2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第18章 整数几何试题 新人教版

1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版18.1.1已知的两条高长分别是5、15,第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值.解析由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件设第三条高为，则11+-h151111515h解得，可取4、5、6、7这四个值18.1.2已知的三边长分别为,，且边上的高的长为，其中为正整数，且，问：满足上述条件的三角形有几个？解析注意为之最长边，故，设，则，而可正可负由，及y2-z2=(n+3x)2-(n+x)2=(2n+4x)2x，得,，由勾股定理，知，展开得，由及为正整数，知，2，-，12,这样的三角形有12个

2、.18.1.3已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20,其外接圆半径与内切圆半径之比为，求此三角形周长的最大值解析设该直角三角形直角边长为、，斜边为，则外接圆半径，内切圆半径，不妨设由条件知，平方，+b2+2ab)=49(a2+b2于是，或，周长为，为正整数的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为18.1.4为不等边三角形,，其他两边长均为整数，求的面积.解析设，则由余弦定理，有由条件，不妨设，则为之最小边，只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当或5时，其余情形均无整数解于是或18.1.5一点与半径为15的圆的圆心距离是9,求经过且长为整数的弦的条

3、数.解析如图，半径为，过的弦长为整数，为直径，则，因此ST=SP+TP三2SPTP=24.又,故这样的弦共有条,其中与垂直的弦及各一条,其余的弦每种长度有两条（关于对称）18.1.6*在直角三角形中，各边长都是整数,，为边上的高，为垂足，且（奇素数）求的值（用表示）.解析由知，故设（为正整数），则，又由勾股定理，知，故.设，代入得，易知只能有，解得，于是.18.1.7*设正三角形，、分别在、上,，两端延长，交外接圆于、，若、长均为正整数，求的最小值.解析如图，易知也是整数.设，则，于是由相交弦定理，得，.设，则，由于，故，要使达到最小，得取，于是.由于，知.当，时取到最小值3，此时.18.1.

4、8*已知凸四边形的四边长是两两不相等的整数,对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且，求该四边形面积、对角线长度.解析不妨设，与交于，则AC-BD-sinZAOB=2S=ac+bd三AC-BD，于是由托勒密定理，知、必共圆，且满ABCD足.又由已知条件，.经搜索知250表为平方和只有两组：和.由对称性，不妨设，则SabcD2AC-BD=呼=96.由余弦定理，因，得52+92BD2+132+152一BD2=0，得，于是.4519518.1.9*是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的？证明你的结论解析存在满足条件的三角形当的三边长分别为，时，如图，当时，延长至点，使连

5、结，为等腰三角形因为为的一个外角，所以由已知，所以所以为等腰三角形又为与的一个公共角，有，于是，即，所以而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形评注满足条件的三角形是唯一的若，可得有如下三种情形：(i) 当时，设,，(为大于1的正整数)，代入，得，解得，有,，；(ii) 当时，设,，(为大于1的正整数)，代入，得.解得，有,，此时不能构成三角形；(iii) 当时，设,，(为大于1的正整数)，代入，得，即，此方程无整数解.所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件18.1.10三边长为连续整数、周

6、长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？解析设三角形三边依次为、，则，S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)于是是平方数，令，得，则，又不可能是奇数，否则，得，则，又不可能是奇数，否则，将，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当，8时满足要求因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、1518.1.11某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值.解析设直角三角形直角边长、，斜边为，则由于，设，则，设，则，于是的最小值为17，此时，此时的最小周长为380818.1.12已知，是角平分线,，也是整数，求所有可取的值.解析如图，作

7、，在上，则易知又，故AD<AE+DE=2ED=2AB°ACAB+AC故又当时，不难通过构造出，故所有可取的值为1,17.18.1.13面积为的正方形内接于面积为1的正三角形，其中、是整数，且不能被任何质娄的平方整除，求的值.解析设正方形的边长为，正三角形的边长为，则，由，可得m-x2m2解得.于是x2=（2v3-3）m2=283-48.由题意得，所以17.1.14*如图，是的高，四边形是的内接正方形，若（即两位数），且、恰为从小到大的4个连续正整数，求的所有可能值.解析易知竺=空=1-CR=1-空，于是有，或，移项，得，或，解得或5于是有BCACACAD两解：'BC=1

8、2,<SR=3,AD=4;'BC=56,SR=7,AD=8.易知这两组数据都符合要求，故或18.1.15*已知中，是锐角.从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为当和均为正整数时，是什么三角形？并证明你的结论解析设，、均为正整数，则=4cos2B<4BDBEmn=4-ABBC所以，2，3（1）当时，此时所以垂直平分，垂直平分，于是是等边三角形（2）当时，此时，或，所以点与点重合，或点与点重合故，或，于是是等腰直角三角形（3）时，此时，或，于是垂直平分，或垂直平分故，或，于是是顶角为的等腰三角形18.1.6*某直角三角形两直角边长均为整数，周长是

9、面积的整数倍（就数字上讲），问问这样的直角三角形有多少个？解析设直角边分别为、，则斜边，由条件知它是有理数，故必定是整数设，为正整数，于是由于也是正整数，故它只能为1、2或4，记作由，得，时无解；时，有，=3，4；时，=5，12或6，8，所以这样的直角三角形共有3个18.1.17*在等腰中，已知，这里为大于1的自然数，点、依次在、上，且，与相交于，求使为有理数的最小自然数DEADAB-BC1解析如图，连结，贝y,=i-，BCABABk由于四边形为等腰梯形，贝由托勒密定理（或过、作垂线亦可），k-12k-1CD2=CDBE=DE-BC+DB-CE=BC2+BC=BC,2又，于是，由于与互质,kk

10、由题设知其必须均为平方数，适合，这是满足要求的最小自然数18.1.18*对于某些正整数来说，只有一组解（不计顺序），这里,、是正整数且可构成三角形的三边长，这样的共有多少个？解析显然，当（素数）时无解；当或时只有一组解（1，）或（1，1，1）；当（、为不同素数）时无解；当（为大于3的素数）时也无解剩下的数为8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100易验证，无解的有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；唯一解的有：8，1

11、2，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；不止一组解的有：36，60，64，72，100注意：判定无解的主要依据是，时无解，困为因此，有解的共有23个18.1.19*面积为整数的直角三角形周长为正整数，求的最小值，并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为、，贝V，,k=a+b+冷a2+b2三141+2,故下令，如有解，贝可平方得a2+b2=25一10(a+b)+a2+b2+2ab.取，得因此、为方程的根，解得、为与，故的最小值是5.18.1.20*若的三边长、均

12、为整数，且，求内切圆半径.解析不妨设，于是.又，故，得.于是只可能为7或10.时，只可能，内切圆半径r=(p-a)(p-b)(p-c)<6P2时，没有满足要求的解.18.1.21*证明：若、是一组勾股数，则存在正整数、使得，而,；或，解析，设（，），贝，.易知、两两互质；与不可能同偶，否贝，；与也不会同奇，否贝，矛盾.于是与必一奇一偶，不妨设奇而偶，于是为奇数.从而，与必互质，否贝有一奇素数，得，故（，），与（，）=1矛盾.于是可设，（，）=1，且、均为奇数，解得，令，即得结论.18.1.22*如图，、在的边、上，的延长线与的延长线交于，求证:、的长度不可能是18的排列.解析如果，贝，得

13、，矛盾，故，同理、都不等于1.因此1只可能等于或之长，不失对称性，设，则，作，在上，四边形乃一等腰梯形，于是为正整数又，故，但为等腰三角形的底角，ZEGC=180。-ZBFD>90。，为的最大内角，矛盾，因此结论证毕18.1.23*已知梯形中，、分别在、上，如果、均为正整数，称该梯形为“整数梯形”.现对于正整数，有正整数''，+'=，且、为一“整数梯形”的上、下底，为另一“整数梯形”的上、下底，求的最小值.解析如图，由,，得，得，于是问题变为求最小的，使与均为平方数.、'不可能都为4故至少有一组三9,显然另一组也不可能为4,于是，29.如果或贝V.若或=9

14、或16,则或.于是的最小值为10,=2,'=8,=9.18.1.24求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四边形.D解析如图，作圆内接四边形，与垂直于，设为一整数，则，由此知，而由，知，.同时乘以系数，得，.易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个，但正整数有无限个，因此有无限个，使6个多项式两两不等，又当时，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似.18.1.25已知、为圆的切线，割线过，与圆交于、与交于，若、均为正整数，求的最小值.解析如图，易知有（调和点列）设，则，从而PA=>PM-PN=fa(a+b+c)=:a+ba'a-b设，

15、（，），则（，）=1，易见（，）=1，则、一奇一偶于是由（，）=1，得，且由为整数知，、为奇数因为，于是的最小值为，当1,2,3,4时，无解（即不是整数），故，又，于是215，当5,4,36时取到若（，）=2，此时、同奇，的最小值为，此时，当，3时，无使为整数，于是，又，所以，当，时取到10综上，的最小值是1018.1.26一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数，求这类四边形中周长最小者.解析显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长=14若等腰梯形上、下底分别为3、4，腰为2,则由托勒密定理，对角线长为4,满足要求，此时周长为11.故最小周长W11.显然对圆内接凸四边形，无边长为1.否则若设

16、，得，同理，于是、均在中垂线上，构不成凸四边形.因此最小周长22X4=8.四边均为2，得正方形，对角线为，不合要求；三边为2，另一边为3，得等腰梯形，对角线长为，亦不合要求.故最小周长210.当周长为10时，显然至少有两边为2.若是2、2、2、4，则对角线为，不合；于是只能为2、2、3、3，四边形为矩形或筝形，总有对角线长为，亦不合.故最小周长为11.18.1.27在中，是高，已知的三边长都是整数，且，求与的周长之比.解析设的三边长分别为、.由题设知，故.于是设，得由勾股定理得是整数，所以是完全平方数，设为，则，.由于，所以解得于是，.因为，所以它们的周长比等于它们的相似比，即.18.1.28

17、已知锐角三角形中，是高，矩形的面积是的1/3，其顶点、在上,、分别在、上，且、及矩形的周长均为有理数，求的最小值.解析如图，设的三边长依次为、，则，及.由条件，知、均为有理数.C由，得，因此只能有若过作的平行线，再作关于的对称点，贝y=，于是的最小值为，仅当时取到.18.1.29*整数边三角形中，是斜边上的高，也是整数.若对同一个能长度，有两个不全等的直角整数边三角形满足要求，求的最小值解析不妨设的三边长为、，首先为有理数，又为整数，因此也是整数又为整数，故也是整数又,故因此，只需正整数、满足及，这样的整数边三角形就存在因为此时是有理数，而为整数从而为整数易知由可得设，、为正整数，且无平方因子，于是由及知，设，代入得，又由，得，今对的任一素因子，其在的指数不会比的指数高，否贝，而最多为1，于是，这是不可能的于是，同理又令，代入得于是对有两组不同的、满足经计算，故当时，确实有满足要求的两组解：，和，故的最小值是6418.1.30*试找一不等边三角形，使及边上的中线、角平分线、高的长度都是整数，可以是多少（此时的中线、角平分线、高的长度分别为多少）?若要求不是整数，但是整数，贝可为多少（此时中线、角平分线、高的长度分别为多少）?解析首先处理为整数的问题，我们选择的是直角三角形，对应边为、，中线，角平分线，高，又，得，故，于是为偶数，而，这个方程有解，得，乘以一个系