全等三角形培优讲义

1、全等三角形常见辅助线作法精准诊查【知识导图】概念三边之和大于等于第三边稳定性高与三角形有关的线段中线角平分线三角形与三角形有关的角三角形内角和定理三角形的外角性质直角三角形判定多边形及其内角和【导学】全等三角形第一部分：知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” .3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性

2、质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、 倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用 三角形面积的知识解答.第二部分：例题剖析一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线AD的取值范围是 例2、如图， ABC中，E、F分别在

3、 AR AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD! AC2、如图，AC/ BD, EA,EB 分别平分/ CAB,/DBA CD过点 E,=AC+BDB求证;AB3、如图，已知在VABC内,BAC 60 , C 40°, P,Q分别在 BC CA上，并且 AP, BQ别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCM,BO BA,AA CD BD

4、平分 ABC ,求证： A C 180°A5、如图在 ABC中，AB> AC /1 = /2, P为 AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PCA应用:如图.在四辿号AHCD中川口/口配点E是加 上一个动戊，若ZJf二60二他二M, n. / DEC =60,判联")f4g H鹘的关系并出明你的结论.跖、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MNLh一点， ABC周长记为PA, EBC周长记为PB.求证 Pb > Pa.例2如图，在 ABC的边上取两点 D E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线

5、造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=602、如图， ABC中，AD平分/ BAC(1)说明BE=CF的理由；(2)如果, ABC的角平分线AD,CE相交于点Q求证：OE=ODDDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E, D。AC于 F.AB=a , AC=b ,求 AE、BE 的长.五、旋转例1正方形 ABCM, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.例2如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 1200,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点M交AC于点N连接MN则 AMN的周长为；例3 设点E、F分别在正方形

6、 ABCD勺边BG CD上滑动且保持/ EAF=46,AP)± EF于点 P,(1) 求证：AP=AB (2)若 AB=5,求 A ECF的周长。R变式练习1、如图所示，正方形 ABCM BC边上有一点E, / DAE的平分线交CD于F,试用旋转的思想方法说明 AE=DF+BE3. (1)如图 11-1, 4ADE中，AE=AD且/ AEDh ADE / EAD=90 , EG DB分别平分/ AED / ADE 交AD. AE于点C、B,连接BC.请你判断AR AC是否相等，并说明理由；(2) 4ADE的位置保持不变，将 ABC绕点A逆时针旋转至图11 2的位置，AR BE相交于。

7、，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由.图 11 21.如图，在【课后作业】ABC中，/ ACB= 90° , AC= BC直线l经过顶点 C,过A、B两点分别作l的垂线 AE BF,E、F为垂足.(1)当直线l不与底边 AB相交时，求证：EF= AE+ BF.(2)如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时,EF AE BF之间的关系. AD> BD AD- BD A* BD2 .如图 3, RtABC 中，/ ACB=90 , AC=BC ADL CD BF71 CD, AB 交 CD于 E. 求证：DF=CD-AD.3 .如图，已知AC=BC / ACB=90 , D为AB上任意一点,AE± CD延长线于 E, BF± CD于 F.求证：EF=BF-AE.4 .如图，在 ABC中，AC± BC,AC=BC