(完整版)利用导数求最值

1、利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。一、函数的最大值与最小值在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，f(x)在a,b上求最大值与最小值的步骤：先求f(x)在(a,b)内的极值；再将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。求可导函数极值的步骤：首先：求导数广(x)；再求导数广(x)=0的根

2、；最后：检查广(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值。二、利用导数求最值112例1、设x>0，求Inx+二(xI)2+(xI)3的最小值。x23112解：设f(x)=Inx+(x1)2+(x1)3，贝yx23f'(x)=丄一(x1)+2(x1)2=(x1)(x1)+2(x1)2xx2x21r1x2r1+x)一1+2(x1)=(x1)+2(x1)=(x1)2_x2_x2(x2丿=(x1)3匕x2令f(x)=0，由x>0，解得x=1。列表:x(0，1)f'(x)f(x)1(1,+s)0+最

3、小值/由表可知，当x=1时，f(x)有最小值1。评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。a,b当函数f(x)为连续函数且在上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f(x)在(a,b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以判定f(X)在该点处取得最大(小)值，这里(a,b)也可以是无穷区间。练习1：已知a>,0函数f(X)=(X22ax)ex，当x为何值时，f(x)取得最小值?并证明你的结论；三、利用导数求最值的运用(一) 求函数的值域例2、求函数f(x)=5x+2:x+3.4x的值域.x+3n0解：由仁、八得f(

4、x)的定义域为3<x<4。14x>0因为4广(x)=(5M+ziw-&口5+台+4>0，所以歹最小=_15口x=4时'f(x)在3,4故当x=3时，y最疔20+2釣。所以值域为15臣20+历1评注：求函数的值域转化为求f(x)在闭区间L3,4上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。练习2：已知x，y为正实数，且满足关系式x22x+4y2二0，求xy的最大值。(二) 利用最值求参数的值(或范围)23J6例3、设3<a<1，函数f(x)=x32ax2+b(1<x<1)的最大值为1，最小值为刁-，求a，b的

5、值。解：f'(x)二3x23ax=3x(xa)，当x变化时，f'(x),f(x)变化情况列表如下:x1(1，0)0(0，a)a(a，1)1f'(x)+00+f(x)13人1a+b2/b、a3+b213人1a+b2当x=0时，f(x)取极大值b,而f(0)>f(a)，f(一1)<f，故需比较f(0)与f(1)的大小。3*.*f(0)一f(1)=a一1>0,.°.f(x)最大值为f(0)=b=1。又f(1)一f(a)=2(a33a一2)=2(a+1)2(a一2)<0。f(X)min=f(T)，-3a-1+b二-3a二-竺,222a卫,b31

6、。评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a,b的值。(三) 利用最值研究恒成立问题例4、设函数f(x)=X3-x2-2x+5,若对于任意xe-1，2都有f(x)<m成立，求实数m的取值范围。2解：f(x)二3x2-x一2,令f(x)=0,得x=一3或x二1。22.当x<-3或x>1时，f(x)>0,y=f(x)在(8,3)和(1,+8)上为增函数,22在(-3,1)上为减函数，f(x)在x=-3处有极大值，在x二1处有极小值。222极大值为f(-3)=5-7,而f(2)=7,f(x)在-1,2上

7、的最大值为7。若对于任意xe-1,2都有f(x)<m成立，得m的范围m>7。评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)三a对xWR恒成立°f(x)的最小值三a成立；f(x)Wa对xWR恒成立°f(x)的最大值Wa成立。2练习2：已知函数/(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3与x=1时都取得极值。求a、b的值；若对xe-1,2,f(x)pc2恒成立，求c的取值范围。四、利用最值证明不等式例5、已知f(x)二ax3+cx+d(a丰0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。(1)求f(x)的单调区间和极大值；(2)对任意x,xe(-1,1)

8、，求证：不等式12If(x1)f(x2)|<4恒成立。解：(1)Tf(x)是奇函数，xeR，.f(0)=0,.d=0因此f(x)二ax3+cx,f'(x)二3ax2+c由条件f(1)=-2为f(x)的极值，:f(1)=0.a+c-23a+c0解之得：a=1,c=-3贝9f(x)x33x,f'(x)3x23，令f'(x)0，得x±1f(x)的单调减区间是-1,1,f(x)的单调增区间是(-8,-1和1,+8)当x=T时，f(x)有极大值2。(2)证明：由知f(x)在-1,1上是减函数，且f(x)在-1,1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2对任

9、意X,x2e(-1,1),恒有f(X)-f(x<f(-1)-f(1)|=4评注：本题(2)借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。附练习答案：1、解：(1)对函数f(x)求导数，得f(x)=(x22ax)ex+(2x2a)ex=x2+2(1-a)x-2aex。令f(x)=0,得X2+2(1-a)x-2aex=0.从而X2+2(1a)x2a=0。解得x=a1v1+a2x=a1+v1+a212，其中XVx2。当x变化时，f(x),f(x)的变化如

10、下表：(一8,x1)x1(x1,笔)x2(x2,+8)f'(x)f(x)极大值极小值当f(x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值.当a>0时，XV1,x2>0,f(x)在(X,x2)为减函数，而当x<0时，f(x)=x(x2a)ex>0；当x=0时，f(x)=0.Ix=a1+'x-1+a2时,f(x)取得最小值。所以当解：由题意,2、当0<x<2时,在(x2，+w)为增函数.1.1-xy=xy2x-x2(0<x<2)，设f(x)=x2x-x2(0<x<2)。22f'(x)=x(32x)，令f'(x)=0，得x=3或x=0(舍去)。2p2x-x22X(3)°込V2丿32(2)22y/+0一y,3爲极大值：80当x在(0,2】内变化时，y/,y有如下变化情况:由上表可知，当x