N尸GO = 45° , 过点P作PGLx轴于点。，则GQ = PQ = 12,J G(18,0),直线CG的解析式为y = -x +18 ,fx = -7 fx = 6得y = 25 或)，= 12(舍去)，I 2 1公 y = -x - -x-3 22y = -

35、x+18 ，C(-7,25),将 C*(-7,25)代入 y = x+f 中得/ = 32.综上所述，的值为19或32.【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系 数的关系、直角三角形的性质，属于二次函数综合题.10.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知二次函数y = "x2+x + c (其中。、b、c 是常数，且。工0)的图像经过点4 (0, -3)、B (1, 0)、C (3, 0),联结A8、AC.(1)求这个二次函数的解析式：(2)点。是线段47上的一点，联结8D,如果%皿：5士.0=3：2,求tanN。8c的值:(3)如果点E

36、在该二次函数图像的对称轴上，当4C平分N8AE时，求点E的坐标. y37【答案】(1)y = x-+4x 3： (2) ； ( 3) E (2 > )23【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；(2)过点。作OH_L8c于H,在ABC中，设AC边上的高为6,利用面积的比得到An 3然后求出DH和BH,即可得到答案；(3)延长AE至x轴，与x轴交于点F,先证明AOABs OFA,求出点F的坐标，然后求 出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：(1)将 A (0,-3)、B (1, 0)、C (3, 0)代入 y = 0+6式 +

37、63;<4=0)得，0 = a + - 3,< 0 = 9。+ 3/? - 4,-3 = 0 + 0 + ca = -解得卜=4 , c = -3，此抛物线的表达式是：y = -x2+4x-3.(2)过点D作DH±BC于H,yS'版）:=（； 40 .的:（1dC/:） = AD:£）C = 3:2,又；DHy轴，CH DC DH 21 -_= _碇一就一在一丁V0A=0C=3,则 NACO=45° ,2 .CDH为等腰直角三角形，26：.CH = DH =-x3 = -.6 4:.BH = BC - CH = 2=-.5 5DH 3 tan

38、N DBC=.BH 2（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F,0A=0C=3,，ZOAC=ZOCA=45",Z0AB=Z0AC- ZBAC=45°- /BAC, Z0FA=Z0CA- ZFAC=450- NFAC,NBAONFAC,AZ0AB=Z0FA.AAOAB- OFA,OB OA 1 "OAOF3'，OF=9,即 F (9, 0)：设直线AF的解析式为rkx+b (HO),0 = 9k+b一3一解得k=-3 , b = 3直线AF的解析式为：y = -x - 3 f7 将x=2代入直线AF的解析式得：y = -Q,【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性

39、质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角 三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关犍是掌握二次函数的图像和性质， 以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11.如图 1，在 RtZXABC 中，ZA = 90°. AB = AC,点、D，E 分别在边 A8，AC 上，AD = AE,连接DC ,点、M，P，N分别为OE, DC, 8c的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是（2）探究证明：把AD石绕点力逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN, BD,CE,判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把石绕点A在

40、平而内自由旋转，若A£>=4, AB = 0,请直接写出 PMN而积的最大值.49【答案】（1） PM = PN . PM SN ； （2 ）等腰直角三角形，见解析：（3）2【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又AABC为 等腰直角三角形，AD=AE,所以得PN=PM,且互相垂直：（2）由旋转可推出再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN,再利 用角度间关系推导出垂直即可：（3）找到而积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM,且PM_LPN,利用三角形而积 公式求解即可.【详解】（1） PM = PN, PM LPN ；

41、已知点M, P, N分别为OE, DC, 8c的中点，根据三角形的中位线定理可得PM=、EC, PN = -BD, PM "EC, PNHBD 22根据平行线性质可得ZDPM = ZDCE, ANPD = ZADC在 RtAA5c 中，ZA = 90°, AB = AC , AD = AE可得 8D = EC, ZDCE + ZADC = 90。即得尸M = PN, PM LPN故答案为：PM = PN , PM LPN .（2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得ABAD = ZCAE,又AB=AC, AD=AE BADACAE：.BD = CE, ZABD = ZAC

42、E,.点M，。分别为。石，OC的中点PM是MCE的中位线:.pm =、CE,且 pmhce, 2同理可证PN = 28。，且PN"BD2:,PM = PN, ZMPD = 4ECD, /PNC = /DBC,. ZMPD = ZECD = ZACD+ZACE = ZACD+ZABD,ZDPN = ZPNC+/PCN = ZDBC+ZPCN, ZMPN = ZMPD + ZDPN = ZACD+ZABD+ZDBC+4PCN = ZABC+NA CB = 90。即PMN为等腰直角三角形.（3）把母山石绕点A旋转的如图的位置，且PN、PM的值最长，由（2）可知PM = PN, PM LPN

43、所以"A/N面积最大值为!x7x7 =22【点睛】 本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的 判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.12.在AAOB中，C, D分别是OA, 0B边上的点，将 OCD绕点0顺时针旋转到 OCD.（1）如图1,若NAOB=90。，OA=OB, C, D分别为OA, OB的中点，证明：AOBD"；ACBD'：（2）如图2,若 AOB为任意三角形且N AOB=8, CDII AB, AC与BD咬于点E,猜想 NAEB二。是否成立？请说明理由.【答案】（1）证明见解

44、析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得出OOOC, OD=OD Z AOC=Z BOD证出OC=OD由SAS证明 AOC£ BOD，得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出N OAU=N OBA,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出 Z BEA=90°,即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OU, OD=ODS Z AOC=Z BOD%由平行线得出比例式,得出2 = 曳，证明 AOC： BODZ,得出N OAC=N OBD，再由对顶角相 OA OB 0Dl OB等和三角形内角和定理即可得出N AEB=0.试题解析：(1)证明： OCD旋转到

45、OCD,?. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BOD / OA=OB, C、D 为 OA、OB 的中点，/. OC=OD, . OC=ODOA = OB在aAOCflA BOD，中，1A3:二攵四。，OCr = OD1/. AOCQ BODZ (SAS), , AC'=BD'；延长AU交BD吁E,交BO于F,如图1所示：,/ AOC'合 BODS/. Z OAC=Z OBD又NAFO=NBFE, Z OAC+Z AFO=90%/. Z OBD'+N BFE=90°, Z BEA=90°, , ACXBD"；(2)解：NAEB

46、二。成立，理由如下：如图2所示： OCD 旋转到 OCD,/. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BODCDII AB,OC OD 怎一次OC OD1 _ .万一诲0C OA ,而一请又N AOC=Z BOD . AOC's BODSZ OAC=Z OBDS又N AFO=Z BFE,/. Z AEB=Z AOB=0.考点：相似三角形的判定与性质：全等三角形的判定与性质：旋转的性质.13.如图，aABC和aDEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE, F 为线段AD的中点，连接CF.（1）如图1,当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是；（2）如图2,把ADEC

47、绕C点顺时针旋转90。，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然 成立？请说明理由：（3）如图3,把ADEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（2）中的关系是否 仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，清写出相应的正确的结论并加以证明.【答案】（1）BE=2CF；（2） （1）中的关系是仍然成立，理由见解析：（3 ） （1）中的 关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明4CD乌8CE,可得4）=8日又因为4）=26,从而BE=2CF；（2）由点F是4。中点，可得4D=2DF,从而4c= 2DF+CD,又由A8C和CD£是等腰直角 三角形，可知 8L2

48、DF+CE,所以 8E=2 （DF+CE） , CF= DF+CD,从而 8E=2CF；（3 ）延长 CF 至 G 使 FG=CF,即：CG=2CF,可证再证明8CEgA4CG, 从而BE=CG=2CF成立.解：（1 ） :ABC是等腰直角三角形，AAC=BC ,VACDE是等腰直角三角形，ACD=CE ,(AC=BC在4ACD 和ABCE 中，NACD二NBCE二90° , CD=CEAAACDABCE ,，AD二BE,在RtaACD中，点F是AD中点，AAD=2CF ,ABE=2CF ,故答案为BE=2CF ；(2) (1)中的关系是仍然成立，理由：点F是AD中点，AAD=2DF

49、 ,AAC=AD+CD=2DF+CD ,V AABC llACDE是等腰直角三角形， AAC=BC , CD=CE ,ABC=2DF+CE ,A BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2 ( DF+CE ),VCF=DF+CD=DF+CD ,ABE=2CF ；(3) (1)中的关系是仍然成立，理由：如图3, 延长 CF 至 G 使 FG=CF,即:CG=2CF f点F是AD中点，AF=DF ,(DF=AFCDF 和4GAF 中，I NCFD二NGFA, CF 二GFAACDFAGAF ,AAG=CD=CE , ZCDF=ZGAF fA ZCAG=ZCAD+ZGAF=ZCAD+ZADC=180&

50、#176; - ZACD , VZACB=ZDCE=90° zAZBCE=3600 - ZACB - ZDCE - ZACD=180° - ZACD , AZCAG=ZBCE , 连接BE ,rBC=AC 在aBCE Iaacg 中，, ZBCE=ZCAG ,CE=AGAABCEAACG , ABE=CG=2CF , 即：BE=2CF .点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质， 考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答 本题的关键.14. (1)问题发现如图1,ZkACB和DCE均为等腰直角三角形,

51、NACB=90° BCD在一条直线上.填空:线段AD.BE之间的关系为:(2)拓展探究如图2,AACB和DCE均为等腰直角三角形,NACB=NDCE=90° ,请判断AD.BE的关系，并 说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到 线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】(1) AD二BE, AD1BE. (2) AD=BE, AD±BE. (3) 5-3点PCW5+3点.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证ACDgZiBCE (SAS),得AD=BE,

52、 ZEBC=ZCAD,延长BE 交AD于点F,由垂直定义得AD_LBE.(2 )根据等腰三角形性质证ACDgBCE (SAS) , AD=BE, ZCAD=ZCBE,由垂直定义得NOHB=90°, AD_LBE；(3)作 AE_LAP,使得 AE=PA,则易证APEgZkACP, PC=BE,当 P、E、B 共线时，BE 最 小，最小值=PB-PE：当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE,故5-3&WBEW5+3立.【详解】(1)结论：AD=BE, AD±BE.理由：如图1中，A图1,/ACB与adce均为等腰直角三角形，AC=BC, CE=CD,ZACB

53、=ZACD=90°,在 RtAACD 和 RtABCE 中AC=BCZACD=ZBCECD=CEAAACDABCE (SAS),，AD二BE, ZEBC=ZCAD延长BE交AD于点F,BCJ_AD,.ZEBC+ZCEB=90",VZCEB=AEF,AZEAD+ZAEF=90",AZAFE=90% RP AD1BE.，AD二BE, AD±BE.故答案为AD=BE, AD1BE.(2)结论：AD=BE, AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H, AD交BC于0.VAACB与4DCE均为等腰直角三角形,，AC=BC, CE=CD, ZACB=Z

54、ECD=90", ，ACD=NBCE,在 RtAACD 和 RtABCE 中AC=BC ZACD=ZBCE, CD=CEAAACDABCE (SAS),'AD=BE, NCAD二NCBE,V ZCAO+ZAOC=90% ZAOC=ZBOH,AZBOH+ZOBH=90%AZOHB=90",A AD± BE,AAD=BE, AD±BE.大E工图1图2 '(3)如图3中，作AE_LAP,使得AE=PA,APC=BE,图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，I图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，点 ，53 点 VBEW5+3 人，HP 5

55、-3 & <PC<5+3 点.贝 IJ 易证APEg/VXCP,更小值二PBPE=5-3点, 支大值=PB+PE=5+3及，03-1E'Er【答案】（1）证明见解析（2） 45° 或 22.5° （3） 2 JJ-2WPQW4JJ+2【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE,再经过简单计算求出角，判断出 ADEABt即可：（2）先判断出AEB，TZAE，D,再根据旋转角和图形，判断出 NBABNDAB'即可；（3）先判断出点Q的位置，PQ最小时和最大时的位置，进行计算即 可.【详解】解：（1）如图1,连接AC, B(, 四边形ABCD是正方形，AB二AD, AC±BDt AC=BD=20A, NCAB=ADB=45°,VAE=BD,AAC=AE=20A,在 R3A0E 中,NAOE=90°, AE=2OA,AZE=30%，ZDAE=ZADB-ZE=45o-300=15%由旋转有，AD=AB=AB/ZBA