物理物理大二上唐莹量子PPT学习教案

1、会计学1物理物理大二上唐莹量子物理物理大二上唐莹量子19世纪末20世纪初 物理学的两大谜狭义相对论（1905）1.Michelson-Morley实验（1887）2.Planck 方程式（1900）量子力学（1925）第1页/共147页1.现象物体受热就会发光,温度不同时,辐射的波长不同与温度有关的辐射，称为热辐射。 例如：加热铁块， 温度 看不出发光暗红橙色黄白色(一)热辐射（教材271页中274页中）一 光的量子性(一)热辐射规律(二)光电效应(三)康普顿效应第2页/共147页激光 ,日光灯发光不是热辐射高温物体发出的是紫外光；炽热物体发出的是可见光；低温物体发出的是红外光； 基本性质:温

2、度 发射的能量 电磁波的短波成分平衡热辐射 加热一物体,物体的温度恒定时物体所吸收的能量等于在同一时间内辐射的能量这时得到的辐射称为平衡热辐射 第3页/共147页(2) 总辐出度M(T): (1)单色辐出度(M)-辐射能量按波长的分布 ddMM 0)()( dTMTM2.热辐射的描述-几个物理量:单位时间内,从物体单位表面发出的,波长在附近单位波长间隔内的电磁波的能量。(3)黑体能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体M 最大, 且只与温度有关而和材料及表面状态无关。 表面情况表面情况物质种类物质种类 T 第4页/共147页 可见了解黑体的单色辐出度随波长和温度的变化规律很重要.黑体是理想模型,

3、近似黑体如图:3.黑体辐射的实验定律实验用类似模型可以控制不同的恒定温度,并设置色散装置,可测量黑体的单色辐出度.第5页/共147页测量单色辐出度M (T)的实验装置AL1B1PB2L2C2200k2000k1800k1600knmM0 (T) (Wcm-3 m-1 )0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.070605040302010黑体的单色辐出度的实验 测量结果: 两条实验定律:第6页/共147页(1)斯特藩-玻尔兹曼定律:总辐出度-实验曲线下的面积: 000)()( dTMTM40)(TTM 其中斯特藩常量 =5.6710-8 W/( m2K4)2200k2000k1800k1600

4、k(2)维恩位移定律：其中 常量 b=2.89710-3 mKM的极大值对应的波长m与温度的关系有bTm 实例:炉火烧热的铁条,温度升高,由红变白.现代科技中的热辐射应用:高温(如太阳表面的温度)测量、遥感、红外追踪等.第7页/共147页(1)寻找 函数4.量子概念诞生nmM00 1 2 3 4 51893年维恩参照麦克斯韦速率分布函数给出TCeCTM 2510)( 短波部分符合很好，长波区不好.1896,瑞利和金斯把能量均分定理用于电磁辐射,得到TCTM430)( 理论曲线如图，波长很长时与实验相符.(紫外灾难)(0TM 第8页/共147页112)(520 TkhcehcTM 或用频率表示为

5、112)(230 kThechTM 普朗克公式的计算结果与实验完全符合.普朗克：黑体辐射的经验公式“一定要不惜任何代价，找到一个理论根据”。 普朗克:1900.12.14普朗克在德国物理学会上报告了论文“关于正常谱中能量分布的理论” 从理论上推出了热辐射公式第9页/共147页辐射黑体中的分子、原子可看作线性谐振子,振动时向外辐射能量（也可吸收能量）普朗克假定：振子的能量不连续: = hE=n n=1,2,3. 能量子 经典理论：振子的能量取“连续值”(2) 普朗克量子假设物体发射或吸收电磁辐射时,交换能量的最小单位是“能量子” 第10页/共147页“作用量子”sJ1055.634 h1921

6、叶企孙，W.Duane， H.H.Palmer 测得：sJ10)009. 0556. 6(34 h1986推荐值： sJ106260755. 634 hsJ1063. 634 h 1998推荐值： sJ1062606876. 634 h一般取：普朗克获得1918年诺贝尔物理学奖h是与光速c同样重要的常数第11页/共147页经典能量量子 = hE=n n=1,2,3.为什么在宏观世界中, 观察不到能量不连续的现象?这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还不可能测量出来。现在能达到的最高的能量分辨率为：1610 EE所以宏观的能量变化看起来都是连续的。5.量子假说的含义及其与宏观现象的关系第12页

7、/共147页例：设想一质量为 m=1g 的小珠子悬挂在一个小轻弹簧下面作振幅 A=1mm的谐振动。弹簧的劲度系数 k=0.1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？减少一个能量子时,振动能量的相对变化是多少？解：弹簧振子的频率1359. 1101 . 028. 6121 smk 能级间隔J33341005. 159. 11065. 6 hE振子现有能量J862105101.02121 kAE相对能量变化268331021051005.1 EE第13页/共147页例.实验测得波谱的m=490nm,将太阳视为黑体,计算(1)太阳表面温度及太阳常数(单位表面积发射的功率Mo)解:(1)根据

8、维恩位移定律 Tm=b 得KmKmbTm393109 . 51049010897. 2 再根据斯特藩-玻尔兹曼定律 274842740/1087. 6)109 . 5(1067. 5mWmKmWTM M0即太阳单位表面发射的功率可测得太阳的温度！太阳全部表面每秒发射的能量？204ssRMP 第14页/共147页太阳辐射的总功率分布在以太阳为中心的球面上,则地球上单位面积接受的功率解:(2)M0即太阳单位表面发射的功率, 太阳辐射的总功率WRMPss262010244 .(2)地球每秒接受的太阳辐射能由于d RE, 故地球可看作圆盘接受辐射,WmmWRPPEE1)103

9、7.6(/1049.1 24dPPsE 23/1049.1mW dRe第15页/共147页 作 业选做:教材274页，例题19-8 40页, 习题1.2必做:拓展151（二）-1 改为计算题第16页/共147页GD为光电管，光通过石英窗口照射阴极K，光电子从阴极表面逸出。光电子在电场加速下向阳极A运动，形成光电流。光电效应引起的现象是(Hertz)赫兹在1887年发现的，当1896年汤姆逊发现了电子之后，勒纳德才证明了所发出的带电粒子是电子。(二)光电效应 1.现象:光照射某些金属时能从表面释放出电子的效应。这时产生的电子称为光电子。第17页/共147页实验规律可归结为4条。-Uaim2im1

10、I1I2光强I2I1UCsNaCaUa(V)(1014Hz)其中有3条与经典电磁场理论相矛盾。第18页/共147页（1）相同频率但强度大小不同的光照射， 截止电压Ua是相同的。（经典电磁波理论:光电子初动能应当随光强而不是随频率增大）（2）不论光强多大， 只有当入射光频率大于一定的红限频率 0 时，才会产生光电流。（经典:电磁振动激发电子只要强度足够就应该激发) （3）光电效应是瞬时发生的 只要入射光频率 0，无论光多微弱，从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间不超过10 -9 s 。（经典:电磁振动激发电子需要一定响应时间）2. 实验结果及经典理论的困难第19页/共147页对光电效应的解释:一个

11、光子将全部能量交给一个电子，电子克服金属对它的束缚，从金属中逸出。Ahm 221 光量子具有“整体性”， 光的发射、传播、吸收都是量子化的。电磁辐射由以光速c 运动的、局限于空间某一小 范围的光量子（光子）组成， = h爱因斯坦光量子假设(1905)A：逸出功3. 爱因斯坦的光量子论第20页/共147页 当 A/h 时，不发生光电效应红限频率hA 0 I 光子数N 打出光电子多 im Ahm 221h A时才能产生光电效应 电子吸收光子，从金属中逸出是瞬时发生的爱因斯坦方程光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！aeUm 221 第21页/共147页nmAhcc2960 Ahm 221例.铝的

12、逸出功A=4.2eV,用波长200nm的光照射铝表面,求:(1)光电子的最大动能;(2)截止电压;(3)红限波长AhEk ,max)1(解:Ach =2.0 eVVeEUka0 .2)2(,max (3)红限波长第22页/共147页竞赛二十届例.能使某种金属产生1014金属的电子逸出功. 若在金属表面再施加3V的反向电压,求能激起光电流的 Ahmv 221解:min)1( hA min)2( heUA第23页/共147页爱因斯坦由于对光电效应的理论解释和对理论物理学的贡献获得1921年诺贝尔物理学奖第24页/共147页1.能量 h 2.质量E = mc2光子有质量 m=h/c2光子没有静止质量

13、 m0 = 0 3.动量P = mc = h/c=h/E2=p2c2+m0c4 m0=0 P=E/c=h/c=h/4.角动量 2/h 在运动方向上 J或从： 光子的性质第25页/共147页27 光阑X 射线管探测器X 射线谱仪晶体0散射波长,0 石墨晶体(散射物质) (三) 康普顿效应 1922-23年, 康普顿研究了X射线在石墨上的散射, 验证了光子说。X射线被晶体散射,部分射线波长发生变化,变成两种不同波长的X射线,称为康普顿效应.第26页/共147页28. . . . .强度/A0.700 0.750原始=0=45=90=135(1)(2)(4)(3)1.实验结果2sin220 c (1

14、)散射光有两种波长: , (2)-与散射角有关,与散射物质的性质无关测得c= 2.4310-12m(3) 散射的强度与散射物质有关。原子量小的散射物质，康普顿散射较强，原波长的谱线强度较低。反之相反。第27页/共147页29. . . . .强度/A0.700 0.750原始=0=45=90=135(1)(2)(4)(3)2.经典理论预期光的波动理论：光波电磁场在晶体中引起原子受迫振动，发射电磁波散射光；受迫振动的频率与入射光相同;射线散射时波长不会发生变化.3.光子理论的解释光子作为弹性粒子,与物质中的电子发生弹性碰撞.xy em0hxyemhCAI(1,2,3)第28页/共147页30 X

15、射线光子与外层“静止”的“自由电子”弹性碰撞 碰撞过程中能量与动量守恒碰撞光子把部分能量传给电子 光子的能量散射X射线的频率，波长 波长1的X射线 ：eV104 光子外层电子束缚能eV, 室温下 kT10-2eV，所以外层电子近似可看成是自由的静止的。e自由电子(静止)0 hvm m0h波长的散射光定性解释：第29页/共147页31散射线中还有与原波长相同的射线光子与石墨中被原子核束缚很紧的内层电子碰撞相当于光子和整个原子碰撞在弹性碰撞中散射光子的能量(波长)几乎不改变由此可知，轻元素中由于电子处于弱束缚状态，所以波长变长的散射线相对较强，而重元素中由于电子处于强束缚状态，波长变长的散射线相对

16、较弱。波长的散射光第30页/共147页320 h光子: 能量 动量 碰撞前碰撞后 能量 动量 电子:0 h h20cm h2mcmv能量守恒: h0+ m0 c2= h+ m c2动量守恒:0evm m0000 nchP nchp 定量推导： sinsin:chmvY coscos:chchmvX0220/1/cmmv 0第31页/共147页33)cos1(00 cmhcmhc0 联立解得：)cos1 ( cevm m0000 nchP nchp =0.0243 = 2 .4310-3nm（理论值）_称为电子的Compton波长只有当入射波长0与c可比拟时，康普顿效应才显著。因此要用X射线才能

17、观察到。与实验值c = 0.0241=2.4110-3nm很好符合第32页/共147页34支持了“光量子”概念， 进一步证实了首次实验证实了爱因斯坦提出的 “光量子具有动量”的假设：证实了在微观的单个碰撞事件中， 动量守恒和能量守恒定律仍然成立。康普顿获得1927年诺贝尔物理学奖。P = E/c = h/c = h/ = h4. 康普顿散射实验的意义 康普顿（A. H.Compton)美国人(1892-1962）第33页/共147页35例:设有波长为=1.0010-10 m的X射线的光子与自由电子作弹性碰撞.散射X射线的散射角=90,问(1)散射波长与入射波长的改变量为多少?(2)反冲电子得到

18、多少动能?解:(1)m1043. 22sin2122 ce静止能0 hh20cm(2)反冲电子的动能电子所得动能Ek即为光子能量的损失.第34页/共147页36kE代入数据得Ek=4.7110-17 J =295eV问题:什么散射角电子的反冲能量最大？)11(00 hchhe静止能0 hh20cm)( hc反冲电子获得的能量最大 0180 c 2 ckhchccmmcE 200202 第35页/共147页371. 近代理论认为光具有波粒二象性 在有些情况下，光突出显示出波动性；2. 基本关系式粒子性：能量 ，动量P , 数量N波动性：波长 ，频率 ,振幅E0而在另一些情况下，则突出显示出粒子性

19、。knhph 式中波矢量 2/h 光的波粒二象性 2 k第36页/共147页38光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定I大，光子出现概率大；I小，光子出现概率小。光的波动性和粒子性统一于概率波理论。光作为电磁波是弥散在空间而连续的光作为粒子在空间中是集中而分立的波动性:某处明亮则某处光强大, 即 I 大粒子性:某处明亮则某处光子多, 即 N大光子数 N I E02 怎样统一 ?光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比。3. 波动性和粒子性的统一双缝干涉第37页/共147页39那么实物粒子也应具有波动性。L.V. de Broglie （1892-1986） 从自然界的对称性出发,认为:既

20、然光(波)具有粒子性1924.11.29年：德布洛意把题为“量子理论的研究”的博士论文提交巴黎大学1.物质波概念的提出 德布罗意假设1924年:二 物质波 第38页/共147页40与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波一个能量为E,动量为 p 的实物粒子同时具有波动性, 且:ph hE 德布罗意波长 hp hE 他在论文中指出: 爱因斯坦 德布罗意关系式hE 第39页/共147页41GK狭缝电流计镍集电器U电子射线单晶 1927年戴维孙（C.J.Davisson）和革末（L.H.Germer）用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。2.电子衍射实验第40页/共147页42GK狭缝电流计镍集

21、电器U电子射线单晶如果电子没有波动性实验结果应如何？IU221mveU vI U 第41页/共147页435102015250IGK狭缝电流计镍集电器U电子射线单晶 实验结果：U如果电子有波动性实验结果应如何？第42页/共147页44 3.用电子波解释实验结果(1)定性5102015250IUmeUhph2 221mveU 波长满足布拉格公式者，反射加强, 即：2dsin=kkd sin2 第43页/共147页45实验数据：镍单晶nmd91. 0 (2)定量当加速电压U=54伏时，在=65方向电流出现第1次峰值。nmmeUhph165.02 实验值：电子的德布罗意波长：理论值：布拉格公式： k

22、d sin2, 1 knm167.065sin91.020 理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引，在晶体中的波长比在真空中稍小(动量稍大).经修正后，理论值与实验结果完全符合。第44页/共147页46晶体电子束电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆孙实验证明了电子在穿过金属片后也象X 射线一样产生衍射现象。（汤姆逊Tomson 1927）其它实验 电子通过金多晶薄膜的衍射实验戴维孙和汤姆孙因验证电子的波动性分享 1937年的物理学诺贝尔奖金第45页/共147页47 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（约恩逊1961)由于电子波长比可见光波长小35个数量级(10-310-5倍),因而电子显微

23、镜可使分辨率大大提高。ph 第46页/共147页48例题： 1. 在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度v=5.0102m/s 对应的德布罗意波长为：nm103 .125 mvh 2.在微观上，如电子m0=9.110 -31kg，速度v =5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 太小测不到！“宏观物体只表现出粒子性”nm1044. 12 思考：此例电子波长与x射线相当,为什么电子没有 x射线那样的穿透力?mvh 2201/cvvmh 第47页/共147页49例: P151-（二）5动能为0.025eV的中子：knEmp2 kTmhphn3 T=290K的 热中子：kTEk23 例:

24、P151-（二）6 要获得电子波长0.01nm,加速电压nmUeUmhphe225.12 emhUe222 V25.122 ph mpmvEk22122 第48页/共147页50粒子的波动性在位置、动量等物理量测量中,表现出paOxyABCD1 三 不确定关系 pppxyx方向电子的位置不确定量为：x =d1sin0 ppx x方向的分动量 p 的不确定量为：x1sin ppx 第49页/共147页511927海森堡（W.Heisenberg) 不确定关系222 zyxpz;py;px严格的理论给出 hp d 1sinhpxx 考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现hpxx 2 tE其它物理量

25、间也有不确定关系第50页/共147页52可见，在原子尺度内，讨论速度已无意义。轨道概念也不适用!电子在空间的概率分布电子云。设：电子Ek = 10eV，远小于电子静能则m/s.rmhmpv61063 。/s m 1087. 126 mEk 原子线度 x= 10 -10 m，xhp 221 mEk 例1原子中电子运动不存在“轨道”用不确定性关系作数量级估算第51页/共147页53xvxv电子射线0.1mm例2 在示波管中电子的运动。加速电压V104 U在荧光屏上电子的位置确定在0.1mm范围内可以认为令人满意。即m0001.0 x202cmmceU m/sv810 sm/1001. 06 vvx

26、由得而xv m/s103所以可以用经典力学来处理。量子物理 经典物理h 0 :43134101010 xmvx第52页/共147页54解： hpx 2xPhx例3 波长589.3nm的钠光，谱线宽度计算此光子沿x 轴运动时， nm3 . 0 位置的不确定量x mm16.1 不确定性关系的启发1. 表明：不可用经典手段处理微观粒子2. 微观粒子不可能静止3. 给出了宏观与微观的分界线-如何描述微观粒子的运动状态?物质波的本质（物理意义）? 2)(hhpx第53页/共147页55波动性： “可叠加性”“干涉”“衍射”“偏振” 具有频率和波矢 没有实在的物理量在周期性变化粒子性：“整体性”有确定轨道

27、随机性，没有“路径”同 具有能量，动量经典粒子量子客体经典波同有一个物理量在周期性变化微观粒子波粒二象性的理解第54页/共147页56既是波,又是粒子微观粒子波粒二象性的理解既不是经典的波,也不是经典的粒子.微观体系不是经典的粒子，它没有确定的“路径”;也不是经典的波，没有实在的物理量在波动。是粒子，具有“颗粒性”、“完整性”；是波,具有相干叠加性。第55页/共147页57如何描述微观物体的状态?物质波的物理意义? 二.薛定谔方程 三. 一维无限深势阱四. 一维势垒 隧道效应 一.概率波与态函数第56页/共147页58平面简谐波 y(x, t) = Acos( t-kx)复数表示式物质波Re)

28、,()(kxtiAetxy ),(tr 1.薛定谔（Schrdinger）假设:用波函数描述状态2.波函数的物理意义：1926年玻恩（M.Born）对波函数物理意义的假定：在某一时刻、空间某一地点,粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方.第57页/共147页59I大，光子出现概率大；I小，光子出现概率小。波动性:某处明亮则某处光强大, 即 I 大粒子性:某处明亮则某处光子多, 即 N大光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比回忆光的波粒二象性：2AI A - E0 - ),(tr机械波-光波 - 物质波2 PnI 某处波函数振幅的平方2),(tr正比于该处单位体积内的粒子数VNnd

29、d VNNtrdd 2),(第58页/共147页60 德布罗意波并不像经典波那样代表实在的物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。右图是计算机根据波函数计算绘制的原子内部图象,其中原子核被放大了.经典的“轨道”已无意义!第59页/共147页61物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。 t 时刻在处 附近dV内发现粒子的概率为：r Vtrd2, 概率密度概率密度 trtrtr, ,*2代表t时刻，在 处单位体积内找到粒子的概率，称为概率密度。r其模的平方概概率率振振幅幅),(tr第60页/共147页62它无直接的物理意义，不同于经典波的波函数，),(tr 。有意义的是

30、2 2 2 N)(vf 由于进行了量子力学的基本研究，特别是对波函数作出的统计解释，获1954年诺贝尔物理学奖。玻恩（M.Born，英籍德国人，18821970）第61页/共147页63例: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为：xAxetx ),(0),( tx 0 x0 x其中A为实常数求：1)归一化的波函数；2)概率密度 3)何处几率最大1de0 x2-22 xxA1d| ),(|d| ),(|0202 xtxxtx即：解：1)由归一化条件, 2A归一化的波函数xxetx 2),(2)概率密度：xextxx 22324),()(0),()(2 txx0 x0 x3)何处几率最大0

31、dd22 xexx 1x得得第62页/共147页64到目前为止，争论仍在进行。 费曼在他的讲义中写到：“目前只能讨论概率。虽然是目前，但非常可能永远如此，非常可能永远无法解决这个疑难，非常可能自然界就是如此。” 狄拉克在1972年的一次关于量子力学发展的会议上作的闭幕词中这样说道：波函数统计诠释涉及对世界本质的认识 哥本哈根学派爱因斯坦第63页/共147页65 “在我看来，很显然，我们还没有得到量子力学的基本定律。我们现在正在使用的定律需要作重要的修改，只有这样，才能使我们具有相对论性的理论。非常可能，从现在的量子力学到将来的相对论性量子力学的修改，会象从玻尔理论到目前的量子力学的那种修改一样

32、剧烈。当我们作出这样剧烈的修改之后，当然我们用统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被彻底修改。” 狄拉克第64页/共147页663.波函数须满足的数学条件波函数的有限性： 根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值。波函数的单值性： 根据统计解释，要求波函数单值，从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。 势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的。波函数的连续性： 自然条件：单值、有限和连续 归一化条件 1,2Vtrd)(全全空空间间 第65页/共147页672) 是否正确，由实验检验1.讨论1) 是“建立”，不是导出3) 地位相当于牛顿第二定律4) 局限：非相

33、对论；没有自旋1928年狄拉克（Dirac） 相对论方程),(),(2),(222txtxUxmtxti 二 薛定谔方程 1926年薛定谔“建立”了非相对论量子力学的动力学方程第66页/共147页68当U(x)不含时间（定态）),()(2),(222txxUxmtxti 2.定态薛定谔方程可分离变量：)()(),(tfxtx 易证：Etie)t(f Etiextx )(),( 定态波函数具有如下形式：)()()(2222xExxUxm 定态薛定谔方程振幅波函数满足：第67页/共147页69本次必会内容2.物质波函数的意义已知函数会求概率、概率密度、分布函数1. 不确定关系及计算hpxx 3.

34、薛定谔方程 理解薛氏方程的地位， 会用薛氏方程求解微观问题。（下次）作业：拓展P153-154: 7, 9第68页/共147页70应用牛顿定律解题步骤：1.受力分析2.列出动力学方程3.代入初始条件求解例:光滑水平面上固定半径为R的圆环围屏,质量为m 的滑块沿内壁运动,摩擦系数为.求:(1)当滑块速度为v时,所受摩擦力及切向加速度. (2)滑块的速度由v减至v/3所需时间.NvtFRO1.势能函数,代入方程2.写出通解,系数待定3.由波函数自然条件定特解应用薛定谔方程解题步骤：第69页/共147页71学完一维无限深势阱内容, 思考并回答以下问题：1.一维无限深势阱中的粒子受到什么力的作用？ 若

35、是一个经典的粒子将如何运动？2. 波函数求解步骤。3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？4.量子数是如何得到的？5.波函数是如何描述状态的？6. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？7.试比较经典结果与量子方程结果。关于一维无限深势阱：第70页/共147页72a金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x极限U=0EUUU(x)x0a 无限深势阱是实际情况的极端化和简化粒子在势阱内受力为零，势能为零，在阱内自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。第71页/共147页73第72页/共147页74势函数0)( xU)0(ax )(xU0( x，)ax 1.定态薛定谔

36、方程)x(E)x(dxdm222222 令222mEk 得0)()(2 xkx 阱内：U=0UUU(x)x0a 阱外： )x(E)x(dxdm23 , 13 , 1222 第73页/共147页752.分区求通解0)x(3 ,1 kxAkxBxsincos)( A和B是待定常数3.由波函数自然条件定特解0 0)0( B0sin0)( kaa，（A 0） 阱外： 阱内：0)()(2 xkx)()(2222xExdxdm 由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。要求： nka 第74页/共147页76, nka , 3 , 2 , 1, nank 222mEk , 3 , 2 , 1

37、22222 nnmaEn能量本征值（能级）结果表明：1）粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值。能量量子化并不是强行假设,而是方程求解的自然结果)0k( )0n( 能量量子化2）最低能量(零点能) 22212maE 不确定关系零点能。因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实不符.第75页/共147页77, 3, 2, 1),sin()( naxnAx1)(sin022 dxaxnAa aA2 由归一化条件),3,2,1(sin2)( nxanaxn 4.根据归一化条件写出定态波函数概率密度),3 ,2 ,1n(xansina2)x(22

38、n 考虑到振动因子tEine )(),(xtxnn tEine 第76页/共147页78oa 2a 24a 2nna a21 32 3a 5、重新理解能量量子化 另一个角度考虑由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。因此阱内的波一定是一个驻波。允许的波长为:ahnhpnn2 粒子的动量能量. . . , 3, 2, 1 n粒子被限制在势阱内，粒子在阱外的概率为零0 222282mahnmpEnn 能级的量子化是由微观粒子的波动性造成的。驻波条件！第77页/共147页7922222manEn n =1, 2, 3, （量子数）能量是量子化的， 能级 存在最低能量（零点能)这是不确

39、定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这种固有属性所决定的。022221 maE EmannnEEE 1 一维无限深势阱结论总结：a或m很大（宏观）,E0（E连续） 222212ma)n( 第78页/共147页80一维无限深方势阱中运动的粒子波函数：n称为量子数; n为本征态; En为本征能量。.,nxansinan)x(3212 *能量本征值En对应的能量本征函数组成完备的集合。能量量子数n从1至.*任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。*所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整地存在于其中。Ref.P158-例题17-5第79页/

40、共147页81 x4 x3 x2 x1 o4E3E2E1Eaa21 323a 24a 定态波函数是驻波形式,边界处是波节. 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa 2 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度a|2n|n很大En0 n时 量子经典玻尔对应原理第80页/共147页82比较经典结果与量子结果经典结果量子结果粒子的速度、能量可以连续取任意值能量是量子化的。粒子在阱内匀速运动，或静止粒子能量不为零，粒子无法静止。粒子在各处概率相等粒子出现的概率为 2xn粒子在x1x2之间的概率为axx12 粒子在x1x2之间的概率为xxxnd221 第81页/共147页8

41、3例P205-17.28:质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限深势阱中,试求:解:(1)(1)粒子在0 x L4区间内出现的概率,并对n=1和n的情况进行讨论.(2)在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?概率密度xLnLxn sin2)(定态波函数,sin222LxnLn 粒子在0 x L4区间内出现的概率: 402dLnxP 402dsin2LxxLnL2sin2141 nn 第82页/共147页842sin2141 nnP %Pn921411 41 PnL/4oLn=1经典粒子在x1x2之间的概率为axx12 (2) L4处的概率密度422sin2)4(LxnLxnLL )4(sin

42、22LLnL 4sin22 nL L4处的概率密度最大对应于 , 2 , 1 , 0,2)12(4, 14sinkknn 即即 ,n1062量量子子态态处处于于L4处的概率密度极大.第83页/共147页85学完一维无限深势阱内容, 思考并回答以下问题：1.一维无限深势阱中的粒子受到什么力的作用？ 若是一个经典的粒子将如何运动？2. 波函数求解步骤。3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？4.量子数是如何得到的？5.波函数是如何描述状态的？6. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？7.试比较经典结果与量子方程结果。关于一维无限深势阱：第84页/共147页86a金属U(x)U=U0U=U0

43、EU=0 x极限U=0EUUU(x)x0a 无限深势阱是实际情况的极端化和简化粒子在势阱内受力为零，势能为零，在阱内自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。第85页/共147页87第86页/共147页88势函数0)( xU)0(ax )(xU0( x，)ax 1.定态薛定谔方程)x(E)x(dxdm222222 令222mEk 得0)()(2 xkx 阱内：U=0UUU(x)x0a 阱外： )x(E)x(dxdm23 , 13 , 1222 第87页/共147页892.分区求通解0)x(3 ,1 kxAkxBxsincos)( A和B是待定常数3.由波函数自然条件定特

44、解0 0)0( B0sin0)( kaa，（A 0） 阱外： 阱内：0)()(2 xkx)()(2222xExdxdm 由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。要求： nka 第88页/共147页90, nka , 3 , 2 , 1, nank 222mEk , 3 , 2 , 122222 nnmaEn能量本征值（能级）结果表明：1）粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值。能量量子化并不是强行假设,而是方程求解的自然结果)0k( )0n( 能量量子化2）最低能量(零点能) 22212maE 不确定关系零点能。因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围

45、趋于无穷大，即不被束缚。这与事实不符.第89页/共147页91, 3, 2, 1),sin()( naxnAx1)(sin022 dxaxnAa aA2 由归一化条件),3,2,1(sin2)( nxanaxn 4.根据归一化条件写出定态波函数概率密度),3 ,2 ,1n(xansina2)x(22n 考虑到振动因子tEine )(),(xtxnn tEine 波函数第90页/共147页92oa 2a 24a 2nna a21 32 3a 5、重新理解能量量子化 另一个角度考虑由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。因此阱内的波一定是一个驻波。允许的波长为:ahnhpnn2 粒

46、子的动量能量. . . , 3, 2, 1 n粒子被限制在势阱内，粒子在阱外的概率为零0 222282mahnmpEnn 能级的量子化是由微观粒子的波动性造成的。驻波条件！第91页/共147页9322222manEn n =1, 2, 3, （量子数）能量是量子化的， 能级 存在最低能量（零点能)这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这种固有属性所决定的。022221 maE EmannnEEE 1 一维无限深势阱结论总结：a或m很大（宏观）,E0（E连续） 222212ma)n( 第92页/共147页94一维无限深方势阱中运动的粒子波函数：n称为量子数; n为本征态; En为本征能量

47、。.,nxansinan)x(3212 *能量本征值En对应的能量本征函数组成完备的集合。能量量子数n从1至.*任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。*所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整地存在于其中。Ref.P158-例题17-5第93页/共147页95 x4 x3 x2 x1 o4E3E2E1Eaa21 323a 24a 定态波函数是驻波形式,边界处是波节. 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa 2 一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度a|2n|n很大En0 n时 量子经典玻尔对应原理第94

48、页/共147页96学完一维无限深势阱内容, 思考并回答以下问题：1.一维无限深势阱中的粒子受到什么力的作用？ 若是一个经典的粒子将如何运动？2. 波函数求解步骤。3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？4.量子数是如何得到的？5.波函数是如何描述状态的？6. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？7.试比较经典结果与量子方程结果。关于一维无限深势阱：第95页/共147页97Etinexanax sin2)(3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？粒子可能的能量值(能级),3 ,2 , 1n(xansina2)x(22n , 3 , 2 , 122222 nnmaEn 粒子坐标的概率分布

49、函数态函数概率分布函数4.量子数是如何得到的？由波函数在边界连续(波函数的标准化条件)得到的.第96页/共147页98 x4 x3 x2 x1 o4E3E2E1Eaa21 323a 24a 5.波函数是怎样描述状态的?以2态为例: 23x 3 n 24x 4 n 22x 2 n 21x 1 naoa 2 2222222222mahmaE 能量:第97页/共147页993 n4 n 22x 2 n1 naoxaax 2sin2)(222 坐标: 概率分布函数2222222222mahmaE 能量:动量:22mEp a 2 其它物理量:6. 根据计算结果说明粒子 是如何在势阱中运动的？第98页/共

50、147页1007.比较经典结果与量子结果经典结果量子结果粒子的速度、能量可以连续取任意值能量是量子化的。粒子在阱内匀速运动，或静止粒子能量不为零，粒子无法静止。粒子在各处概率相等粒子出现的概率为 2xn粒子在x1x2之间的概率为axx12 粒子在x1x2之间的概率为xxxnd221 第99页/共147页101U=0UUU(x)x2a2a 教材:.3 , 2 , 1)2(sin2)( naxanaxn 第100页/共147页102例P205-17.28:质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限深势阱中,试求:解:(1)(1)粒子在0 x L4区间内出现的概率,并对n=1和n的情况进行讨论.(2)

51、在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?概率密度xLnLxn sin2)(定态波函数,sin222LxnLn 粒子在0 x L4区间内出现的概率: 402dLnxP 402dsin2LxxLnL2sin2141 nn 第101页/共147页1032sin2141 nnP %Pn921411 41 PnL/4oLn=1经典粒子在x1x2之间的概率为axx12 (2) L4处的概率密度422sin2)4(LxnLxnLL )4(sin22LLnL 4sin22 nL L4处的概率密度最大对应于 , 2 , 1 , 0,2)12(4, 14sinkknn 即即 ,n1062量量子子态态处处于于L4处

52、的概率密度极大.第102页/共147页104补充1:粒子在一维无限深势阱中运动,某一能态上的波函数的曲线如图.则*表示_,且粒子出现概率最大的位置为_.)(x 0 a x3a32a概率密度65,63,6aaa补充2:一维无限深势阱宽度为a,粒子的波函数则粒子的概率密度为_.在阱内发现粒子的概率为_.当n时,其概率是_.axxanaxn 0sin2)( )2,0(axanxan 222sin)( 2121第103页/共147页105一维势垒的势函数为: ax,xaxUU0000各区内的一维定态薛定谔方程分别是:)ax(EUxm 022202222 0212122 xExm U x 0 a )ax

53、(Exm 323222 第104页/共147页106可求得波函数分别为:xikxikxikxikxikxikeCCe)x(eBBe)x(eAAe)x(332211321 隧道效应U x 0 a经典结果：如果E U0如果E U0透过率=1反射率=1量子结果：透过率、反射率透过率、反射率第105页/共147页107经典量子隧道效应第106页/共147页108扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy） STM是一项技术上的重大发明，用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。原理：利用量子力学的隧道效应1986. Nob：鲁斯卡（E.Ruska） 193

54、2发明电 子显微镜毕宁（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STM隧道效应的应用第107页/共147页109例:粒子在外力场中沿x轴运动,如果它在力场中的势能分布如图所示,对于能量为EU0从左向右运动的粒子,用1,2,3分别表示在,三区发现粒子的概率,则有:0, 0, 0)(0, 0, 0)(0, 0, 0)(0, 0, 0)(321321321321 DCBAU x 0 a 例:20世纪80年代以后,显微技术出现革命.产生了以扫描隧道显微镜为代表的新一代显微镜.其基本原理是量子力学_效应,分辨率达到原子的量级.隧道效应,或势垒贯穿(C)作业: P152-8,9; P154-8第108

55、页/共147页110氢原子中的电子在原子核的静电场内,故势函数reU024 电子的定态薛定谔方程是:0)4(2022222222 reEmzyx因势场为球对称场,故改用球极坐标,将方程变为:0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222 reEmrrrrrr1、氢原子的薛定谔方程 为中心力场U( r ) 一. 氢原子第109页/共147页111代入球极坐标薛定谔方程,可得:0sin)dd(sinddsin122 lm0dd222 lm0)4(2)dd(dd1202222 RrreEmrRrrr)()()(),( mlmnlnlmrRr按照波函数标准条件解三个微分方程,就得到氢原

56、子的量子化特性三量子数n,l,m对波函数(r,)分离变量,得:)()()(),( rRr0rP(r, )(c) 球坐标系yxz第110页/共147页1122.氢原子中电子的概率分布22)()()(),( rRr电子的概率密度:电子在空间体元dV=r 2sindrdd中的概率为: d)(dsin)(d)(d22222rrrRVn=2l =0ml =0n=2l =1ml =0n=2l =1ml =1电子云第111页/共147页113氢原子中电子的径向概率分布第112页/共147页114由此看出径向概率幅、角向概率幅都是驻波。这是由原子的稳定性决定的。第113页/共147页1153.量子化条件和量子

57、数(1)能量量子化和主量子数n 使R(r)满足连续条件可得:按照波函数标准条件解三个微分方程,就得到氢原子的量子化特性.,.3, 2, 11)4(222202 nnmeEnn:主量子数与玻尔理论所得结果相同.n=1,氢原子处于基态n1氢原子处于激发态.第114页/共147页116(2)角动量量子化和角量子数l 使()满足有限条件的波函数有定解,必须有电子绕核运动的角动量的量子化:)1,.(2 , 1 , 02)1( nlhllL与玻尔理论比较 , 3 , 2 , 12nnhnL (1) l = 0, Lmin= 0 ; 玻尔理论 Lmin=h 2(2) l 受主量子数的限制01 ln102or

58、ln 第115页/共147页117(3)角动量空间量子化和磁量子数ml：使()满足单值条件可得电子绕核运动的角动量L的空间取向不连续,其在磁场方向的投影满足量子化条件:lmhmLllz ,.2, 1, 0212 l即：角动量 在空间的取向只有(2l +1)种可能性，L是量子化的。第116页/共147页118l = 2， 6)12(2 L2, 0 zL只有五种可能的取向。L对 z 轴旋转对称例如：L0zLz2 2 ）（B2 , 1, 0 lm第117页/共147页119空间取向量子化0Z，B 2, 1, 0212222 mlL22ml 21012由此看来:微观物理量取分立值(量子化),是普遍规律

59、第118页/共147页120氢原子中的电子在原子核的静电场内,故势函数reU024 电子的定态薛定谔方程是:0)4(2022222222 reEmzyx因势场为球对称场,故改用球极坐标,将方程变为:0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222 reEmrrrrrr1、氢原子的薛定谔方程 为中心力场U( r ) 一. 氢原子第119页/共147页121代入球极坐标薛定谔方程,可得:0sin)dd(sinddsin122 lm0dd222 lm0)4(2)dd(dd1202222 RrreEmrRrrr)()()(),( mlmnlnlmrRr按照波函数标准条件解三个微分方程,就

60、得到氢原子的量子化特性三量子数n,l,m对波函数(r,)分离变量,得:)()()(),( rRr0rP(r, )(c) 球坐标系yxz第120页/共147页1222.氢原子中电子的概率分布22)()()(),( rRr电子的概率密度:电子在空间体元dV=r 2sindrdd中的概率为: d)(dsin)(d)(d22222rrrRVn=2l =0ml =0n=2l =1ml =0n=2l =1ml =1电子云第121页/共147页123氢原子中电子的径向概率分布第122页/共147页124由此看出径向概率幅、角向概率幅都是驻波。这是由原子的稳定性决定的。第123页/共147页1253.量子化条