(浙江专用)高考数学第八章立体几何与空间向量7第7讲立体几何中的向量方法1第1课时空间角教学案

1、第7讲 立体几何中的向量方法知识,®回顾1.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法(a, b分别为异面直线11, 12的方向向量)a与b的夹角311与12所成的角e范围0,兀兀"J求法° a - bcos S =P |a|b|c0soi0sB|Ta| 回1(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线1的方向向量为e,平面a的法向量为n,直线1与平面a所成的角为巾，两向量e与n的夹角为0 ,则有sin 6 = |cos(3)二面角大小的求法a.如图，AEB CD是二面角a 1B两个半平面内与棱1垂直的直线，则二面角的大小0 =虺品. b.如图，m, n

2、2分别是二面角a 1 B的两个半平面 角的大小0满足cos 0 = cosni,n2或一cosni,n2.2.点到平面的距离的求法如图，设AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量,a , 3的法向量，则二面则点B到平面a的距离| AB- n|I n|疑误辨析判断正误(正确的打,错误的打“X”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()兀兀 两异面直线夹角的范围是0，5，直线与平面所成角的范围是0，下，二面角的范围是0,兀.()答案：(1) X (2)

3、X (3) X (4) V教材衍化1 .(选彳2-1 P104练习T2改编)已知两平面的法向量分别为m (0, 1, 0), n=(0, 1,1),则两平面所成的二面角的大小为 解析：cos3n>m- n imi n|.所以两平面所成二面角为 45° 或 180° 45° = 135答案：45°或135°2 .(选彳2-1 P112A组T6改编)在正方体 ABCDAB1CQ中，E是CD的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为解析：以D点为原点，以DA 如图建立空间直角坐标系 D-xyz , -1/E0, 2, 1 ,则 AO ( 1,1

4、,0),所成的角为0 ,则cos 0 = |cosDC DD的正方向为x轴，y轴，z轴，设 DA= 1, A(1 , 0, 0), C(0 , 1, 0),71DE= 0, 2, 1 ,设异面直线 DE与AC> > x/ToAC DE> 户2111y.答案:10103 .(选彳2-1P117A组T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱 )ABG- ABC的底面 边长为2,侧棱长为2啦，则AC与侧面ABBA所成的角为 .解析：以C为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标A(2 , 0, 0), G(0, 0,242).点G在侧面ABEA1内的射影为点C2 2, 22 .

5、所以 AC=(2，0，, 212) , AC2= 一1 -2, 212，设直线 AC与平面ABBAi所成的角为1 + 0+82 3X 3喙又e e 0,兀 _兀万,所以0=于八 I AC AC|=I AC|I AC|答案:易错纠偏直线和平面所成的角的取值范围出错已知向量mj n分别是直线l的方向向量、平面a的法向量，若 cosmi n>12,则l与a所成的角为一，一,1 ,。解析：设l与a所成的角为。，则sin 0 = |cos口 n> | =-,所以0 = 30答案：30°第1课时空间角垣度明考向-白市考例考读考点E1异面直线所成的角例团 如图，在三棱锥 P-ABC中，

6、PAL底面 ABC / BAC= 90° .点D, E, N分别为棱PA PC BC的中点，点 M是线段AD的中点，PA = AC= 4, AB= 2.(1)求证：MN/平面BDE(2)已知点H在葭PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为求线段AH的长.【解】 如图，以A为原点，分别以AB, AC AP方向为x轴、y轴、 z轴正方向建立空间直角坐标系 A-xyz.依题意可得A(0 , 0, 0), R2, 0, 0), Q0, 4, 0), P(0, 0, 4), 以0, 0, 2), E(0, 2, 2), M(0 , 0, 1), N1 , 2, 0) .证明：DE= (0,

7、 2, 0), DB= (2, 0, 2).设n=(x, y, z)为平面BDE勺法向量,n - DEE= 0,n Db= 0,2y =0,2x 2z=0.不妨设z= 1,可得n= (1 , 0, 1).又MlN= (1 , 2, 1),可得 MIN- n=0.因为MN平面BDE所以MN/平面BDE(2)依题意，设 AH= h(0<h<4),则 H(0,。，h),进而可得 NH= (-1, 2, h) , BE= (2, 2, 2).,./口一一| Nh- be由已知，得 |cos NH BE> | =JI丽BE_|2h-2| 二更一.h2+5X 2A/3- 21，整理得10

8、h2-21h+8=0,解得h = 8或h =! 52 一 ，一 ，8 J 所以，线段AH的长为/或不.5 2团伍国因用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.提醒注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线 的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.跟踪训炼1 .长方体 ABCDA1BCD中，AB= AA=

9、2, AD= 1,点E为CC的中点，则异面直线 BC与AE所成角的余弦值为()A.10而B.30C.21510D.3 1010解析：选B.以D为原点，以DA DC DD的正方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 D-xyz,如图.R则 A(1 , 0, 0) , E(0, 2, 1), B(1 , 2, 0), G(0, 2, 2). BC= (-1, 0, 2), AE= ( 1 2, 1),一一 BC AE 、同 cosBC, AE> = =4t-.|BC|AE 10所以异面直线BG与AE所成角的余弦值为2 .如图，在四棱锥 P-ABC珅，PAL平面 ABCD底面ABC比菱形，A

10、B=2, / BAO 60 .(1)求证：BDL平面PAC(2)若PA= AB,求PB与AC所成角的余弦值.解：(1)证明：因为四边形 ABCD1菱形,所以ACL BD因为PAL平面 ABCD所以PAL BD又因为AS PA= A 所以BDL平面PAC(2)设 AS BD= O因为/ BAD= 60 , PA= AB= 2,所以 BO= 1, AO= CO=木.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz,则 P(0,2) , A(0一.3,所以Pb= (1, "3, 2),AC= (00) , R1 , 0, 0), Q0273, 0).-'3设pbt ac所成角为e,

11、PB- ACcos e= |1B =2V2W3=.64即叱AC所成角的余弦值为i6考点直线与平面所成的角AA,例ED (2018 高考浙江卷)如图，已知多面体 ABCAiGH.ftBB, CC均垂直于平面 ABC / ABC= 120 , AA= 4, Cd 1, AB= BC= BB= 2.(1)证明：AB，平面ABC;(2)求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值.【解】 法一：(1)由 AB= 2, AA=4, BB=2, AAAR BBL AB 得 AB=AB= 2出,所以 A1E2+AE2 = AA,故 ABAB.由 BC= 2, BB=2, CC= 1, BB± BC CC

12、，BC得 BG = W， 由 AB= BC= 2, /ABC= 120 彳导 AC= 2/3,由 CC，AC 彳导 AG=13,所以 AE2+BC2 = AC2,故 ABXBiG.因此AB,平面ABC.(2)如图，过点。作CQ, A Bi,交直线 AB于点D,连接AD由AB,平面ABCi得平面 ABC，平面 ABB,由GD±AB得GDL平面ABB,所以/ CAD是AC与平面ABB所成的角.cos / CAB =,167sin / GABi =1由 BC = 55, ABi = 2yJ2, A C = 21 得cr . 广拓 / C D、39 所以 GD= 3j 3,故 sin / C

13、AD= AC=毛-.因此，直线 AC与平面ABB所成的角的正弦值是法二：(1)如图，以AC的中点O为原点，分别以射线 OB OC 为x, y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Gxyz.由题意知各点坐标如下：代0, -<3, 0), R1 , 0, 0), A(0, -V3, 4) , B(1 , 0, 2), C(0 , V3, 1).因此AB=(1 , >/3, 2) , AB= (1 , V3, 2),M)=(0 , 2v3, -3).由AB - ABi=0 得 AB± A1B1.由AB - AC=0 得 AB± AC.所以AB,平面ABC.(2)设直线AC与平

14、面ABB所成的角为0 .由 可知 AC=(0, 2/，1), AB=(1，/, 0), BB=(0, 0, 2), 设平面ABB的法向量n=(x, y, z).n AB= 0,x3y=0,由即"可取 n=( -J3, 1,0).n BB=0,2z= 0，所以 sin 0 =|cos AC, n | =ACL=骞.|AC| |n|因此，直线AC与平面ABB所成的角的正弦值是 舞律方法利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹 角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其跟踪训练(

15、2020 浙江省高中学科基础测试)如图，在三棱PA= PC 二面余角就是斜线与平面所成的角.锥P-ABC, ABC是等边三角形，点 D是AC的中点,角P-AC B的大小为60°求证：平面PBDL平面PAC(2)求AB与平面PAC所成角的正弦值.BDL AC解：(1)证明：PDL AC? ACL平面 PBDPE BD= D又AC?平面PAC所以平面 PACL平面PBD即平面PBDL平面PAC(2)因为ACL BD如图建立空间直角坐标系D-xyz.,工/则 D(0, 0, 0),令 A(1 , 0, 0),息则 B(0, & 0), Q1, 0, 0) .二A又/ PD助二面角P

16、-ACB的平面角，得/ PDB= 60° .4By设dp=入，则po, -2,乎人,设n=(x, y, z)为平面PAC勺一个法向量， 则AC= (2,0, 0) , AP= T，g，呼入，n AC= 0-2x=0由，得 入 市 ,n AP 0-x + Ty+ 2 Xz = 0B y = V3,得 n=(0,小，T).又AB= (-1,4，0),得 cosn, Ab =白=3.2人2 4设 A"平面 PAO成角为 0 ,则 sin e =|cos <n, AB> | =3.考点£1二面角(高频考点)二面角是高考的重点，是考查热点，题型多以解答题形式出现

17、，一般为中档题.主要命题角度有：(i)求二面角；(2)由二面角求其他量.角度一求二面角例豆 如图，在三棱台 ABCDEF中，平面BCFEL平面AB。/ ACB J=90 , BE= EF= FC= 1, BC= 2, AC= 3.四二一(1)求证：BFL平面 ACFD(2)求二面角B AD F的平面角的余弦值.s【解】(1)证明：延长AD, BE, CF相交于一点K,如图所示.因为平面 BCFE平面 ABC平面 BCFB平面 ABC= BC且 ACL BC 所以，ACL平面 BCK 因止匕，BFL AC 又 EF/ BC BE= EF = FC= 1, BC= 2,所以 BCK边三角形，且 F

18、为CK的中点， 则BF± CK又AS C除C,所以BFL平面 ACFD(2)如图，延长 AD BE CF相交于一点 K,则BCK/等边 三角形.取 BC的中点O,连接KO则KOL BC又平面BCF曰平 面ABC所以，KOL平面ABC以点O为原点，分别以射线 OB OK 的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Qxyz.由题意得 B(1 , 0, 0), C(- 1, 0, 0) , K(0 , 0,小)，A(一1,31,31, 3, 0), E(-, 0, /) , F( -2, 0, 2) 因此，AC= (0 ,3, 0),设平面ACK勺法向量为m= (X1,z。，平面ABK

19、勺法向量为n=(X2, y2, Z2).Ak= (1 , 3, 43) , AB= (2 , 3, 0).XC, m= 0,3y1= 0由得广 取m (g 0， 1)；AK- m0x1 + 3yi + V3zi=0,ABn=0,2x2+3y2=0,由得 取 n=(3 , 2, #).AK- n=0X2+ 3y2+FZ2=0,：3所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为4.角度二由二面角求其他量例可 如图，四棱锥P-ABCD,底面ABCM矩形，PAL平面ABCD点E为PD的中点.(1)证明：PB/平面AEC(2)设二面角 DAEC为60° , AP= 1, AD= ® 求三

20、棱锥 EACD勺体积.【解】(1)证明：连接BD设AC与BD的交点为G则G为AC BD的中点，连接EG在三角形 PB计，中位线 EG/ PB,且EG平面AECft, PB?平面AEC所以PB/平面AEC(2)设CD= m以A为原点，分别以Ah Ab AP勺方向为X, y, z轴正方向建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0 , 0, 0) , 口0,0 0), E °，乎，：，C(m 木,0) .所以AD= (0, 0 0) , AE= 0,乎,2 , 唇(e ® 0) .设平面ADE勺法向量为 m = (X1, y1, Z1),n - AD= 0,则解得 m = (1

21、, 0, 0). n AE= 0,同理设平面ACE勺法向量为n2=(X2, y2, Z2),n2 , AC= 0,n2 , AE= 0解得一个山=(,rq V3n).因为 cos 60 ° = |cos .AP 1 一一 .设F为AD的中点，连接EF,则PA/ EF,且EF= y=-, EFL平面ACD所以EF为三棱锥匚AC而高.所以 Ve-acid= , Skacd EF= x -x x /3x = -.33 2 228所以三棱锥E-ACD勺体积为,138 .求二面角大小的常用方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得 到二面角的大小，但要注

22、意结合实际图形判断所求角的大小.(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个跟踪训练向量的夹角的大小就是二面角的大小.(2020 温州普通高中模考 )如图，四棱锥 RABCDK / ABC= / BCD=90° , AB= 2, CD= CB= CP= 1,点P在底面上的射影为线段 BD的中点 M点F为AB的中点. 若点E为棱PB的中点，求证：CE/平面PAD(2)求二面角A-PBC的平面角的余弦值.解：(1)如图，由点P在底面上的射影为线段 BD的中点M且MC= MB= MF= MD则PC=PB= PD= BC以B为坐标原点，BC BA所在直线为x

23、, y轴，建立空间直角坐标系B-xyz ,则R0, 0, 0),收0, 2, 0), C(1 , 0, 0) , D(1 , 1, 0),P1 1 二 E1 1 二 2， 2， 2 '4， 4， 4 'it r -13/2则AD= (1 , - 1, 0), AP= j, -2,占，齐 3 12CE= 4' 4' 4 '所以 t = (1, 1,为平面PAD勺一个法向量,所以CEt=0,所以CE/平面PAD(2) BA= (0, 2, 0), B> (1 , 0, 0), BP= 1，1,平，设平面 BPAW一个法向量为 m= (x, y, z),

24、2y =0BA- m= 0由 BF>. m= 0, 即 $+格=0'B m=(小,0, -1),同理，平面BPC勺一个法向量为 n = (0, 乖 1),13,设e是二面角A-PBC的平面角，易见 e与m, n>互补，4mn故 cos 0 = - cos < m n> = - I mi n| ，一 _ 1所以二面角A-PBC的平面角的余弦值为一 §.基础题组练1 .在直三棱柱 ABCABC中，若/ BAC= 90° , AB= AC= AA,则异面直线 BA与AC所成的角等于()A. 30°B. 45°C. 60°

25、;D. 90°解析：选C.不妨设A氏AC= AA= 1,建立空间直角坐标系如图所示，则B(0 , - 1, 0),A(0, 0, 1), A(0, 0, 0), G(-1, 0, 1),所以 BA= (0 ,1,1),AC= (-1, 0, 1),所以 cosBA, ACBA . AC 11I BAI . I AC| V2XV2 2所以BA, AC=60° ,所以异面直线 BA与AG所成的角等于60。2 .在三棱锥 P-ABO43, PAL平面 ABC / BAC= 90° ,点 D, E, F分别是棱 AR BC CP的中点，A氏AC= 1, PA= 2,则直线

26、PA与平面DEF所成角的正弦值为()15AB2一5D解析：选C.以A为原点，AB, z轴建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0, 0),B(1 ,0,0),a0,1,0),1F 0, 2， 1 .AC AP所在直线分别为x轴，y轴,Axyz,由 AB= AC 1, PA= 2,得11 1p(0,0,2),D2, 0, 0 ,E2, 2, 0 ,所以吼(0, 0, -2) , DE= 0, 1, 0 ,Df=2 2'设平面DFE的法向量为n=(x, V，z),则由n - DE= 0,n DF= 0,y = 0,-x + y+ 2z= 0.取z = 1,则n=(2, 0, 1),设直线PA

27、与平面DEFW成的角为 0 ,则sin e =|cos鬲n| =|PA，n| =坐,所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 W5|PA| n|55ABCD/f成的锐二3 .在正方体 ABCDABGD中，点E为BB的中点，则平面 AED与平面 面角的余弦值为.解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,1则 A(0, 0, 1), E1, 0, 2 ,* 1, 0),所以 AD= (0 , 1, 1),AE= 1, 0, -2 ,设平面AED的一个法向量为 m=(1 , y, z),y-z = 0,y = 2,则 1 所以 所以ni = (1 , 2, 2). 1-2z

28、=0,z = 2.因为平面 ABCM一个法向量为 n2=(0, 0, 1), 所以 cosm, n2> = f.3 X I 3一，,-2即所成的锐二面角的余弦值为2.32答案：34.在正三棱柱 ABCABG中，AB= 1,点D在BB上，若BD= 1,则AD与平面AACC 所成角的正切值为 .解析：如图，设 AD与平面AACC所成的角为a，点E为AC的中点， 连接BU则BE± AC所以BE，平面AACC,可得Ab EB=(曲BD EB= Abeb= ix 浮 ¥=3fX 乎 X cos 0 ( 0 为ADfEB勺夹角)，所以cos 0 =X6= sin a ,所以所求角

29、的正切值为 tan a = cos := 25.4sin 055.已知单位正方体ABCEAiBiCiD, E, F分别是棱BG, GD的中点.试求:(1) AD与EF所成角的大小;B1- xyz,得 A（1 , 0, 1）,(2) AF与平面BEB所成角的余弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系 R0, 0, 1), D(1 , 1, 0),11E0, 5, 0 , F5,1,0.因为 AD=(0 , 1, 1),所以 cosAD, EF=1 1（0, 1, 一 1）- 2,0(2) FA；，-1,1,由图可得,1即AD与EF所成的角为60°BA= (1 , 0, 0)为平面BEB

30、的一个法向量，设 AF与平面BEB所成的角为 e ,则sin 0 = |cos BA所以 cos e = 2-2 3即AF与平面BEB所成角的余弦值为2 ,23 -6. (2020 宁波市余姚中学高三期中(2)设点M是线段PC上的一点，P阵tPC,且PA/平面MQB求实数t的值;)如图，在四棱锥 P-ABCD,底面ABCM菱形,若PA= PD= AD= 2,且平面 PADL平面 ABCD求二面角 MBQC的大小.解：(1)证明：连接BQ因为四边形 ABC师菱形, /BAD= 60 ,所以 ABD是正三角形，又 Q为AD中点,所以ADL BQ因为PA= PD, Q为AD中点，所以AD±

31、 PQ又BQ? PQ= Q 所以ADL平面PQB AD?平面PAD所以平面PQBL平面PAD-1 ,_(2)当t = 3时，使得PA/平面MQB连接AC交BQ于N,交BDT Q则O为BD的中点，又因为 BQ% ABDfe AD上的中线，所以 N为正三角形 ABD勺重心,令菱形ABCD勺边长为a,则AN= a, AC= 1 3a. 3因为PA/平面 MQB PA?平面PAC平面PACP平面 MQB MN所以PA/ MNPM ANPCT AC映3因为PCX AD又平面 PAD_平面ABCD所以QA QB QP两两垂直,以Q为坐标原点，分别以 QA QB QP所在直线为x, v, z轴，建立如图所示

32、的空间直角坐标系Qxyz,由 PA= PD= AD= 2,则 B(0, 43, 0) , Q 2, 3, 0),R0 , 0,姆)，设 Ma, b, c),则 PU (a, b, c>/3),咯(2,小,-p,因为PMk 1pc所以PU 3PC,所以a=-|，b等,。=挛所以M2,里芈， 333333设平面 MQB勺法向量n=(x, y, z),由 QMh -2,乎，乎，QB= (0, ® 0),2'32_3且n，QM n，QB得一那十3"3 z=0V3y= 0取 z = 1,得 n=(<3, 0, 1),又平面ABCD勺法向量m (0 , 0, 1),

33、mr n1所以 cosn=|mf =2，由图知二面角 M BQ C的平面角为锐角,所以二面角 MBQC的大小为60。综合题组练1. (2020 杭州中学高三月考)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABC四平行四边形，PAL底面ABCD点MPD的中点，且PA= AB= AC= 2, BC= 2 ,：2.(1)求证：CDh平面PAC10 »AN 5 ,求献值(2)求二面角 MABC的大小;(3)如果N是棱AB上一点，且直线 CN平面MA所成角的正弦值为解：(1)证明：因为在 ABO43, AB= AC= 2, BC= 2V2,所以 B(C=A+AC2,所以 ABL AC因为AB/ CQ

34、所以AC! CD又因为PAL底面ABCD所以PALCQ因为ACT PA= A所以CDL平面PAC(2)如图，建立空间直角坐标系A-xyz,则 A(0 ,0,0),P(0 ,0,2) ,R2 ,0,0) ,C(0 ,2, 0), D(-2, 2, 0),因为点M是棱PD的中点，所以 M1, 1, 1),所以AM= (-1, 1, 1) , AB= (2, 0, 0),设n=(x, y, z)为平面MA刚法向量，n AM= 0x+y+z = 0所以，即n - ABB= 02x=0x= 0令 y = 1,则 y= 1,z= - 1所以平面MAB勺法向量n= (0 , 1, - 1).因为PAL平面A

35、BCD所以AP= (0, 0, 2)是平面 ABCW一个法向量.所以cosn,Ah =n-AP 2| n| AP 2XV2因为二面角M-ABC为锐二面角,一 一. 一 兀所以二面角MABC的大小为了(3)因为N是棱AB上一点,所以设 N(x, 0, 0), NC= ( -x, 2, 0),设直线CN与平面MAB/f成角为a ,因为平面MAB勺法向量n= (0 , 1, 1),所以sina = |COSNC n> |210xx2 + 4 5解得 x=1,即 AN= 1, NB= 1,所以 AN= 1. NB2. (2020 惠州市第三次调研考试 )如图，四边形 ABCDI圆柱OQ勺轴截面，

36、点 P在圆 柱OQ勺底面圆周上，点 G是DP的中点，圆柱 OQ勺底面圆的半径 OA= 2,侧面积为873% , ZAOP= 120° .(1)求证：AGL BD(2)求二面角P-AG B的平面角的余弦值.解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,由题意可知83% =2X2% X AD解得AD= 2m则 A(0, 0, 0), R0, 4, 0), D(0, 0, 2娟)，P(8 3, 0),因为G是DP的中点，所以可求得 G3,，3 .(1)证明：BD> (0, 4, 25), AG=乎，|,小.所以Ab BD> g I，木 (0, -4, 273) = 0,所以AGL

37、 BD(2) BP= (V3, - 1, 0) ,AG=乎,3,V3,PG=T，匹-532 ?2 v0 ,因为BP-PG= 0, AG-BP= 0,所以BP是平面APG勺法向量.设 n=(x, y, 1)是平面 ABG勺法向量，由 n AG= 0, n BG= 0.解得 n=(-2, 0, 1),BP-n2仙灰cosBP, n> =片=占.155 .| BP I n|2乖5结合图形得，二面角 P- AG B的平面角的余弦值为3. (2020 温州十五校联考)已知菱形 ABCDK 对角线 AC与BD相交于一点 O, / BAD = 60° ,将 BDC占着B的起彳# BDC ,连接 AC' .(1)求证：平面 AOC ±平面 ABD(2)若点C在平面ABD上的投影恰好是 ABDW重心，求直线 CD与底面ADC所成角 的正弦值.解：(1)证明：因为 C O± BQ AOL BQ C On AO= Q所以BDL平面 C OA又因为 BD?平面ABD所以平面 AOC ±平面 ABD(2)如图建系 Oxyz,令 AB= a