2022年高考数学考前保分题及答案解析

1、2022年高考数学考前保分题1.如图，在三棱锥 4-8CQ 中，NBCD=90° , BC=CD=, ZACB=ZACD=Q.(1 )证明：ACLBD；(II)有三个条件：。=60° ；直线AC与平面BCO所成的角为45° ；V3二面角A - CD-B的余弦值为三.请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值.【分析】(1 )取80的中点O,连结AO, CO,利用ABC四4OC,可以证明AO±BD, X COLBD,可证平面4OC,即可证明ACLBO；(II )建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，若选：利用0=60°

2、 ,求出PO,得到P点坐标，然后利用待定系数法求出平面PC3 的法向量，利用向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.若选：利用线面角的定义得到，/尸CO即为直线PC与平面BCC所成的角，由边角关 系，求出求出PO,得到点尸的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCO的法向量，利 用向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.若选：作PM1CD,垂足为M,连结OM,则NPM。即为二面角P- C。- 8的平面角， 由边角关系，求出求出尸O,故得到点尸的坐标，然后利用待定系数法求出平面尸CQ的 法向量，利用向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.【解答】解：(I )证明：取8。的中点O,连结A。

3、，CO,如图所示，则 C0J_8。，又 BC=CD=1, ZACB=ZACD=Q,所以ABC四AOC,则所以 AO_L8£),又因为 AOACO=O, AO, COu平面 AOC,所以BO_L平面AOC,又ACu平面4OC,所以ACJ_ BO；（II ）在CA上取点P,使得OPLOC,连结PB, PD,由于OC和BD是平面BCD中的相交宜线，所以OP_L平面BCD,故以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 在 RtZXBCO 中，BC=CD=1, BD= V2,所以 C。= B。=。=孝，则8（0,专,0） > C（- > 0, 0） > D（0,手，0）&g

4、t;所以立=（孝，孝，0）,若选：因为8=60° ,则?£>为等边三角形，搜易PO=CO=PC=1,所以OP=¥，故P（0, 0,挈）所以而=亭 0, 一孝）,PD = （0,孝,一孝），设平面PCD的一个法向量为蓝=（x, y, z）,o o = r c t D 一 p 一 p t n Tn zuk情 则V22V22nr co O= =z ZV22V22一 -X y令x=l,则 y=z=l,故n = (l, 1, 1),所以|cosV后,蔡>|=典=需=4BCn<3x1$所以宜线BC与平面PC。（即平面AC。）所成的角的正弦值为:；若选：由PO

5、_L平面8CO,可得NPCO即为宜线PC （即AC）与平面BCD所成的角, 所以NPCO=45° ,故Rt为等腰直角三角形，所以 PO=CO=¥，故P（0, 0,乎），所以而=（¥，0,务，PD = （0,孝，一孝）,设平面PCD的一个法向量为=（x, y, z）,（-or nx z 0则有几伊=0, gpJ 22,11PC = O 孚 丫_彖=0I 2 J 2令 x=l,则 y=z=l,故n = （l, 1, 1）,所以|cosV品，n>| = lC n|-= BCn所以直线BC与平面尸CO （即平面ACC）所成的角的正弦值为瞥;若选：作PM_LC

6、3;>,垂足为M,连结。M,由尸。_L平面8C£>, C£>u平面8C0,所以PO_LC£）,又 POCPM=P, PO, PMu平 POM,又OWu平面尸OM,所以CO_LOM,则/PMO即为二面角P- CD - 8即二面角A - CO - B的平面角，因为/PMO的余弦值为日，故它的正弦值为手，所以正切值为企，立X店 1pj所以。"=_2 = 与解得。2=竽=。，故P（0, 0,孝），所以而=（苧，0, 一务，访=（0,孝，一孝），设平面PCD的一个法向量为=（x, y, z）,'4242 n则有）丹=°,即.n-

7、 PD = 02 x 2= 04242'-y-zo令 x=l,则 y=z=l,故鼠=（L 1, 1）,所以|cosV8C, n>| =18cqi _ 呼+竽I _ 76|6C|n| Gxl 3 '所以直线8c与平面PC。（即平面BCD）所成的角的正弦值为三.【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理，在求解空间角 的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研 究，属于中档题.2 .已知正方形ABC。，E, F分别为A8, C£)的中点，将AOE沿OE折起，使AC。为 等边三角形，如图所示，记二面角A-OE-C的

8、大小为e (0<e<n).(1)证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；(2)求角9的正弦值.【分析】(1)根据AC=AO即可证明A在平面BCCE内的射影G在直线EF上；(2)建系，求法向量，结合法向量的夹角大小与二面角的大小6的关系，即可求得角e 的正弦值.【解答】解：(1)证明：过点A作AG_L平面8C0E,垂足为G,连接GC, GD.A在平面BCDE内，因为AC。为等边三角形，所以AC=AO,所以点G在CO的垂直平分线上.又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCCE内的射影G在直线EF L.(2)解：以G为坐标原点，G4所在直线为z轴，GF所在直线为)，轴，过点

9、G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形A8CC的边长为2a,连接A片贝IJA尸="，AE=a, EF=2a.Q 一2(o 以 如 3 -2/)( Q 3 -2F a (coJ (o 应 o/ (o G 以 所设平面ADE的一个法向量为m = (x, y, z),则m- AD = qx + |ay 一5qz = 0m DE = qx + 2ay = 0取 y=l,得1 = (2, 1,一弟又平面DEC的一个法向量n = (0, 0, 1)所以cosQ|m-n| _ 1T T - T17n11rli4日 n n J15 即 sinQ =.【点评】本题考查空间向量的应用，利

10、用空间向量求二面角的正弦值，考查数学运算和直观想象的数学核心素养，属于中档题.3 .如图，在直三棱柱 ABC-4BC1 中，ZBAC=90° , ABAC=AA.(1)求证:A81J平面 A1BC1；(2)若。在81cl上，满足8iO=2OCi,求AD与平面A18C1所成的角的正弦值.【分析】(1)根据线面垂直的判定定理，证明即可；(2)以481, AiCi, 4A为x, y, z轴建立直角坐标系，设AB=a,求出G =得，竽-a)和平面48cl的法向量为I,利用夹角公式求出即可.【解答】解：(1)在直三棱柱 ABC-Ai81cl 中，N8AC=90° , AB=AC=AA,根据已知条件易得ABi_L48,由4_1_面A8814,得A8i_LAiCi,AiBDAiCi=Ai,以 ABi_L平面 48。；(2)以AiBi, AiCi, 44为x, y, z轴建立直角坐标系，设4B=a,则 A (0, 0,