平均数及其教学

1、平均数及其教学任景业（北京师范大学基础教育课程研究中心）张羽（辽宁省沈阳市沈河区大南街第一小学）在小学数学中的统计与概率这一领域，平均数、中位数、众数是小学阶段学习的三个统计量，其中以平均数应用最为广泛，它也是学生将来学习其他两种统计量的基础。在统计中它是描述数据集中程度的一个统计量，常用于表示统计对象的一般水平。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。一、平均数的意义以前在教学“平均数”的概念时，教师往往把教学重点放在

2、平均数的字面含义和求法上，而对平均数在统计学上的意义和作用很少提及。理解平均数可以从以下三个方面去理解：1.怎么算平均数.也就是计算平均数的程序。即用被平均的数加起来除以数值的个数或通过均分几个量求得平均数。也就是你刚才提到的“一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。”说简单一些就是“先加再除”，这是算法程序方面的理解。2.在什么情境中用平均数。不仅仅知道怎么算，还要知道在什么情境下怎么正确地运用它解决生活中的问题，能求在不同情境下的平均数。这是第二方面的理解。3.平均数在统计中的意义是什么？它是代表和理解一组数据的一个代表值。是描述和比较数据的统计量。这一点理解起来最难。但你谈得很充分。一组

3、数据少则几十，多则上千，甚至于过百万，“由于我们的思维不能思考所有的数据 美M·克莱因著，张祖贵译西方文化中的数学，台湾：九章出版社，P355”，需要选取一个合适的代表值表达一组数据的特征。平均数便是小学阶段学习的一个重要的统计量。平均数的性质有很多，我们可以做一下汇总。如：1.   平均数比最小的数大一些，比最大的数小一些，在它们中间。2.   平均数不一定是这一组数据中的数。3.   所有的数据都要参与计算，包括0。4.   受极端数据的影响；一个数据离平均数越远，对平均数的影响越大。5. 

4、  如果一个数据等于平均数反而不影响一组数据的平均数了。也就是如果一个数据等于平均数，计算时，有它没它一个样。6.   所有的数据在平均数上下波动，它们的偏差之和等于0.7.  平均数并不是将所有的数据都变得相等了。8.  平均数是各个数据将总量平均分担的结果。9平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征。对于这样的汇总，我们不要去教这些条条。虽然我们的表述尽量少了一些数学味，但让学生去理解仍然不是容易事。教学中要为学生提供足够的空间和引导，让学生通过读图或计算、举例、解释等多种方式，尽可能多地去体会。如，圣马力

5、诺男性平均寿命为80岁，是不是到这个国家的人到80岁就死亡呢？是不是在死亡的人中没有低于80岁的人呢？这样的例子可以帮助理解“平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征”。二、平均数在教材中的呈现说明在新世纪小学数学教材中，设计了两个组投篮比赛的情境，说一说每队的队员分别投进多少个球？哪个小队的实力强？你是怎么比较的？ 每组数据中，数据各不相同，用哪一个数作为“实力强”的代表值？学生很容易想到用总数。在人数相等时，这不会有异议。但在人数不等时，再用总数比较学生就会发现不公平了。必须要引入一个新的“量”来表示。自然而然地让学生体会到引入平均数的必要，也体会到平均数这一概念在统计中的作

6、用。新世纪小学数学教材并没有给出求平均数的公式，重点是放在理解平均数的意义上，不能把重点放在计算上。所以在教学中应当让学生自己去描述、建立平均数的算法模型，不要求死记硬背。蔡金法博士的研究蔡金法著中美学生数学学习的系列实证研究他山之石，何以攻玉，北京：教育科学出版社，2007年4月，P155发现，亚洲和美国在教学平均数的内容时，有显明的不同。“亚洲系列更多地是对算术平均数这一算法的概念性和操作性理解，而不仅仅是把它看成一组数据的代表”，美国的教材“更多的是从一种统计学的而不是算法的角度来理解这个概念。”他们“强调学生应把平均数作为数据的代表来理解，而不是给学生演示算术平均数的算法。在美国的教师

7、用书上很明确地指出五年级的学生没有必要学会平均数的计算方法，只是会估计就行了，如估计一个月的平均气温。在学生形成平均数的统计学意义的直觉后，才要求他们解决该教材中的例子。” 因为各国国情不同，我们不能说他们“五年级的学生没有必要学会平均数的计算方法，只是会估计就行了”这个要求是不是太低，但他们并不过早地给学生算法，而是让学生更多地从一种统计学的而不是算法的角度来理解平均数的概念，对我们是很有启发的。三、教学中如何让学生体会平均数的统计意义让学生体会平均数的统计意义们可以从下面三个方面进行教学：1. 要结合直观图和算式图像是帮助学生理解平均数的，统计图在统计教学中占有很重要的地位。我们前面提到平

8、均数是一组数据的代表值，但它在代表这一组数据的主要特征时，也失去了这一组数据的部分特征，统计图不仅仅是给我们直观，还给我们一些平均数、中位数、众数这些代表值不能表达的其他信息。从中我们可以获取更多的信息，可以更好地帮助我们“用数据解释现象”。另外，对于平均数、众数、中位数还要注意这些代表值不同的表征方法，帮助学生形成统计学意义上的直觉，统计图是建立这种直觉的有效载体。教材中“移多补少”的图示很容易让我们想到“平均”“抺平”。一见图形，就能想到“平均”的意义，一听“移多补少”就能“看到”平均数的算法。这是很好的直观模型。对于一个概念的理解，建立的直观模型越多，对这个概念的理解越透。在美国“情境中

9、的数学教材”（Mathematics in Context）中有这样的教学目标：“理解平均数是一个分布的均分或平衡。”在美国的一种教师手册上也明确指出算术平均数是一组数据分布的一个“平衡点。” 蔡金法著中美学生数学学习的系列实证研究他山之石，何以攻玉，北京：教育科学出版社，2007年4月，P151156我们通过“移多补少”的图示及平均数的计算很容易理解均分的意思，但对于“平衡”我们很少提及。其实，“平衡”是物理学上的一个名词，结合物理现象，我们也很容易理解平均数的意义。在数轴上标出一组数据和这组数据的平均数，我们会发现，平均数就是使其平衡的支点。如下图： 106020三个同样的容器中放有不等量

10、的液体（红色部分），如果三个容器有连通器相连，里面的液体可以相互流通，液面平衡时的高度就是三个容器原有高度的平均数。液面平衡时的高度“移多补少”的图示、“均分”“抺平”的名称及上面物理中平衡的模型等不同的表征，都有利于对平均数的理解。2. 构通直观图和算式之间的联系教材呈现了求平均数有不同的不同方法：（1）移多补少：用小圆片表示“摆”出平均数。（2）列式解答：将所有数据求和再求商。其实“移多补少”分摆的过程就是计算的方法，它们是同一算理的不同的呈现形式，要让学生知道他们之间的联系。3. 将平均数与原始数据进行对比吴正宪老师在学生会算平均数之后，不是进行大量的数值计算去巩固平均数的计算方法，而是

11、又引导学生将平均数与原始数据进行对比。 孩子发现：“怎么没有一个人拍球的数量是21呀？” “是呀，21是谁拍的数量呀？”终于，一个清秀的小女孩站起来说：“21是这几个数的平均数。”吴老师马上追问：“什么是平均数呀？” 生1：“就是把大数多的部分往小数上匀乎匀乎。” 生2：“平均数是一个虚的数，比最小的数大一些，比最大的数小一些，在它们中间。” 生3：“平均数不是某一个人具体的拍球数量，它代表的是几个人拍球的平均水平。”学生没有把所有的性质都提出来，也就是罢了。在学生的思考中，他们理解了我们前面提到的：“平均数比最小的数大一些，比最大的数小一些，在它们中间。”“平均数不一定是这一组数据中的数。”4. 结合与其他统计指标理解平均数的意义我们这一期杂志有北京大学附属小学王杰老师的一篇教学案例平均数。王老师在教学中用到我国淡水资源总量为28000亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。学生初看我们不少呀，再一平均，我国人均水资源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。在统计学中有三种指标：总量指标、相对指标和