函数系列奇偶性与单调性的综合

1、函数系列奇偶性与单调性综合2一、思维导图x2 a a = x < -Ja或x > 储;x2 < a= -Va < x < a a基础不等式J| x |> a = x < -a或x > a; | x |< a= -a < x < af(x)二 x)0= f (x) g(x) - 0; f (x) : 0= f (x) g(x) : 0g(x)若f(x)奇,有f(x)= f(x)奇偶性与单调性综合若f(x)奇, 奇偶性：严(x): 右f (x)偶, 若f (x)偶,且f(0)有意义，则f (0) =0贝1Jf (x) = ax4 b

2、x3 cx2 dx e 中 a = c = e = 0有f(-x)= f (x)则 f (x) = ax4 bx3 cx2 dx e 中 b = d = 0、若f (x)在a,b上具有奇偶性，则a + b = 0,(定义域关于原点对称单调性：注意局部性注意连续性,限制在某个区间内的单调,区间不连续，要分开写若f(x)奇，原点两侧单调性相同 若f(x)偶，原点两侧单调性相反若f(x)奇且单调递增 产4.J若f(x)奇且单调递减|I * ,若f(x)偶且单调递增若f (x)偶且单调递减,有 f (x1) A f (x2 )= x1 > x2,有 f ( x1) A f ( x2 ) = x1

3、 < x2,有 f (xi) A f (x2)= | xi 目 X2 |,有 f (xi) A f (x?)= | xi 付 X2 |若f (x)偶且关于x = a对称，有周期T =2a、若f (x)奇且关于x = a对称，有周期T =4a二、例题精析1、(2018洛阳二模)已知f(x)在定义域R上的奇函数，且在0,y)上是增函数，则使f(x) A f (x2 _2x + 2) 成立的x的取值范围是解析：由题意知，x > x2 -2x +2,. 1 < x <22、( 2018香坊区校级期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=2x1，若f(2 -a

4、2) > f (a),则实数a的取值范围是 解析：函数 f(x)在0,依c)上单调递增，由 f(2a2)Af(a),= 2-a2 >a -2 < a < 13、(2018汕头期末)已知函数f (x) =x2十21x12018 ,则使得f (J3x) a f(x + 2)成立的x的取值范围是解析：f(x)是偶函数且增，由 f(,/3x) a f(x+2)=| J3x|x + 2卜 xw (叫1J3) (1 + V3,+叼14、( 2018兴庆区校级期末)设函数f(x)=x2丁，则不等式f(2x) E f (4 x)的解集为2 ' e|x|解析:函数f(x)是偶函数

5、且在(0,十、)上单调递增，由f(2x) E f(4 x)=|2x|E|4 xQ -4 < x < -,35、(2018金安区校级模拟)函数y=f(x)是定义为R上的奇函数，当x至0时，f(x)单调递增，若f(1) = 1,则满足1 < f(x+2) <1的x的取值范围是 解析:f (-1) = f(1) = 1,由1 W f (x+2) M1= f (-1) < f (x + 2) < f(1)，二-1 < x + 2 <1-3 - x - -16、(2018淮南二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(-°0,0上单调递

6、增，若实数 a满足f(2log3a) > _f (_J2),则a的取值范围是 解析：f(2log3a) a-f (-J2),n f (2log3a) > f(V2)=> 210g3a >V2= a > V 32 x 一 一7、(2018昌江区校级期末)设f (x) =lg 2 x,若f(a)十f (3a+1) a 0,则a的取值范围是2-x2 -x2 x2 x解析:f (_x) =lg=lg(产=_lg= f(x)，奇函数，定义域为(2,2)，且单调递增2 x2-x2-x由 f(a) + f(3a+1) >0,得 f (a) >-f (3a+1) =

7、f(3a1),n a > 4a1 ,则有11一 ：:：a :43a - -3a T«-2 <a <22 <3a +1 <28、(2018石家庄一模)设f(x)是定义在2b,3 + b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x -1)之f (3)的解集为解析:由题意得：1x-1|<3,-26 <x -1 <6-2b +3+b =0,= b =3,在_6,0上为增函数，f(x1) > f (3)= |x - 1怪 3<x < 4 °9、(2018信阳二模)若偶函数f(x)在区间(q,0上单调递减，且f(3) =

8、 0，则不等式(x-1)f(x)A0的解集为解析:由题意知,f (-3) = f (3) = 0, - (x -1) f (x) 0 二x -1 > 0f(x)>0f (x):二 010、(2018沙坪坝校级期末)已知函数f (x) = (x1)(ax+b)为偶函数，且在(0,y)单调递减，则f(x)<0的解集为解析:f(x) =(x1)(ax+b) =ax2 + (b a)x b,是偶函数，所以 ba = Q 即b = a,二 f (x) = a(x 1)(x +1),二 f (1) =0, f (1) =0，由 f (x) < 0= x < 1或 x >

9、1。11、(2018濮阳期末)已知f(x)是定义在r上的偶函数，且在区间(-8,0上单调递增，若实数 a满足f(a) > f(-72),则a的取值范围是解析：f(x)在(。，十勺上单调递减，由 f(a) Af(«2) = |a|<|/2|,二J2<a<J212、( 2018 海南一模)已知函数 f(x) =2017x +log2017(JXF+x) 20174+3,则关于 x 的不等式f(1 2x) + f (x) >6 的解集为 解析:f(-x) =2017 - log2017Hx2 1 -x) -2017x 3 =2017 " log201

10、7c. x2 1 x)-2017x 3二 f(x)-3 = -f(-x)-3,故函数 g(x) = f (x) 3是奇函数，且为增函数，由 f (1 -2x)+ f (x) >6f(1 -2x) -3 f (x) -3 0,= g(1 -2x) g(x) 0,= g(1 - 2x) g(-x)= 1 - 2x -x= x ： 113、(2017沈阳期末)设函数f (x) = 1n(3+|x|) 4 2,则使得f(x)f(3x+1)<0成立的x的取值范围1 x，是4斛析:f (x) =1n(3+1x |) -2 = f (x)，f (x)是偶函数，且在(0,收)上单倜递增，1 (-x

11、)11f (x) - f (3x 1):二 0= f (x) : f (3x 1) = | x 卜：|3x 1 |- x ： 2414、(2018 江门一模)已知函数 f (x) =(2x 2，).x3,若实数 a 满足 f(1og2a)+f (1og0.5a) 42 f (1)，则实数a的取值范围是解析：f(x) =(20 2x) (x)3 = f (x)，二 f(x)为偶函数,< log “a = log 2 a,f (log0.5 a) = f ( -log2 a) = f (log2 a), f (log 2 a) f (log 0.5 a) - 2 f (1),= f (log

12、 2 a) - f (1),1 -又 f (x)在(0,依)上单调递增，f (log 2 a) < f(1),二 |log2a|W1= - <a <2215、(2018 江西模拟)定义在 R上的偶函数 f(x)=e1xM -cosx,记 a= f(log13),b= f (log25), 2c= f(k+2),则其中最大的是 解析：f (x) =e|x"| cosx,是偶函数，所以 k =0,二 f (x) =e|M cosx,当 x a 0时，f(x)单调递增，a = f(log13)= f (log2 3) ,b = f (log 2 5), c = f(k +

13、2) = f (2)，且 0 <log23 <2 < log 2 5, 2即：f (log 2 3) < f (2) < f (log 2 5),故 a <c<b116、(2018北辰区模拟)已知定义在R上的函数f (x) =21x_m1 1 (m为实数)为偶函数，记a=f(2 ),3b = f(log i 2)，c = f (m +0,则其中最大的是 3解析：= f(x) =2.-1 是偶函数,21'舸1 =2向1,，m =0,二 f (x) =21x111二f (x)在(口,0)上为减函数，在(0,依)上为增函数，v -1 <b =

14、log 1 2 <0 < m+1 =1 < 2-,331即：-1 < log 1 2<0<1<2，而 0 三0g1 2 1,1-, a > c > b 33317、(2018四川模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x >0时，f (x) = TxH.JFI,设a= ”1孙0.2)，b = f (3，2),c = f (_31.1)，则其中最大的是 解析:f (x) =、,4x +1 -V4x+2 二 ,1 , 在(0,依)上为增函数，、,4x 1、4x 2a = f (log 3 0.2) = f (-1og3 0.2) = f (lo

15、g 3 5), b = f(302), c = f(-31)=f (31)，1 .10.23 3 log3 5 1 3,. c a b.18、(2017 天津期末)已知偶函数 f(x)在0,y)上单调递减，若 a = f(ln 2.1),b= f (1.11.1)，c=f(3)则其中最大的是解析:偶函数f (x)在0,收)上单调递减，由1n2.1 <1 <1.11.1 <3，且c = f (3) = f (3),f(ln 2.1)f(1.11.1)f (3),. a b c19、(2018天津二模)已知函数y = f(x+1)的图像关于直线x = 1对称，且当xW0时，f(x

16、) = -x3 +ln(1 x)，记 a = f (log 3 6), b = f (log 48)3= f (log 5 10),则其中最大的是 解析：由题意知，f(x)图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数，令xA0,则一 x<0,_33.f(x)=x +ln(1+x)，又 f (x)为偶函数，. f(x) = f (x) = x +ln(1+x),且单调递增，10g36 =1 log32,log48 =1 log 4 2, log 5 10 = 1 log5 2,. log 3 6 log 4 8 10g510 a b c20、(2018沙坪坝校级期末)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的实数X都有f(1-x)= f(x + 1)，且f(1) =2, f (0) = 1，则 f (1) + f (2)+ f(3) + f(2017) + f (2018) + f (2019)的值为解析:f (1 _x) = f (x+1),二函数f(x)关于直线x=1对称，又因为是偶函数，关于 y轴对称，所以函数的周期为 T =2, f (1) = f (-1) =2, f(2) = f (0) = -1,. f(1)f(2) =1,f(1) f (2) f (3) f (2017