[化学]41向量组及其线性组合ppt课件

1、第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = =有无穷多解有无穷多解. .bAx = =n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bAx = =;有有唯唯一一解解bAx = =n元齐次线性方程组元齐次线性方程组0= =Ax( ( ) )nAR= =;0只只有有零零解解= =Ax( ( ) )nAR 3 时时, 向量不再有向量不再有“几何意义几何意义, 仍沿用几何仍沿用几何空间的名词空间的名词. 但其意义更为广泛但其意义更为广泛.叫做叫做n 维向量空间维向量空间.|),(221121bxaxaxaxxxx

2、nnTn= = = = = ,|),(2121RxxxxxxxRnTnn = = =叫做叫做n维向量空间维向量空间Rn中的中的n1维超平面维超平面. 例如例如: 在描画一空间运动物体时在描画一空间运动物体时, 不仅与所处的空不仅与所处的空间位置间位置(x, y, z)有关有关, 还与时间还与时间 t 有关有关, 这就是四维时空这就是四维时空空间空间, 用向量表示为用向量表示为(x, y, z, t ).机身的仰角机身的仰角 );22( 机身的程度转角机身的程度转角 (0 2);机翼的转角机翼的转角 (-);例如例如:确定飞机的形状确定飞机的形状, 需求以下需求以下6个参数个参数:飞机重心在空间

3、的位置参数飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).所以确定飞机的形状需用所以确定飞机的形状需用6维向量维向量(x, y, z, , , )表示表示.在日常任务在日常任务, 学习和生活中学习和生活中, 有许多问题都需求用有许多问题都需求用向量来进展描画向量来进展描画. 假设干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如例如: 矩阵矩阵A=(aij)mn有有n个个m维列向量维列向量: = =aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量组向量组a1, a2, an称为矩阵称为矩阵A的列向量组的列向量组. = =aaaaaa

4、aaaaaamnmminiinnA21212222111211T1 T2 Ti Tm 向量组向量组1T, 2T, mT 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组. 反之反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵个矩阵.类似地类似地, 矩阵矩阵A=(aij)mn有有m个个n 维行向量维行向量: = =TmTTA 21所组成的向量组所组成的向量组1T, 2T, mT 构成一个构成一个mn矩阵矩阵所组成的向量组所组成的向量组a1, a2, an构成一个构成一个mn矩矩阵阵),( 21naaaA= =n个个m维列向量维列向量m个个n维行向量维行向量线性方程组的

5、向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应. = = = = = = mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bxaxaxann= = 2211 定义定义2: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m, 对于对于任何一组实数任何一组实数k1, k2, ,km, 向量向量k11 + k22 + + kmm称为向量组称为向量组A: 1, 2, m的一个线性组合的一个线性组合, k1, k2, , km称为这个线性组合的系数称为这个线性组合的系数. 线性表示：给定向量组线性

6、表示：给定向量组A: 1, 2, , m和向和向量量b, 假设存在一组数假设存在一组数 1, 2, , m, 使使b = 11 + 22 + + mm那么向量那么向量b是向量组是向量组A的线性组合的线性组合, 这时称向量这时称向量b能由能由向量组向量组A线性表示线性表示. 即线性方程组即线性方程组 11 + 22 + + mm = b有解有解 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线线性表示的充分必要条件是矩阵性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, , m)与矩阵与矩阵B=(1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等.由上章定理由上章定理5 定义定义3: 设有

7、两向量组设有两向量组A: 1, 2, , m 与与 B: 1, 2, , s .假设假设B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性表示, 那么称那么称向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 假设向量组假设向量组B与向量与向量组组A可以相互线性表示可以相互线性表示, 那么称这两个向量组等价那么称这两个向量组等价. 假设记假设记A=(1, 2, , m)和和B=(1, 2, , s), 向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 即对每一个向量即对每一个向量j ( j =1, 2, s ), 存在数存在数k1j, k2j, , kmj , 使使j

8、= k1j 1+ k2j 2 + + kmj m,),2121 = =mjjjmjkkk （即即= =),(21s 从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （这里，矩阵这里，矩阵K=(kij)ms称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵. 假设假设Cmn=AmsBsn , 那么矩阵那么矩阵C的列向量的列向量组能由矩阵组能由矩阵A的列向量组线性表示的列向量组线性表示, B为这一表示的系为这一表示的系数矩阵数矩阵: = =snssnnsnkkbbbbbbbaaaccc2122221112112121),(),( 同时同时,假设假设Cmn=AmsBsn

9、 ，那么，那么C的行向的行向量组能由量组能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示, A为这一表示的系数为这一表示的系数矩阵矩阵: = = TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121 设矩阵设矩阵A经初等行变换变成经初等行变换变成B, 那么那么B的每个行向的每个行向量都是量都是A的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合, 即即B的行向量组能由的行向量组能由A的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性可知由初等变换可逆性可知: A的的行向量组也能由行向量组也能由B的行向量组线性表示的行向量组线性表示. 于是于是, A的行的行向量组与向量组与B的

10、行向量组等价的行向量组等价. 类似地类似地, 假设矩阵假设矩阵A经初等列变换变成经初等列变换变成B, 那么那么A的的列向量组与列向量组与B的列向量组等价的列向量组等价. 1. 对方程组对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为方程组个方程称为方程组A的一个线性组合的一个线性组合; 2. 假设方程组假设方程组B的每一个方程都是方程组的每一个方程都是方程组A的线的线性组合性组合, 那么称方程组那么称方程组B能由方程组能由方程组A线性表示线性表示, 此时此时方程组方程组A的解一定是方程组的解一定是方程组B的解的解; 3. 假设方程组假设方程组A与方程组与方程组B

11、能相互线性表示能相互线性表示, 那么那么称方程组称方程组A与方程组与方程组B可互推可互推, 等价方程组是同解的等价方程组是同解的. 向量组的线性组合向量组的线性组合, 线性表示线性表示, 等价等概念的一个等价等概念的一个重要运用是用来描画线性方程组重要运用是用来描画线性方程组:也就是说矩阵方程也就是说矩阵方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解. 那么由上一章的定理那么由上一章的定理6可得可得: 假设向量组假设向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 即存在矩阵即存在矩阵K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, ,

12、m)K注：第三章定理注：第三章定理6矩阵方程矩阵方程AX=B有解的充要条件是有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 定理定理2: 向量组向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, m线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, , m)的秩与矩阵的秩与矩阵(A,B)=(1, 2, , m, 1, , s)的秩相等的秩相等, 即即R(A)=R(A,B). 推论推论: 向量组向量组A: 1, 2, m与向量组与向量组B: 1, 2, , s等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中其中A和和B是由向量组是由向量

13、组A和和B所构成的矩阵所构成的矩阵.R(A)=R(A,B)现实上现实上,=R(B,A) =R(B)例例1: 设设证明证明:向量向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 并求表示式并求表示式.,1301,0411,3121,2211321 = = = = = = = =baaa 证明证明: 要证向量要证向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示, 需求证明需求证明: 矩阵矩阵A=(a1, a2, a3)与与B=(a1, a2, a3, b)的秩的秩相等相等. 为此将为此将B化为行最简形化为行最简形:B = 1032341201211111 000000

14、0012102301行变换行变换 R(A)=R(B), 因此因此, 向量向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示线性表示.由由B的行最简形可得方程组的行最简形可得方程组Ax=b通解为通解为: = = = =ccccx1223012123故表示式为故表示式为: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中其中c为恣意常数为恣意常数. b=2a1a2.特别地特别地, 取取c =0, 得表示式为得表示式为:例例2: 设设证明向量组证明向量组a1, a2与向量组与向量组b1, b2, b3等价等价.,0213,2011,1102,3113,1111321

15、21 = = = = = = = = = =bbbaa证明证明: 记记A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3). 论论, 只需证只需证R(A)=R(B)=R(A,B).将将(A,B)化为行阶梯形化为行阶梯形:根据定理根据定理2的推的推行变换行变换(A|B) = 02131201111101131231 00000000001112031231得得R(A) =R(A,B)=2.又容易看出又容易看出B中有中有2阶非零子式阶非零子式,那么那么 2R(B)R(A)=R(B)=R(A,B).因此因此故故 R(B)=2. R(A,B)=2. 定理定理3: 假设向量组假设向量组B: 1, 2,

16、, s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示, 那么那么R(1, 2, , s)R(1, 2, , m),即即R(B)R(A). 以上所讨论的内容建立在向量组与矩阵之间有对以上所讨论的内容建立在向量组与矩阵之间有对应关系应关系, 从而以上结论之间有如下结果从而以上结论之间有如下结果: 假设向量组假设向量组B: 1, 2, , s能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m线性表示线性表示 有矩阵有矩阵K, 使使(1, 2, , s)=(1, 2, , m)K 矩阵方程矩阵方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解有解. 例例3: n 阶单位矩阵阶单位矩阵E=

17、(e1, e2, , en)的列向量称为的列向量称为n维单位坐标向量维单位坐标向量. 证明证明: n维单位坐标向量组维单位坐标向量组E: e1, e2, , en能由能由nm矩阵矩阵A=(a1, a2, , am)的列向量组的列向量组A: a1, a2, , am线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=n. 证明证明: 根据定理根据定理2, 向量组向量组E: e1, e2, , en能由向能由向量组量组A线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,E).因此因此R(A)=R(A,E)=n.故故R(A,E)R(A,E) n, n,而而 R(A,E)R(E)

18、=n,又因矩阵又因矩阵(A,E)仅有仅有n行行,本例的结论用矩阵方程的方式可描画为本例的结论用矩阵方程的方式可描画为:矩阵方程矩阵方程AnmX=E有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是R(A)=n.用矩阵的方式可描画为用矩阵的方式可描画为: 对矩阵对矩阵Amn, 存在存在Qnm使使AQ=Em的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=m.存在存在Pnm使使PA=En的充分必要条件是的充分必要条件是R(A)=n. 当当A为为n阶方阵时阶方阵时, P, Q就是就是A的逆矩阵的逆矩阵. 因此因此, 上上述结论可以看作逆矩阵概念的推行述结论可以看作逆矩阵概念的推行. 1. n维向量的概念维向量的概念, 实向量实向量, 复向量复向量; 2. 向量的表示方法向量的表示方法, 行向量与列向量行向量与列向量; 3. 向量向量, 向量组及线性组合与线性表示的概念向量组及线性组合与线性表示的概念, 由矩阵的秩给出断定的结论由矩阵的秩给出断定的结论; 4. 有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联络间的联络.线线性性表表示示可可由由证证明明线线性性表表示示不不能能由由但但线线性性表表示示可可由由维维向向量量都都是是设设例例 ，：，n，：rrrrr1211212121, ，：