电动力学5-7(电磁场动量)

1、15.7 电磁场的动电磁场的动量量2能量守恒定律和动量守恒定律能量守恒定律和动量守恒定律物质运动形式转换的两条基物质运动形式转换的两条基本的守恒定律本的守恒定律电磁场也和其他物体一样具有动电磁场也和其他物体一样具有动量，辐射压力，是电磁场带有动量，辐射压力，是电磁场带有动量的实验证据。量的实验证据。3电磁场和带电物质之间有相互作用。场电磁场和带电物质之间有相互作用。场对带电粒子施以作用力，粒子受力后，对带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生变化，同时电磁场本身的它的动量发生变化，同时电磁场本身的状态也发生相应的改变。状态也发生相应的改变。在这相互作用过程中，入射电磁场的在这相互作用过程中

2、，入射电磁场的动量转移到物体上，同时电磁场的动动量转移到物体上，同时电磁场的动量也发生相应的改变。量也发生相应的改变。41.1.电磁场的动量密度和电磁场的动量密度和动量流密度动量流密度 5考虑空间某一区考虑空间某一区域，其内有一定域，其内有一定电荷分布。区域电荷分布。区域内的场和电荷之内的场和电荷之间由于相互作用间由于相互作用而发生动量转移。而发生动量转移。区域内的场区域内的场和区域外的和区域外的场也通过界场也通过界面发生动量面发生动量转移转移由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面由于动量守恒，单位时间从区域外通过界面S S传人区域传人区域V V内的动量应等于内的动量应等于V V内电荷的动量内

3、电荷的动量变化率加上变化率加上V V内电磁场的动量变化率。内电磁场的动量变化率。6由于麦克斯韦方程组是电磁场的基由于麦克斯韦方程组是电磁场的基本动力学方程，由麦克斯韦方程组本动力学方程，由麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式应该可以导出电磁和洛伦兹力公式应该可以导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。场和电荷体系的动量守恒定律。7电荷受电磁场的作用力由洛伦兹力电荷受电磁场的作用力由洛伦兹力公式表示以公式表示以 f 表示作用力密度表示作用力密度fJ电荷系统受力作用后，它的动量发生变化电荷系统受力作用后，它的动量发生变化 。由动量。由动量守恒定律，电磁场的动量也应该相应地改变。守恒定律，电磁场的动量也应该相应

4、地改变。电荷系统的动电荷系统的动量密度变化率量密度变化率含有电磁场动量密度变化率、含有电磁场动量密度变化率、场内动量转移的一些量场内动量转移的一些量feev 如：电子受力如：电子受力8用麦克斯韦方用麦克斯韦方程组把作用力程组把作用力密度完全用场密度完全用场量表出。由真量表出。由真空中的方程空中的方程0001Jt把作用力密度化为把作用力密度化为0001()()ft 9把力密度写成对把力密度写成对E和和B对称的形式对称的形式利用另外两个麦氏方程利用另外两个麦氏方程0 t 000001()()1()()()ft 10电磁场的电磁场的动量密度动量密度改变率改变率0g电磁场的动量密度为电磁场的动量密度为

5、电磁场内电磁场内部的动量部的动量转移转移000001()()1()()()ft 112221()()()()21()()21()2j j可得可得证明电磁场内部的动量转移证明电磁场内部的动量转移21()()2 12其中其中 是单位张量，对任一矢量是单位张量，对任一矢量 都都有有 jj同理同理21()()()2 jj13gft J220000111()2 Jj力密度公式方括号部分可以化为一力密度公式方括号部分可以化为一个张量个张量 的散度的散度电荷系统的动电荷系统的动量密度变化率量密度变化率场内动场内动量转移量转移电磁场动量电磁场动量密度变化率密度变化率+ += =动量守恒动量守恒定律的微定律的微

6、分形式分形式J14VVVSdfdVgdVdVdSdt JJ张量张量 称为电磁场的动量流密称为电磁场的动量流密度张量，或称为电磁场应力张量度张量，或称为电磁场应力张量对区域对区域V积分得积分得对区域边界对区域边界的面积分的面积分左边是内电荷系左边是内电荷系统和电磁场的总统和电磁场的总动量变化率动量变化率由由V外通过界面外通过界面S流进流进V内的动量流内的动量流J15若区域若区域V为全空间，则面积分趋于零，有为全空间，则面积分趋于零，有0dfdVgdVdt电磁场和电荷的总动量变化率电磁场和电荷的总动量变化率等于零，即动量守恒定律等于零，即动量守恒定律161kec 对于平面电磁波，有对于平面电磁波，

7、有00021gSc 电磁场的动量密度和能流密度电磁场的动量密度和能流密度S之间有一般关系式之间有一般关系式 为传播为传播方向单位矢方向单位矢量量ke17代入得一定频率的电磁波的平均动量密度代入得一定频率的电磁波的平均动量密度200Re()22kgec 因为对电磁波有因为对电磁波有 , w为能流为能流密度，则密度，则kwgeckScwe18这个关系在量子化后的电磁场也是这个关系在量子化后的电磁场也是成立的。量子化后的电磁场由光子成立的。量子化后的电磁场由光子组成，每个光子的能量为组成，每个光子的能量为h /2 ，h为普朗克常数，为普朗克常数， 为角频率。每个为角频率。每个光子带有动量光子带有动量

8、h n/c= hk。19动量流密度张量动量流密度张量J的意义。设的意义。设ABC为一面元为一面元 S，这面元的三个分这面元的三个分量分别等于量分别等于OBC, OCA和和OAB的面的面积。积。OABC是一是一个体积元个体积元 V 。20T11 ，T12 ， T13 T21 ，T22 ， T23T31 ， T32 ，T33通过界面通过界面OCA单位面积流入单位面积流入体内的动量三个分量写为体内的动量三个分量写为通过界面通过界面OAB单位面积流入单位面积流入体内的动量三个分量写为体内的动量三个分量写为通过界面通过界面OBC单位面积流入单位面积流入体内的动量三个分量写为体内的动量三个分量写为2133

9、32321313 SSSp 3232221212 SSSp 3132121111 SSSp 当体积当体积 V 0时，通过时，通过这三个面流入体内的动量这三个面流入体内的动量等于从面元等于从面元ABC流出的动流出的动量。因此，通过量。因此，通过ABC面流面流出的动量各分量为出的动量各分量为22写成矢量写成矢量形式为形式为pS J这就是通过面元这就是通过面元 s流流出的动量。则通过闭出的动量。则通过闭合曲面流出的总动量合曲面流出的总动量为为dS J张量张量J 的分量的分量Tij的意义是通的意义是通过垂直于过垂直于i轴的单位面积流过轴的单位面积流过的动量的动量j分量分量。23 例求平面电磁波例求平面

10、电磁波的动量流密度张量。的动量流密度张量。24J0平面电磁波有平面电磁波有 0E2=B2/ 0，22200011()2 J平面电磁波平面电磁波E、B、k是三个互相是三个互相正交的矢量正交的矢量,我们用这三个方向来我们用这三个方向来分解分解J 的各分量。由的各分量。由EB=0，得，得 解解 25同理可证同理可证0 J0, JJ则则J只有沿只有沿 的分量。的分量。用用 ，可求得可求得220011()2kkkkeeee JJ则则kkkke ecge e Jkke e 0kke Ee B26J 表示式中的第二个表示式中的第二个ek表示电磁波动量沿波矢表示电磁波动量沿波矢方向，第一个方向，第一个ek表示

11、只有对垂直于波矢的面才表示只有对垂直于波矢的面才有动量通过，在侧面上好是没有动量转移的。有动量通过，在侧面上好是没有动量转移的。电磁波带动量密度电磁波带动量密度g，传播速度，传播速度c，因此每秒垂，因此每秒垂直流过单位截面的动量数值为直流过单位截面的动量数值为cg。其中其中ek为波矢为波矢k方向的单位矢量，方向的单位矢量，g为动量密度。若选为动量密度。若选 方向为方向为z轴，则轴，则J 只有只有 T33 分量，分量，T33 =cg。kkkke ecge e Jke27 2. 辐射压力辐射压力 电磁波具有动量，它入电磁波具有动量，它入射于物体上时会对物体施加一定射于物体上时会对物体施加一定的压力

12、，这种压力称为辐射压力。的压力，这种压力称为辐射压力。由电磁波动量密度和动量守恒定由电磁波动量密度和动量守恒定律可以算出辐射压强。律可以算出辐射压强。28例例2 平面电磁波入射于理平面电磁波入射于理想导体表面上而被全部反射，想导体表面上而被全部反射，设入射角为设入射角为 ，求导体表面，求导体表面所受的辐射压强。所受的辐射压强。29icg 把入射波动量分解为垂直于表面的分量把入射波动量分解为垂直于表面的分量和与表面相切的分量。电磁波被反射后，和与表面相切的分量。电磁波被反射后，切向分量不变，而法向分量变号。电磁切向分量不变，而法向分量变号。电磁波速度为波速度为c，每秒通过单位横截面的平，每秒通过

13、单位横截面的平面波的动量为面波的动量为解解入射波入射波平均能平均能量密度量密度30每秒入射于导体每秒入射于导体单位面积的动量单位面积的动量法向分量法向分量 cosi 2cosi 法向分量法向分量面积：面积：1/cos 31在反射过程中，电磁波动量的变化在反射过程中，电磁波动量的变化率为上式的两倍，由动量守恒定律，率为上式的两倍，由动量守恒定律，导体表面所受的辐射压强为导体表面所受的辐射压强为 2cos2iP 在导体外部，总电场为入射在导体外部，总电场为入射波电场波电场Ei加上反射电场加上反射电场E ri )Re(2*222riri 32则在导体表面附近总平均能量密度则在导体表面附近总平均能量密

14、度 等于等于入射波能量密度加上反射波能量密度入射波能量密度加上反射波能量密度ri 2222Re()irir 干涉项，表现为导体表面外强干涉项，表现为导体表面外强弱相间的能量分布，对空间各弱相间的能量分布，对空间各点取平均后贡献为零。点取平均后贡献为零。333 P若电磁波从各若电磁波从各个方向入射，个方向入射，对对 取平均后得取平均后得 2cos P 2cos2iP 34上式对于在表面完全吸收电磁波的上式对于在表面完全吸收电磁波的情况也是成立的，它是黑体辐射对情况也是成立的，它是黑体辐射对界面所施压强的公式。界面所施压强的公式。3 P35由动量流密度张量由动量流密度张量J可以较简单地得出可以较简

15、单地得出上面的结果。设上面的结果。设Ei垂直入射面，在完全垂直入射面，在完全反射情形中有反射情形中有Er=-Ei，则界面上总电场，则界面上总电场强度强度E=0，总磁场为，总磁场为B=2Bicos ，B与与界面相切。设界面相切。设n为指向导体内的法线，为指向导体内的法线，有有enE=en B=0，则，则36 2cos2iP 则导体表面受到压强则导体表面受到压强222200112()cos e2 cos e2nnininee J在一般光波和无线电波情在一般光波和无线电波情形中，辐射压强是不大的。形中，辐射压强是不大的。例如太阳辐射在地球表面例如太阳辐射在地球表面上的能流密度为上的能流密度为1.35103W m-2，算，算出辐射压强仅为出辐射压强仅为10-6Pa。但是近年制成的激光器能但是近年制成的激光器能产生聚焦的强光，可以在产生聚焦的强光，可以在小面积上产生巨大的