2019届高考理科数学一轮复习课时提升作业：第8章8.2《直线的交点坐标与距离公式》(含答案)

1、课时提升作业五十直线的交点坐标与距离公式、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.经过两直线|i： x-2y+4=0 和|2： x+y-2=0 的交点 P,且与直线I3： 3x-4y+5=0 垂直的直线I的方程为()A.3x-4y-6=0即 P(0,2).4因为I丄13,所以 ki=-,3所以直线I的方程为 y-2=- x,3即 4x+3y-6=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决: 选 C.因为直线I过直线I1和I2的交点,所以可设直线I的方程为 x-2y+4+入(x+y-2)=0, 即(1+ 入)x+(入-2)y+4-2 入=0.因为I与I3垂直，所以 3(1+ 入)+(-4)

2、(入-2)=0,所以入=11, 所以直线I的方程为 12x+9y-18=0,即 4x+3y-6=0.2.平面直角坐标系中与直线y=2x+1 关于点(1,1)对称的直线方程是()A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3【解析】选 D.在直线 y=2x+1 上任取两个点 A(0,1),B(1,3), 则点 A 关于点(1,1)对称的点为M(2,1),B 关于点(1,1)对称的点为 N(1,-1).v+1 Jf1由两点式求出对称直线MN 的方程：即 y=2x-3.1 + 1 2-13. 已知直线I过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2) 等距离,则直线I的

3、方程A组基础达标练，(25 分钟 50 分)B.3x-4y+6=0C.4x+3y-6=0【解析】选 C.由方程组D.4x+3y+6=0 x 2y + 4 = 0,x + y - 2 = 0,为()A. 2x+3y-18=0B. 2x-y-2=0C. 3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0D. 2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0【解析】选 D.由题知直线斜率存在，设所求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0,由已知，得-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k|2所以 k=2 或 k=-.所以所求直线I的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.3【

4、一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决：选 D.满足条件的直线有以下两种可能；一是直线I过点 P(3,4)且与 AB 所在的直线平行，而2+222kAB=-，此时直线方程为 y-4=- (x-3),即 2x+3y-18=0;-2-4 33y0 x1二是直线I过点 P(3,4)与 AB 的中点 D(1,0),此时直线方程为=,即 2x-y-2=0.4-0 3-1所以所求直线I的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.4. 在平面直角坐标系中，过点 P(-1,2)且与原点 O 距离最大的直线方程为()A.x-2y+5=0B.2x+y+4=0C.x-3y+7=0D.3x-y-5=0【解

5、析】选 A.所求直线过点 P 且与 OP 垂直时满足条件，因为直线 OP 的斜率为 kO=-2,1故所求直线的斜率为，21所以所求直线方程为y-2= (x+1),即 x-2y+5=0.215. 若函数 y=ax+8 与 y=-?x+b 的图象关于直线 y=x 对称，则 a+b=()A.B.-C.2D.-22 2【解析】选 C.直线 y=ax+8 关于 y=x 对称的直线方程为 x=ay+8,所以 x=ay+8 与 y=-二 x+b 为同2一直线,故得 I一所以 a+b=2.lb = 4.6.(2019 淄博模拟)若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上，则 mf+ n2的最小值是【解题提

6、示】注意,- 可以看作点(m,n)到点(0,0)的距离.【解析】选 C.因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上, 所以 4m+3n-10=0,所以欲求 m+n?的最小值，可先求 丫 (m - 0)2+ (n- 0)2的最小值.而一J 匚一 厂 表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离，如图i5321LJJi1tl4XrIL-i-1-a-5 -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 w-2-3-4-5当过原点的直线与直线4m+3n-10=0 垂直时，原点到点(m,n)的距离的最小值为 2.所以 nf+n2的最小值为 4.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决

7、:选 C.由题意知点(m, n)为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A - ,B (:),最小值的算术平方根A.2B.2 JC.4510在 Rt OAB 中,OA= ,OB=一，斜边 AB=23勺2252 2=,斜边上的高 h 即为所求 m+n2611所以OA= OA- OBAB - h,22所以 m+n?的最小值为h=4.【加固训练】(2019 滨州模拟)已知实数 x,y 满足 2x+y+5=0,那么:的最小值为【解析】4器卅表示点(x,y)至噸点的距离，根据数形结合得J 眾!沪的最小值为原点到直线 2x+y+5=0 的距离，答案：也打7.(2019 长沙模拟)在等腰直角三角形 ABC

8、 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B的一点光线从点 P 出发，经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图).若光线 QR 经过ABC 的重心,则 AP 等于()A.2【解题提示】可建立平面直角坐标系，利用直线的方程以及对称知识即可解决.【解析】选 D.以 AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系由题可知 B(4,0),C(0,4),A(0,0), 则直线 BC 的方程为 x+y-4=0,设 P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P 关于直线 BC 的对称点 P1的坐标为(4,4-t),点 P 关于 y 轴的对称点 P2的坐标为(-t,0

9、),根据反射定理可知直线RPa 就是光线 RQ 所在直线.4t由 P1,P2两点坐标可得直线P1P2的方程为 y= _ (x+t),APSB.1设厶 ABC 的重心为 G,易知G.因为重心 G 在光线 RQ 上,4 4-t/4r、所以有:, 即 3t2-4t=0.所以 t=0 或 t=,因为 0t4,所以 t=,即 AP=.33二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)8.直线(2 入+1)x+(入-1)y+1=0(入 R),恒过定点【解析】整理为 x-y+1+入(2x+y)=0,x-y + 1 =0,n0,点(-m,n)关于直线 x+y-仁 0 的对称点在直线 x-y+2=0 上,那么 +的

10、最m n小值等于【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标，代入直线方程 x-y+2=0,然后利用基本不等式求1 4+的最小值.m n(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点为(1-n,1+m).fm + n = 2,24:.-二即m= ,n=:,等号成立.3.(12 分)(2019 郑州模拟)已知点 A(3,3),B(5,2)至煩线I的距离相等，且直线I经过两直线11： 3x-y-1=0 和l2： x+y-3=0 的交点,求直线l的方程.3x y 1 = 0,:_：得交点P(12).若点 A,B 在直线I的同侧，则I/ AB.3-2 1kAB=-,:所以,.bi = ka1+ 1,:b?

11、=+ lf(a2k + b2(1) 1,即*ik+ br(-l j = -1,【解析】 由题意知则 1-n-(1+m)+2=0,即 m+n=2.14 1于是 一 + _ = _ (m+n)m n 2：= X -：-m n/ 2 m n /19X(5+2X2)=,当且仅当22【解析】 解方程组由点斜式得直线I的方程为 y-2=- _(x-1),即 x+2y-5=0.由两点式得直线I的方程为一=, 即 x-6y+1 仁 0.综上所述,直线I的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.【加固训练】m 为何值时,直线I1： 4x+y-4=0,I2： mx+y=0,13： 2x_3my_4=0

12、不能围成三角形?【解析】先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况 右 im 0,贝Vki=-4,k2=-m,k3=3ni当 m=4 时,ki=k2；当 m=- 时,ki=k3；6而 k2与 k3不可能相等.若 m=0,则I1： 4x+y-4=0,I2： y=0,13： x-2=0,此时三条直线能围成三角形1所以当 m=4 或 m=-时,三条直线不能围成三角形.右1再考虑三条直线共点的情况，此时 m 0 且 m4 且 m -.64将 y=-mx 代入 4x+y-4=0,得 x= ,4-tn(44m 即I1与I2交于点P ,将 P 点坐标代入I3的方程g2得- +-4=0,解得 m=-1 或 m

13、=.4-m 4in32所以当 m=-1 或 m=时,Ii,12,I3交于一点，不能围成三角形.31 2综上所述,当 m 为-1 或-或一或 4 时,三条直线不能围成三角形.b34.(13 分)已知直线I: 3x-y-1=0.(1)在直线I上求一点 P,使得点 P 到点 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大在直线 I 上求一点 Q,使得点 Q 到点 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小【解析】如图甲所示,设点 B 关于I的对称点为 B,连接 AB 并延长交I于点 P,若点 A,B 在直线I的异侧，则直线I经过线段 AB 的中点此时点 P 满足|PA|-|PB|的值最大.设点 B的坐标为(a,b),则 kBB， ki=-1,b4即-3=-1.所以 a+3b-12=0.a/a又由于线段 BB的中点坐标为.,且在直线 I 上,a b+4所以 3 x- 仁 0,即 3a-b-6=0.2 2联立,解得 a=3,b=3,所以 B (3,3).于是 AB 的方程为 =,即 2x+y-9=0.3-1 3-4f3x y 1 = 0, (x = 2,解方程组