高数第七章习题

1、 本章以向量代数为工具，运用本章以向量代数为工具，运用形数结合形数结合的方法，研究空间的曲面的方法，研究空间的曲面和曲线，同时重点研究了平面和直线。和曲线，同时重点研究了平面和直线。一一 基本要求：基本要求： 1. 正确理解正确理解向量概念向量概念，熟练掌握向量的坐标表示式、其代数运算，熟练掌握向量的坐标表示式、其代数运算 及两个向量相互平行、垂直的条件和其夹角的求法。及两个向量相互平行、垂直的条件和其夹角的求法。 2. 平面平面方程四形式方程四形式 3. 直线直线方程四形式方程四形式 4. 点、直线、平面间的位置关系点、直线、平面间的位置关系 5. 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系

2、6. 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程旋转曲面方程及及空间曲线在空间曲线在坐标面上的投影方程。坐标面上的投影方程。二二 课堂练习课堂练习: 1. 填空填空 2. 建立平面或直线方程建立平面或直线方程 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何向量向量坐标表示坐标表示既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量模及方向角模及方向角方向余弦方向余弦,zyxaaaa,：方方向向角角,|cosaxaba a,zzyyxxbababa,zyxaaa)cos(ba,baba| baaPrj| zzyyxxb

3、abababacba)sin(| ba,bac| , ac yxyxxzxzzyzybbaabbaabbaa,ccbaabc)(zyxzyxzyxcccbbbaaaabc,|222zyxaaaa,|cosaya|cosazaabbPrj| ,zyxbbbb,zyxcccc, bc 成右手系成右手系且且)(cb,a,一一 基本要求基本要求 1. 向量运算及坐标表示向量运算及坐标表示xzyn=A,B,CM(a,b,d)A(x a)+B(y b)+C(zd)=01 czbyaxAx+By+Cz+D=0),(),(),( 333222321zyxCzyxBzyxA已已知知三三点点01313131212

4、12111 zzyyxxzzyyxxzzyyxxbca(1) 点法式点法式:(2) 一般式一般式.(3) 截距式：截距式：(4) 三点式：三点式：0其中其中 D= Aa Bb Cd2. 平面方程平面方程(1)点向式：点向式：S=m,n,pM(a.,b,c)Lpcznbymax 0022221111DzCyBxADzCyBxAS(2) 参数式参数式 : x = a+m t y = b+n t z = c+p t(4) 两点式两点式:AB),(),(222111zyxBzyxA已已知知121121121zzzzyyyyxxxx .(3) 一般式一般式L.L3. 直线方程直线方程pzznyymxxl

5、111 ：直直线线| ssdNM222000|CBADCzByAxd (1) 点到平面的距离点到平面的距离 (3) 直线平行于平面直线平行于平面),(000zyxM已已知知点点,0 DCzByAx：平平面面.(2) 点到直线的距离点到直线的距离MdNlMdlN0 CpBnAm.记记,CBAn,pnms),(111zyxN点点.0 111 DCzByAx且且4. 点、直线、平面间的位置关系点、直线、平面间的位置关系（用解析法判断）（用解析法判断）nss (4) 直线在平面内直线在平面内 0 CpBnAm(5) 直线垂直于平面直线垂直于平面pCnBmA (6) 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 |

6、snsn sinll l.且且0111 DCzByAx.N4. 点、直线、平面间的位置关系点、直线、平面间的位置关系（用解析法判断）（用解析法判断）.pzznyymxxl111 ：直直线线),(000zyxM已已知知点点,0 DCzByAx：平平面面sssnnn 011111 DzCyBxA ：(1) 两个平面垂直两个平面垂直0212121 CCBBAA(2) 两个平面平行两个平面平行21212121DDCCBBAA (3) 两个平面重合两个平面重合21212121DDCCBBAA 已知两个平面已知两个平面0 22222 DzCyBxA ：.5. (4) 两个平面夹角为两个平面夹角为 2222

7、22212121212121cosCBACBACCBBAA (5) 两个平行平面间的距离为两个平行平面间的距离为d22212|CBADDd 011111 DzCyBxA ：已知两个平面已知两个平面0 22222 DzCyBxA ：d.5. . 1 2n1n2.已知两条直线已知两条直线 1111111，：pzznyymxxl (1) 两条直线共面两条直线共面(2) 两条直线的夹角两条直线的夹角 (3) 两条平行直线的距离两条平行直线的距离d(4) 两条异面直线间的最短距离两条异面直线间的最短距离dAB021ABss|211ssss2cosd| ssdABAB2121ssssdABA 222222

8、2pzznyymxxl ：.s.B6. d .。和和两两条条对对角角线线的的长长为为确确定定的的平平行行四四边边形形与与投投影影为为上上的的在在则则其其夹夹角角矢矢量量。因因为为位位置置关关系系是是则则两两矢矢量量的的矢矢量量的的坐坐标标是是则则矢矢量量点点已已知知的的方方向向是是的的模模是是依依次次为为在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投影影矢矢量量_ , _,1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 )4(_, ,1 ,21 , 2,3 , 2 , 1 )3(_ , )2( _, _, 3 , 2 , 1 )1(2122221111babababaMMzyxMzyxMaaa 1, 2, 31

9、4143cos ,142cos ,141cos 垂直垂直0 ba321|Prj bbaab 6| ba2| ba.,121212zzyyxx .二 1. 填空填空._ ) 0 , 1 , 0( )2 , 1, 3( )6(的的平平面面方方程程是是及及轴轴，且且过过点点平平行行于于QPx _| , , , , )5( cbabacacbcbacba则则均均为为非非零零矢矢量量，且且设设._212312:)0 , 0 , 0( )7(的的距距离离为为到到直直线线原原点点 zyxLM3.知：它们两两垂直。知：它们两两垂直。由由, , , bacacbcba | | | | caccbcba 又：又：

10、1 | c1. | 1, | | ba同同理理，y + z = 110.解：解：.M解：解：lN(2, 3,1)d2, 2 , 1 s.|ssNMd ._1222 134 11 )12(._0132011423 )11(._083 11 )10( 1)1()1( 1 )9(._ 08 )8(222222222间间夹夹角角为为和和直直线线的的标标准准式式为为 直直线线间间夹夹角角为为和和 两两个个平平面面平平面面上上的的投投影影为为之之交交线线在在与与两两个个球球面面方方程程为为则则，平平面面垂垂直直于于使使其其母母线线，作作柱柱面面：过过曲曲线线 zyxzyxzyxzyxxyxxOyzyxzy

11、xSxOzSzyxzyxL422 xzzx. 022022 yyxz411172101 zyx4. _ _ _ 1 _ 0 _ 1 _ 1 )15(._ _ 00),( )14(._062 241312 )13(2222222222222222222222222222。：；：；说说出出曲曲面面名名称称：轴轴旋旋转转，得得旋旋转转面面绕绕轴轴旋旋转转，得得旋旋转转面面绕绕曲曲线线的的位位置置是是和和平平面面直直线线zqypxzqypxczbyaxczbyaxczbyaxczbyaxyzxzyfzyxzyx (p, q 同号同号) (p, q 同号同号)椭球面椭球面双叶双曲面双叶双曲面二次锥面二次

12、锥面单叶双曲面单叶双曲面双曲抛物面双曲抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面相交相交0) ,(22 zyxf0) ,(22 zxyf.0 80 70 60 50 41 31 21 1o2o22o222o22o2o22o222o xyzxyxzyxyxxyxzyx球面球面圆柱面圆柱面(母线平行于母线平行于z轴轴)两平行平面两平行平面两相交平面两相交平面原点原点z轴轴yOz平面平面三个坐标面三个坐标面(16) 指出下列方程表示哪种曲面指出下列方程表示哪种曲面？.yxyxyxxzyyxxzy4 1519 14194 131 12034 1101 1013 92o22o22o22o2o2oo 平面平面(平行于平行

13、于x轴轴)虚轨迹虚轨迹虚轨迹虚轨迹两平行平面两平行平面椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面. 0 70404 6234 500 4 3 2 1222o22o222oooooxzyxyxzyzzyxyxczbyaxbyaxax平面平面直线直线z轴轴一点一点双曲线双曲线抛物线抛物线两相交直线两相交直线(17) 指出下列方程表示哪种图形指出下列方程表示哪种图形？. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( )3(210LzyxLzyxM相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 . 11122: )1, 2 , 1( (1)10的方程的

14、方程相交的直线相交的直线垂直垂直且与直线且与直线求过点求过点LzyxLM 2. 建立直线或平面方程建立直线或平面方程. 241342: 31121: )2(21dzyxLzyxL距距离离之之间间的的与与求求直直线线 返回首页. 11122: )1, 2 , 1(1)10的方程的方程垂直相交的直线垂直相交的直线且与直线且与直线求过点求过点LzyxLM L1解：解： 2. 解答：解答：M01o 过过 M0作作 L1 的垂面，的垂面，M0M垂面方程为垂面方程为0) 1()2() 1( 2 zyx012 zyx即即：2o 求出求出 L1与此平面的交点与此平面的交点M： 11122zyx 012 zyx

15、32 t)32 ,31 ,32( M交交点点.35 ,35 ,35 0 MM , 1 , 1 , 1 3o S取取 得得所所求求直直线线为为：. 111211: zyxL.L= t解：解：L1. 11122: )1, 2 , 1(1)10的方程的方程垂直相交的直线垂直相交的直线且与直线且与直线求过点求过点LzyxLM 2. 解答：解答：1o 过过 M0作作 L1 的垂面，的垂面，dL1L2 方法方法 I 思路：思路：1o 过过L1做平面做平面 ，使，使 / L2.2o 点点M L2,点点M 到平面到平面 的距的距 离即为离即为d.M. 241342: 31121: 21dzyxLzyxL距距离

16、离之之间间的的与与求求直直线线 (2)解：解：1s2s.先求平面先求平面 的法矢量：的法矢量：21ssn 2 , 1, 43, 1 , 2 6 ,16 , 1 06)1(16)1(: zyx015616: zyx即即 取点取点M(2,3,4) L2,2226161|15)4(63162| d有有.29311 .n方法方法 II 思路：思路：. 241342: 31121: 21dzyxLzyxL距距离离之之间间的的与与求求直直线线 .解：解：L1L21s2sMN利用混合积的几何意义：利用混合积的几何意义：所求的所求的 d 就是三矢量构成的就是三矢量构成的平行六面体的高平行六面体的高.|2121

17、ssNMssd .| 2 , 1, 43, 1 , 2 | 4, 2 , 32 , 1, 43, 1 , 2 | .29311 .(2)(3)思路思路I：. 221L的的交交线线即即为为所所求求直直线线与与平平面面因为：因为：(1) 它们共面它们共面.(2) 它们不平行它们不平行.( L2平行于已知平面平行于已知平面 ，但显然，但显然 L 1 不平行不平行于于 . )相交。相交。问题问题：L2与与 L1 相交吗？相交吗？求直线的一般式方程求直线的一般式方程. 2 1 2nL1L2. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyxM相相交交的的直直线线方方程程又又

18、与与直直线线平平行行且且与与平平面面求求过过点点 ：的平面的平面且平行于平面且平行于平面先求过先求过10 M.1可可求求出出. 210LM的的平平面面过过已已知知直直线线且且再再求求过过.M0.2可可求求出出具体解答如下：具体解答如下：nM12nL1L2；的平面的平面且平行于平面且平行于平面求出过求出过10 M0143 :1 zyx：的平面的平面过已知直线过已知直线且且再求过再求过210 LMM0, )031( 1M,为为记点记点 2法矢量法矢量则平面则平面 . 2 , 1 , 31 sL的的方方向向数数：M1sMMn 102 2 , 1 , 34, 3 , 0 9,12,10 解：解：. 04691210 :2 zyx 046912100143: 2 zyxzyxL所所求求直直线线.思路思路I： 求直线的一般式方程求直线的一般式方程.sn. 21331: , 01043: )4 , 0 , 1( 210LzyxLzyxM相相交交的的直直线线方方程程又又与