2019-2020年高中数学 1.1 任意角教案2 新人教A版必修4

1、2019-2020年高中数学1.1任意角教案2新人教A版必修4教学目的：1巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；2掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法3体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；教学重点：象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；教学难点：终边在坐标轴上的角的集合表示；授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：通过复习回顾，使学生进一步理解角的概念，象限角的概念通过具体的例子，使学生掌握终边在坐标轴上的角和终边不在坐标轴上的角

2、的集合表示以及符号语言的运用教学过程：、复习引入：1角的概念的推广“旋转”形成角BaA一条射线由原来的位置0A,绕着它的端点0按逆时针方向旋转到另一位置0B,就形成角a.旋转开始时的射线0A叫做角a的始边，旋转终止的射线0B叫做角a的终边，射线的端点0叫做角a的顶点.“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以0A为始边的角a=210，B=-150，Y=660,66(0210-150特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角.记法：角或可以简记成。意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大

3、地扩大了。3还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角2“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)3终边相同的角结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：S=|P二a+k-360,kgZ即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。注意以下四点：(1)(2) 是任意角；与之间是“+”号,如-30，应看成+(-30)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个它们相差360的整数倍二

4、、讲解新课：例1写出终边在y轴上的角的集合(用0到360度的角表示).解：T在0360间，终边在y轴的正半轴上的角为90,终边在y轴的负半轴上的角为270，S1=k360+90,kZ；S2=|二k360+270,kZ探究：怎么将二者写成统一表达式？=|=k360+90,kZ=|=2k180+90,kZ；S2=|=k360+270,kZ=|=2k180+180+90,k=|=(2k+1)180+90,kZ；终边在y轴上的角的集合是S=SS=12|=2k180+90,kZ|=(2k+1)180+90,kZ=|=180的偶数倍+90,kZ|=180的奇数倍+90,kZ=|=180的整数倍+90,kZ

5、=|=n180+90,nZ终边在y正半轴、负半轴上所有角分别是:Z写出所有轴上角的集合引申：|=k|=k360,kZ360+180,kZ|=k180,kZOxfy|=k360+90,kJlyOx|=k90,k+45+270,kZ|=kZ,k180+90,kZ|=k45,kZ（最后两个可以根据实际情况处理）例2用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为|k360k360+90，(kZ)；第二象限的角表示为|k360+90k360+180，(kZ)；第三象限的角表示为|k360+180k360+270，(kZ)；第四象限的角表示为|k360+270k360+360，(kZ)；或|k36090k360

6、，（(kZ)o例3写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合（不包括边界）解：.(1)(aI60+k360VaV255+k360,keZ(2)(a|-120+k360VaV45+k360,kez例4已知是第二象限角，问是第几象限角？2是第几象限角？分别加以说明。解：J在第二象限，：k.360+90Vk-360+180,kZ于是，k-180+45k-180+90,JkZ,k=2n或k=2n+1当k=2n时，n-360+45n360+90,在第一象限；当k=2n+1时，n360+225n360+270,在第三象限；当在第二象限时，.可能在第一象限，也可能在第三象限。类似地，2可能在第三、四象限或y轴负

7、半轴上。三、课堂练习：1. 若A=aIa=k360，keZ；B=aIa=k180，keZ；C=（aIa=k90，keZ，则下列关系中正确的是（）B.A=BCA. A=B=CC.AB=CD.ABC2若a是第四象限角，则180-a是（）A. 第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3. 若a与0的终边互为反向延长线，则有（）A. a=0+180B.a=0180C.a=0D.a=0+（2k+1）180,kwz4. 终边在第一或第三象限角的集合是.5. a为第四象限角，则2a在.6. 角a=45+k90的终边在第象限.参考答案：1.D2.C3.D4.a|k180VaV90+k180,kZ5

8、. 第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上6. 一二三四四、回顾小结用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）（1）象限角：第一象限的角表示为|k360VVk360+90,(kZ)；第二象限的角表示为|k360+90VVk360+180,(kZ)；第三象限的角表示为|k360+180VVk360+270,(kZ)；第四象限的角表示为|k360+270VVk360+360,(kZ)；或|k36090VVk360,(kZ)。（2）轴线角:终边在x轴正半轴上的角的集合：|=k360,kZ；终边在x轴负半轴上的角的集合：|=k360+180,kZ；终边在x轴上的角的集合：|=k180,kz

9、；终边在y轴正半轴上的角的集合：|=k360+90,kZ；终边在y轴负半轴上的角的集合：|=k360+270,kZ；终边在y轴上的角的集合：|=k180+90,kZ；终边在坐标轴上的角的集合：|=k90,kZ。5.区间角：锐角：（0,90),钝角：(90,180），注意区间（a，B）与360+a,k360+B）的区别。五、课后作业：书第10页Nq4,51写出与37023终边相同角的集合S,并把S中在一720360间的角写出来.2.在直角坐标系中作出角a二k-180+60,keZ,角的终边.3.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合（不包括边界）参考答案：1.S=aIa=1023z+k360,k

10、eZ在720360之间的角分别是1023一34937709372.3. (1)aI45+k180Va90+k180,kwz(2)aI150+k360a150+k360,kez六、板书设计(略)七、课后记：分别用分类讨论和图形旋转法探究若a分别在第一、二、三、四象限，分别在第几象限？问题.使学生进一步掌握分类讨论和数形结合两种重要的数学思想,并由问题的结论为下单元奠定基础.1. 在360,1440中与2116终边相同的角有()A. 1个B.2个C.3个D.4个2. 在360,1620中与2116终边相同的角有()A. 2个B.3个C.4个D.5个3. 角a=45+k180,kez的终边落在()A

11、.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限4. 第二象限角的集合可表示为.5角a的终边落在一、三象限角平分线上，则角a的集合6.角a是第二象限角，则180+a是第象限角；一a是第象限角；180a是第象限角.参考答案：1.C2.C3.A4. aI90+k360a180+k360,kez5. aIa=45+k180,kez6. 四三一2019-2020年高中数学1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广同步训练新人教B版必修4知识点一：任意角的概念1.不相等的角的终边位置A.定不相同B.一定相同C.可能相同D.以上都不对2时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角

12、为知识点二：与任意角a终边相同的角3. 与405角终边相同的角是A. k36045,kWZB. k360405,kWZC. k360+45,kWZD. k180+45,kWZ4. 集合A=a|a=k9036,kWZ,B=p|180邙180,则AHB等于A. 36,54B. 126,144C. 126,36,54,144D. 126,545. 将一885化为a+k360(0Wa360,kZ的形式为.6. 与1991终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是.7. 角a和p终边关于直线y=x对称，且a=30，则p=.知识点三：象限角8. 若a是第二象限的角，则180a是A.第一象限的角B.第二象限的角

13、C.第三象限的角D.第四象限的角9. 如果角a终边上有一点P(0,2)，那么a是A. 第三象限角B. 第四象限角C. 终边落在y轴负半轴上的角D. 既是第三又是第四象限角10给出下面的角60,120,210,300,420,460,660,300,240,570,150,60.其中,(1)第一象限的角是；(2) 第二象限的角是；(3) 第三象限的角是；(4) 第四象限的角是能力点一：角的有关概念的理解11下列说法正确的是A. 第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. 831。是第二象限的角D. 9520z,98440z,26440z是终边相同的角12. A=小于90。的角,B

14、=第一象限的角,贝9AHB等于A.锐角B.小于90的角C.第一象限角D.以上都不对13. 已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0360范围内与其终边相同的角.(1) 75；(2)855；(3)510.能力点二：终边相同角的综合应用14. 如图，终边落在阴影部分的角的集合是A. a|45Wa120B. a|120Wa315C. a|k36045ak360+120,kwZD. a|k360+120ak360+315，kZ15. 若集合M=x|x=k90+45,kWZ,N=x|x=k45+90,kWZ，则A.M=NB.MNC.MnN=MN

15、D16. 与一642终边相同的最大负角为.17. 已知角a的终边与角60的终边重合，写出满足条件的角a的集合S，并求出这个集合中在360360之间的角18已知a与150角的终边相同，写出与a终边相同的角的集合，并判断03是第几象限角19.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式一360WB720的元素B写出来.20.如果a是第三象限的角，那么一a,2a的终边落在何处?21.已知直线l:y=y=/3x.及直线l2：且11与垂直，如图所示，请表示出终边落在直线11与12上的角.答案与解析1.C2. 480时针走1小时,分针顺时针转360；每分钟分针顺时针转6,则20分钟转120,分针

16、转过的角为(360120)=480.3. C4. C对于a=k9036,kGZ,分别令k=1,0,1,2得a=126,36,54,144.5.195+(3)3606.191169与1991。终边相同的角为k360+1991=(k+5)360+191(kGZ),当k=5时，191是最小正角；当k=6时,169是绝对值最小的角.7.60+k360,kWZ由对称性知，60与30的终边关于直线y=x对称，与60。角的终边相同的所有角60+k360,kGZ均满足条件.8. AVa是第二象限角，一a是第三象限角，一a与180a的终边互为反向延长线.180a是第一象限角.9. C10. (1)60，420，

17、一300(2)120，460，一240(3)210，570，一150(4)300,660,60把各个角写成a+k360(a丘0,360)的形式，判断a所在象限即可.能力提升11. DV98440/=26440/+2X360,9520/=26440/+(1)X360.选项D正确.12.D13.解：如图所示.由图可知，(1) 75。角在第四象限，在0360范围内与285角的终边相同.(2) 855在第二象限，在0360范围内与135角的终边相同，(3) 510在第三象限，在0360范围内与210角的终边相同.14.C15. CVM=x|x=k90+45,kWZ=x|x=45(2k+1),kZ,N=

18、x|x=k45+90,kWZ=x|x=45(k+2),kZ,.皿“16. 282642=360282.17. 解：与60角的终边重合的角的集合为S=a|a=60+k360,kwZ，当k=0时，a=60；当k=1时，a=60360=300.所以集合S在360360之间的角为60,300.18. 解:Va与150角的终边相同，与a终边相同的角的集合为a|a=k360+150,kwZ,此时牛=k120+50(kZ).若k=3n(nWZ)，则牛=n360+50(nZ)，此时牛在第一象限；若k=3n+1(nZ)，则牛=n360+170(nZ),此时牛在第二象限；若k=3n+2(nWZ)，则牛=n360+

19、290(nWZ),此时牛在第四象限.故牛可能为第一、二、四象限角.19. 解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是45，在0360范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45,225，因此，终边在直线y=x上的角的集合S=p|B=45+k360,kWZUB|B=225+k360,kWZ=PIB=45+k180,kWZ.S中适合一360WB720的元素B是45-2X180=-315,45-1X180=-135,45+0X180=45,45+lX180=225,45+2X180=405,45+3X180=585.20. 解：.a是第三象限的角，.180+k360a270+k3

20、60,kwZ.一270k360一a-180-k360,360+2k3602a540+2k360,kZ.一a的终边落在第二象限，2a的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上.拓展探究21. 解：由题意知，终边落在直线11上的角的集合为M=a|a=30+k360,kZUa|a=210+k360,kwz=ala=30+k180,kwz；在0360的角中，终边落在直线y=5x上的角为：120或300，所以终边落在直线12上的角的集合为M2=a|a=120+k360,kwZUa|a=300+k360,kZ=a|a=120+k180,kWZ.所以终边落在直线li与l2上的角的集合为M=MUM2=a|a

21、=30+k180,kZUa|a=120+k180,keZ=a|a=30+2k90,kwZUa|a=30+(2k+1)90,kZ=ala=30+k90,kwz.1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算基础巩固1.D2.2弧度3.Bcn4.D-1485=-1485X-33n4=-10n+罟-5B7n12X180)=105,465=360+105,.B项正确.,、5n3n,、6. (1)丁(2)288(1)丁1=盘rad,c/、n5n.300=(3OO)Xj80=-3-；V6730z=(67|),.6730n13n=X67_=18028(2).Trad=(180)n丿8n5_8n=(T180Xn=28

22、87. 解：(1)如题图(1)中以OB为终边的角330,可看成为一30,化为弧度，即一卡，十n5n而75=75X=IT,n5n阴影部分内角的集合为8|2kn-602kn+TpkwZ.(2) 如题图(2)中以OB为终边的角225，可看成一135，化为弧度,即一乎，而OA为终边的角135=135乂186=乎,阴影部分角的集合为8|2kn乎82kn+乎，kZ.(3) 如题图(3),丁30=十，210=乎,66.812kn+782kn+%kwZU812kn+82kn+,kZ,6262即8|2kn+*82kn弋，疋ZU8|(2k+1)n+*8(2k+1)n+号，出Z，.8|kn+7-8kn+77,kZ.

23、628. C设弦AB=R,且AB所对的圆周角为a,则圆心角为ZAOB=2a或2n2a,由于弦AB等于半径，/.ZAOB=3，可得2a=-y或2n2a=号,解得a=牛或詈.9. C10.311.解：设扇形圆心角为a，半径为r弧长为l,面积为S.2n由题意知，a=,r=20（cm）.*.l=ar=8n(cm),11S=2lr=28nX20=80n(cm2).能力提升12. C13. B分针转过的角度数为一(2X360+120)=840n/、14n即面X(840)=14. 解：(l)20230=202.5.405n9n=()X=21808(2)5n(5n12=75.（3）方法一（化为弧度）：a=15=15X80=12.e=105105Xn7n18012nn7n,.八显然1210112故aBye=o.方法二（化为角度）：=n=(nX變10(10n=18Y=1rad57.30.=105.显然,151857.30105.故aBye=(p.15. D16.B.N=x|x=kn-号,kZ=x|x=(2k1)+,kWZ,r,nM=x|x=2k+,kWZ,Z.MN.2n9n7n19n小8n17/,i9e:l+2kn,keZ.5105105e2nkn所以4-_5+2,keZ.、八ie2n9n7n