大学物理第四章狭义相对论基础

1、第四章第四章 狭义相对论力学基础狭义相对论力学基础相对论由相对论由爱因斯坦爱因斯坦创立，包括两大部分：创立，包括两大部分：1.1.狭义相对论狭义相对论（Special Relativity）（19051905）揭示了时间、空间与运动的关系。揭示了时间、空间与运动的关系。揭示了时间、空间与引力的关系。揭示了时间、空间与引力的关系。2.2.广义相对论广义相对论（general relativity） （1915-19161915-1916） 相对论严格地考察了时间、空间、物质和运动相对论严格地考察了时间、空间、物质和运动这些物理学的基本概念，给出了科学而系统的时这些物理学的基本概念，给出了科学而系

2、统的时空观和物质观，从而使物理学在逻辑上成为完美空观和物质观，从而使物理学在逻辑上成为完美的科学体系。的科学体系。 1.1.表述：描述力学现象的规律不随观察者所选的表述：描述力学现象的规律不随观察者所选的惯性系而改变，或者说，研究力学规律时一切惯惯性系而改变，或者说，研究力学规律时一切惯性系都是等价的性系都是等价的。2.2.力学规律在所有惯性系中相同数学表达形式。力学规律在所有惯性系中相同数学表达形式。一、一、 力学相对性原理力学相对性原理3.3.时间和空间都是绝对的，无关联的。时间和空间都是绝对的，无关联的。4-1 4-1 力学相对性原理力学相对性原理 伽利略变换伽利略变换-伽利略相对性原理

3、伽利略相对性原理二、伽利略变换二、伽利略变换在在S S系中：（系中：（x x、y y、z z、t t）在在S S系中：（系中：（x x 、y y 、z z 、t t ）设设S S系和系和S S 系都是惯性参照系，且：系都是惯性参照系，且：S S 系相对于系相对于S S系沿系沿x x轴以速度轴以速度u u 运动，运动，开始时开始时t t= =t t =0=0坐标原点坐标原点O O和和O O 重合。重合。 在参考系中发生的一个物理事件要用四个坐标在参考系中发生的一个物理事件要用四个坐标 （x x、y y、z z、t t）来描述。来描述。S系系S系系xxOzy P（ x，y，z，t） （x，y，z，

4、t ）yzOurr ttzzyyutxx 1.1.伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式-伽利略逆变换伽利略逆变换xxut yy zz tt 2.2.伽利略速度变换式伽利略速度变换式伽利略变换的矢量形式：伽利略变换的矢量形式：ttturr vvuS系系S系系xxOzy P（ x，y，z，t） （x，y，z，t ）yzOurr aa3.3.伽利略加速度变换式伽利略加速度变换式FF mm FmaFm a 在牛顿力学中在牛顿力学中力与参考系无关：力与参考系无关：质量与运动无关：质量与运动无关：若若S S和和S S 系都是惯性系，牛顿定理应该有：系都是惯性系，牛顿定理应该有：三、力学的相对性原理三、力学的相

5、对性原理 牛顿第二定律在惯性系牛顿第二定律在惯性系S S系和惯性系系和惯性系S S 系中具有系中具有相同的形式，或者说相同的形式，或者说。四、经典力学时空观四、经典力学时空观lS系系S系系xxOzyyzOu 棒长为棒长为l,l,静止放在静止放在S S系中，分别在系中，分别在S S系和系和SS系系中测量其长度：中测量其长度：在在S S系中测得：系中测得：212212212)()()(zzyyxxl tt 在在SS系中测得：系中测得：222212121()()()lxxyyzz222212121)()()xutxutyyzz（222212121()()()xxyyzzl 一切惯性系中测得的长度都是

6、相同的，即一切惯性系中测得的长度都是相同的，即，与参照系无关。，与参照系无关。 由牛顿定律推导出来的其它力学定律也必然在由牛顿定律推导出来的其它力学定律也必然在所有惯性系中都具有相同的形式。所有惯性系中都具有相同的形式。 即在所有惯即在所有惯性系中力学定律都具有相同的形式，或者说在伽性系中力学定律都具有相同的形式，或者说在伽利略变换下形式不变。利略变换下形式不变。 在一个孤立系统内（如一条封闭的船舱里），在一个孤立系统内（如一条封闭的船舱里），人们不能根据所发生的任何力学现象来判断所处人们不能根据所发生的任何力学现象来判断所处系统是静止的还是作匀速直线运动。系统是静止的还是作匀速直线运动。-力

7、学的相对性原理力学的相对性原理即：在任何惯性系中力学定律都具有相同的形式即：在任何惯性系中力学定律都具有相同的形式1.1.麦克尔逊的电磁波预言麦克尔逊的电磁波预言，并指出其速率各向均并指出其速率各向均为为c c ( (真空中真空中) )；18881888年赫兹在实验上证实了电磁年赫兹在实验上证实了电磁波的存在。波的存在。2.2.迈克尔逊迈克尔逊- -莫雷实验莫雷实验一、牛顿力学的困难一、牛顿力学的困难4-2 4-2 狭义相对论原理狭义相对论原理 洛仑兹变换洛仑兹变换M1单单色色光光源源12uM22 Nd G1G2 光在真空中沿各个方光在真空中沿各个方向传播的速度都相等。向传播的速度都相等。 光

8、或电磁波的运动不光或电磁波的运动不服从伽利略变换服从伽利略变换。在所有惯性系里，一切物理定律都相同。在所有惯性系里，一切物理定律都相同。即：具有相同的数学表达式。即：具有相同的数学表达式。所有惯性系都是等价的。所有惯性系都是等价的。 在一切惯性系里，光在真空中沿各方向传播的在一切惯性系里，光在真空中沿各方向传播的速度都相等，与光源和观察者的运动无关。速度都相等，与光源和观察者的运动无关。 这两条原理只涉及惯性系，相对论的这部分内这两条原理只涉及惯性系，相对论的这部分内容称为容称为狭义相对论，狭义相对论，它们是狭义相对论的基础。它们是狭义相对论的基础。 S系相对于系相对于S系沿系沿ox轴以速度轴

9、以速度u匀速运动匀速运动; ;S系系S系系x xO zyyzOu三、洛仑兹变换三、洛仑兹变换()xk x utyy 此外：zz 两坐标系的规律描述满足相两坐标系的规律描述满足相对性原理对性原理, , 必有线性关系：必有线性关系：( )xk xut0tt时刻两原点重合。时刻两原点重合。S S系和系和S S系应等价，方程应具有相同的形式，即系应等价，方程应具有相同的形式，即k=kk=k，则：，则：)(utxkx )(t uxkx （1）设设t=tt=t=0=0时，由时，由O O点与点与O O点的重合点发出一光脉点的重合点发出一光脉冲信号沿冲信号沿x x轴正向传播，当光到达同一位置时，根轴正向传播，

10、当光到达同一位置时，根据据，在两坐标系中应有：，在两坐标系中应有：ctx （2）t cx 2()()xxkx ut xut2xxc tt方程（方程（1 1）两式相乘得：）两式相乘得：方程（方程（2 2）两式相乘得：）两式相乘得：22()()kxutxutc tt22()()kctut ctutc tt22()()k tt cu cuc tt222222211()11cukucucc其中：)(112cuk 将将k k值代入方程（值代入方程（1 1）中得两坐标间的变换关系：）中得两坐标间的变换关系：2211xutxutxx ，上面两式消去上面两式消去x x或或xx得时间之间的变换关系：得时间之间的

11、变换关系：222211uutxtxcctt ，洛仑兹洛仑兹正变换正变换两坐标间的变换关系：两坐标间的变换关系：221xutxuc yy zz 2221utxctuc 洛仑兹洛仑兹逆变换逆变换由洛仑兹变换可知，由洛仑兹变换可知，而是有着密切的联系而不可分割的。，而是有着密切的联系而不可分割的。221xutxucyyzz2221utxctucttzzyyutxx ttzzyytuxx 即即。可见洛仑兹变换有更为普遍的意义。可见洛仑兹变换有更为普遍的意义。 2211uc当当 时，时，洛仑兹变换可以简化为伽洛仑兹变换可以简化为伽利略变换：利略变换：uc21 当当 u c 时时 为虚数，洛仑兹变换失去意

12、义。为虚数，洛仑兹变换失去意义。所以任何物体的速度都不能大于光速所以任何物体的速度都不能大于光速c c, ,。任意两事件在系和任意两事件在系和系时空间隔变换关系：系时空间隔变换关系：21221211xu txxxxu txxx ，2212221211utxctttutxcttt ，xdxdxdtvdtdtdt22211 xcuttzzyyutxx22211 xcuttzzyytuxx221()(1)1xxuvuvc由洛仑兹正变换和洛仑兹逆变换由洛仑兹正变换和洛仑兹逆变换四、洛仑兹速度变换法则四、洛仑兹速度变换法则22211()(1)11dxudxudtcdt整理后得：整理后得：21xxxvuv

13、uvcydydydy dtdtdtdt dtv2211yxvuvc同理可得：同理可得：221(1)1yu dxvc dt22(1)1xyvuvc21xxxvuvuvc2211yyxvvucv2211xzzvvuvc逆逆变变换换21xxxvuvuvc2211yyxvvuvc正正变变换换所以洛仑兹速度变换法则为：所以洛仑兹速度变换法则为： 2211zzxvvuvc可见：相对运动的两惯性系中所测得的运动物可见：相对运动的两惯性系中所测得的运动物体的速度，不仅在相对运动的方向的分量不同，体的速度，不仅在相对运动的方向的分量不同，而且在垂直于相对运动方向的分量也不同。而且在垂直于相对运动方向的分量也不同

14、。由洛仑兹速度变换法则可求得光速在一切惯由洛仑兹速度变换法则可求得光速在一切惯性系中均不变：性系中均不变： 21xxxxvucuvcvccucuvc 若若则则这是必然的结果。因为洛仑兹变换式就是由两这是必然的结果。因为洛仑兹变换式就是由两个基本原理（相对性原理和光速不变原理）求得个基本原理（相对性原理和光速不变原理）求得的。反过来，由它得到的速度变换法则，当然是的。反过来，由它得到的速度变换法则，当然是符合光速不变原理。符合光速不变原理。例题例题 地球上一短跑选手以地球上一短跑选手以1010s s的时间跑完的时间跑完100100m m，试问与运动员同向运动的宇宙飞船试问与运动员同向运动的宇宙飞

15、船S S系系( (u=0.6c)u=0.6c)的观测者测得该选手跑了多少距离，经历了多长的观测者测得该选手跑了多少距离，经历了多长时间？时间？100 ,10 xmts 922()2.25101xutxmuc 222()12.51uxtctsuc 解：选地球为解：选地球为S S系，宇宙飞船为系，宇宙飞船为S S系；对运动员系；对运动员短跑这一事件，在短跑这一事件，在S S系中观察系中观察在在S S系中系中有两架飞机以有两架飞机以300300m/sm/s的速度各奔东西。试的速度各奔东西。试用伽俐略变换和洛仑兹变换计算用伽俐略变换和洛仑兹变换计算B B机相对于机相对于A A机的机的速度。速度。例题例

16、题解：选地为解：选地为S S系，系，A A机为机为S S系，系，B B机为物体，本题机为物体，本题相当于已知相当于已知u=300m/s,vu=300m/s,vx x= = 300m/s300m/s由伽俐略变换由伽俐略变换由洛仑兹变换由洛仑兹变换低速时，两者实际上没有差别低速时，两者实际上没有差别smuvvxx/6004216600600/9 10119 10 xxxvuvm sv uc 一、同时的相对性一、同时的相对性4-3 4-3 狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观x2ss 粉粉笔笔落落地地小小球球落落地地ut1t2x1事件事件1 1（x x1 1，t t1 1）事件事件2 2（x x2

17、2，t t2 2）S S 系中：系中：同时发生：同时发生：t t1 1= =t t2 2 问题问题1 1：在在S S 系中不同位置系中不同位置x x1 1 x x2 2同时发生两个物同时发生两个物理事件，理事件，在在S S 系中观察是否系中观察是否同时发生同时发生？在在S S 系中：系中：21212212()1uttxxctt2122()01uxxcx2ss 粉粉笔笔落落地地小小球球落落地地ut1t2x1事件事件1 1（x x1 1 ，t t1 1 ）事件事件2 2（x x2 2 ，t t2 2 ）2212112()1xxu ttxx21201xx可见：可见：在一惯性系中不同地点同时发生的两事

18、件在另在一惯性系中不同地点同时发生的两事件在另一惯性系中必不同时发生在不同地点。一惯性系中必不同时发生在不同地点。在一惯性系中同一地点同时发生的事件在另一在一惯性系中同一地点同时发生的事件在另一惯性中观测时必同时同地发生。惯性中观测时必同时同地发生。21212212()1uttxxctt0 问题问题2 2：在在S S 系中不同位置系中不同位置x x1 1 x x2 2发生的两个物理发生的两个物理事件，事件，在在S S 系中观察是否系中观察是否时间次序会颠倒时间次序会颠倒？21212212()1uttxxctt对于两无关联的独立对于两无关联的独立事件（不同时、不同地）事件（不同时、不同地） 若在

19、若在S S系系 ，即，即S S系中观测事件系中观测事件1 1先于事件先于事件2 2发生，对于不同地点发生，对于不同地点210tt21xx可以可以21tt000 对于有联系的事件（有因果关联的事件）时序对于有联系的事件（有因果关联的事件）时序不会颠倒。不会颠倒。21221212211xxucttttvc2121221221uttxxcttvc因为因为2121xxctt则则 与与 同号；同号；21tt21tt即：不改变相关事件发生的先后顺序。即：不改变相关事件发生的先后顺序。 例：时序与因果律例：时序与因果律事件事件1（开枪（开枪）：）： （ x1 ， t1）事件事件2（鸟死）：（鸟死）： （ x

20、2 ， t2）S 系中：系中：时序时序: 两个事件发生的时间顺序。两个事件发生的时间顺序。时序：时序： t2 t1，先开枪，后鸟死。先开枪，后鸟死。事件事件1（开枪（开枪）：）： （ x 1 ， t 1）事件事件2（鸟死）：（鸟死）： （ x 2 ， t 2）S 系中：系中：时序：时序： t 2 - - t 1=？是否会出现是否会出现“后开枪，鸟先死后开枪，鸟先死”？子弹子弹v（ x2 ， t2）（ x1 ， t1）S 系中：系中：212111 xcutt222221 xcutt212212121)( xxcutttt212212121)()(1)( ttcxxutt11212 2cvvutt

21、xx，是子弹（信号）的速度是子弹（信号）的速度因为因为所以：所以： t 2 - - t 10，依然是依然是“先开枪，后鸟死先开枪，后鸟死”？ 物体沿物体沿X X轴轴放置放置静止于静止于S S系中，系中，测得长度测得长度l l0 0 （） S S系相对于系相对于S S系沿系沿oxox轴以速度轴以速度u u匀速运动匀速运动; ;在参照在参照系系S S中测得的物长中测得的物长021lxx21lxx二、空间的相对性二、空间的相对性 （长度收缩）（长度收缩）210212211xutxutlxx在在S S系中须系中须同时测量同时测量2102121xxlxx201ll 0l 注意：注意： 长度收缩效应只发生

22、在有相对运动的方向上。长度收缩效应只发生在有相对运动的方向上。 在相对于物体静止的参照系中测得的物体长度，在相对于物体静止的参照系中测得的物体长度，是测得物体长度的最大值；在相对于物体运动的是测得物体长度的最大值；在相对于物体运动的惯性系中测得物体的长度沿运动方向缩短了。惯性系中测得物体的长度沿运动方向缩短了。21ll运动静止S S 32xuc 若若S S 系相对系相对S S系的运动速率为系的运动速率为 ，在，在S S 系中棒长为系中棒长为l l =1m=1m，与与x x 轴间夹角为轴间夹角为 =45=45，求在，求在S S系中测得此棒的长度及棒与系中测得此棒的长度及棒与OxOx轴的夹角。轴的

23、夹角。例题例题解：在解：在S S 系中棒在系中棒在x x 轴和轴和y y 轴上的分量分别为：轴上的分量分别为：cosxllS 在在S S系中看：系中看：y y向不变，向不变，x x向缩短了：向缩短了：sinyylll221cos1xxlllSsinyll所以棒长为所以棒长为22221cosxyllll3 2110.7904 4m 棒与棒与x x轴间的夹角：轴间的夹角：2sintancos1yxllll2tan2163 27同样的：同样的：S S三、时间间隔的相对性（时间膨胀或时钟变慢）三、时间间隔的相对性（时间膨胀或时钟变慢）a.SduxxS在在S S系中同一位置系中同一位置X X发生的两个物

24、理事件：发生的两个物理事件：事件事件1:1:青蛙出生青蛙出生 （d d, ,t t1 1）事件事件2:2:青蛙死亡青蛙死亡 （d d, ,t t2 2）相距的时间为相距的时间为t t（210ttt S S系相对于系相对于S S系沿系沿oxox轴以速度轴以速度u u匀速运动匀速运动; ;在在S S 系中观察系中观察12121utxct 22221utxct 21212211tttttt 0 同一事件（比如时钟的秒针走动一步），在相同一事件（比如时钟的秒针走动一步），在相对于时钟静止的惯性系中看时间间隔要短一些，对于时钟静止的惯性系中看时间间隔要短一些，而相对于时钟运动的惯性系中看时间间隔长一些而

25、相对于时钟运动的惯性系中看时间间隔长一些（时间延迟），（时间延迟），即运动的时钟走得较慢。即运动的时钟走得较慢。例题例题 宇宙飞船以宇宙飞船以 u = 0.9998cu = 0.9998c相对地球运动，飞相对地球运动，飞船上的人生活了船上的人生活了1 1年，地球上看那人生活了多久？年，地球上看那人生活了多久？02215011 (0.9998)t 年 即天上即天上1 1年，地上年，地上5050年。反过来，地球上的人生年。反过来，地球上的人生活了活了1 1年，飞船上看此人也是生活了年，飞船上看此人也是生活了5050年。这就引年。这就引出了双生子问题，叫出了双生子问题，叫，也叫时钟佯谬。，也叫时钟佯

26、谬。 实验值：实验值：绕地球一周绕地球一周的运动钟变慢：的运动钟变慢： 203 2031010nsns理论值：理论值：运动钟变慢：运动钟变慢： 18418423 23 nsns实验值和理论值在误实验值和理论值在误差范围内是一致的。差范围内是一致的。实验验证了孪生子实验验证了孪生子效应确实是存在的。效应确实是存在的。 1971 1971年，美空军用两组年，美空军用两组CsCs（铯）原子钟作实验。铯）原子钟作实验。 4-4 4-4 狭义相对论质点动力学狭义相对论质点动力学一、质量与速度的关系一、质量与速度的关系 在经典力学中，牛顿第二定律在经典力学中，牛顿第二定律F = = ma 中质中质量量m是

27、一常数与速度无关。若在恒力作用下，是一常数与速度无关。若在恒力作用下，恒定加速度将使物体速度趋于无穷大，恒定加速度将使物体速度趋于无穷大，。 物体的质量物体的质量m 随其速率随其速率v v按按相对质量公式相对质量公式变化，变化，则经典的动量原理仍然有效。则经典的动量原理仍然有效。 021mmvc220)(1cvvv mmp)(1(20cvvvv mdtddtdmdtdmdtpdFamdtdmmdtdF000)( vv以以v v运动的物体的动量为：运动的物体的动量为：牛顿第二定律的形式：牛顿第二定律的形式：v c 时有时有 m=mm=m0 0 则则二、相对论力学的基本方程二、相对论力学的基本方程三、质量和能量的关系三、质量和能量的关系设自由质点，在某惯性系中的静止质量为设自由质点，在某惯性系中的静止质量为m m0 0，当质当质点在外力点在外力F F 的作用下位移的作用下位移dsds时，动能的增量为：时，动能的增量为：kdEF dsFdtv由动量定理由动量定理()Fdtd mv()( )()kdEd md mm d vvv vvv11( )()()22dddd 2vvv vvv vkdEdmm d动能的增量为：2vv v021( / )mmc v2222220m cmm c可得：v2